Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:

3.5. Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này

Hướng dẫn trả lời:

Trong mỗi khoảng quãng đường các cầu thủ chạy, giá trị đại diện chính là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số cầu thủ là n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25.

Quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này là

$\bar{x}=\frac{2.3+5.5+6.7+9.9+3.11}{25}=7,48$ (km).

3.6. Tìm trung vị của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được

Hướng dẫn trả lời:

Cỡ mẫu n = 2 + 5 + 6 + 9 + 3 = 25.

Gọi $x_{1}, x_{2},..., x_{25}$ là quãng đường chạy của 25 cầu thủ và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là $x_{13}$, mà $x_{13}$ thuộc nhóm [6; 8) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, trung vị là

$M_{e}=6+\frac{\frac{25}{2}-(2+5)}{6}(8-6) \approx 7,83 $

Ý nghĩa: Có 50% số cầu thủ chạy nhiều hơn 7,83 km và có 50% số cầu thủ chạy ít hơn 7,83 km.

3.7. Tìm a sao cho có 25% số cầu thủ tham gia trận đấu chạy ít nhất a (km)

Hướng dẫn trả lời:

Số a thỏa mãn có 25% số cầu thủ tham gia trận đấu chạy ít nhất a (km).

Do đó, a chính là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên.

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi $x_{1}, x_{2}, ..., x_{25}$ là quãng đường chạy của 25 cầu thủ và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó tứ phân vị thứ ba là $\frac{x_{19}+x_{20}}{2}$. Do $x_{19}, x_{20}$ đều thuộc nhóm [8; 10) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba. 

Do đó $\alpha = Q_{3}=8+\frac{\frac{3.25}{4}-2+5+6}{9}.10-8 \approx 9,28$

3.8. Tính mốt của mẫu số liệu và giải thích ý nghĩa của giá trị thu được

Hướng dẫn trả lời:

Tần số lớn nhất là 9 nên nhóm chứa mốt là [8; 10).

Mốt là $M_{0}=8+\frac{9-6}{(9-6)+(9-3)}.2 \approx 8,67$

Ý nghĩa: Số cầu thủ chạy khoảng 8,67 km là nhiều nhất.

Thống kê số lần đi học muộn trong học kì của các bạn trong lớp, Nam thu dược kết quả sau:

3.9. Trung bình mỗi học sinh trong lớp đi muọn bao nhiêu buổi trong học kì?

Hướng dẫn trả lời:

Trong mỗi khoảng số lần đi muộn của các bạn trong lớp, giá trị đại diện chính là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là n = 23 + 8 + 5 + 3 + 1 = 40.

Trung bình trong học kì mỗi học sinh đi muộn số buổi là

$\bar{x}=\frac{23.1+8.4+5.7+3.10+1.13}{40} = 3,325$ (buổi).

3.10. Tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và cho biết ý nghĩa của các kết quả thu được

Hướng dẫn trả lời:

Hiệu chỉnh bảng thống kê trên ta được:

Cỡ mẫu n = 23 + 8 + 5 + 3 + 1 = 40.

Gọi $x_{1}, x_{2}, ..., x_{40}$ là số lần đi muộn của 40 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là $\frac{x_{20}+x_{21}}{2}$, mà $x_{20}, x_{21}$ thuộc nhóm [0,5; 2,5) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, trung vị là

$M_{e}=0,5+\frac{\frac{40}{2}-0}{23}.(2,5-0,5) \approx 2,24$

Khi đó, tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} \approx 2,24$

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{10}+x_{11}}{2}$, mà $x_{10}, x_{11}$ thuộc nhóm [0,5; 2,5) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất. 

Do đó, $Q_{1}=0,5+\frac{\frac{40}{4}-0}{23}(2,5-0,5) \approx 1,37$

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là $\frac{x_{30}+x_{31}}{2}$, mà $x_{30}, x_{31}$ thuộc nhóm [2,5; 5,5) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba. 

Do đó, $Q_{3}=2,5+\frac{\frac{3.40}{4}-23}{8}.(5,5-2,5) = 5,125$