Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 15: Giới hạn của dãy số

5.1. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}$

b) $\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}+1}{2n^{2}+n+2}=\lim_{n \to + \infty}\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{2}$

b) $\lim_{n \to + \infty}\frac{2^{n}+3}{1+3^{n}}=\lim_{n \to + \infty}\frac{(\frac{2}{3})^{n}+(\frac{1}{3})^{n-1}}{(\frac{1}{3})^{n}+1}=0$

5.2. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)$

b) $\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1}$

c) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)$

d) $\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}+2n}-n-2)$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{-2n-4}{\sqrt{n^{2}+2n}+n+2}$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{-2-\frac{4}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1+\frac{2}{n}}=-1$

b) $\lim_{n \to + \infty}(2+n^{2}-\sqrt{n^{4}+1})$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{4n^{2}+3}{2+n^{2}+\sqrt{n^{4}+1}}$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{4+\frac{3}{n^{2}}}{\frac{2}{n^{2}}+1+\sqrt{1+\frac{1}{n^{4}}}}$

$=2$

c) $\lim_{n \to + \infty}(\sqrt{n^{2}-n+2}+n)$

$=\lim_{n \to +\infty}n(\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^{2}}}+1)$

$=+\infty$

d) $\lim_{n \to +\infty}(3n - \sqrt{4n^{2}+1})$

$=\lim_{n \to +\infty}n(3-\sqrt{4+\frac{1}{n^{2}}})$

$=+\infty$

5.3. Cho $u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}$ với a, b là các số thực thoả mãn |a| < 1, |b| < 1. Tìm $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=\frac{1+a+a^{2}+...+a^{n}}{1+b+b^{2}+...+b^{n}}=\frac{\frac{1-a^{n+1}}{1-a}}{\frac{1-b^{n+1}}{1-b}}=\frac{1-b}{1-a}.\frac{1-a^{n+1}}{1-b^{n+1}}$

Do đó $\lim_{n \to + \infty}u_{n}=\frac{1-b}{1-a}$

5.4. Tìm $\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}$

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{n\to +\infty}\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^{2}+2n}$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+2n}$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1$

5.5. Tính tổng $S=-1+\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{2}}+...+(-1)^{n}\frac{1}{5^{n-1}}+...$

Hướng dẫn trả lời:

Ta thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với $u_{1}=-1$ và $q=\frac{-1}{5}$

Do đó $S=\frac{-1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{-5}{6}$

5.6. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03)

b) 3,(23)

Hướng dẫn trả lời:

a) $1,(03)=1+\frac{3}{100}+\frac{3}{100^{2}}+...\frac{3}{100^{n}}+...$

$=1+\frac{\frac{3}{100}}{1-\frac{1}{100}}=1\frac{3}{99}=\frac{102}{99}$

b) $3,(23)=3+\frac{23}{100}+\frac{23}{100^{2}}+...\frac{23}{100^{n}}+...$

$=3+\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=3\frac{23}{99}=\frac{320}{99}$

5.7. Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{cosx}{n^{2}}$. Tìm $\lim_{n\to +\infty}u_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $|u_{n}|=|\frac{cosn}{n^{2}}| \leq \frac{1}{n^{2}}$. 

Do $\lim_{n \to + \infty}\frac{1}{n^{2}}=0$ nên $\lim_{n\to +\infty}u_{n}=0$

5.8. Cho tam giác $A_{1}B_{1}C_{1}$ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1}$. Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác $A_{3}B_{3}C_{3}$, …, $A_{n}B_{n}C_{n}$,… Kí hiệu $s_{n}$ là diện tích của tam giác $A_{n}B_{n}C_{n}$ 

a) Tính $s_{n}$

b) Tính tổng $s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...$

Hướng dẫn trả lời:

a, Theo cách xác định tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$, ta có: $s_{2}=\frac{1}{4}s_{1}$

Tương tự như vậy, ta có: $s_{3}=\frac{1}{4}s_{2},...,s_{n}=\frac{1}{4}s_{n-1}$

Do đó, $s_{n}=(\frac{1}{4})^{n-1}s_{1}=3.(\frac{1}{4})^{n-1}$

b, Suy ra: $s_{1}+s_{2}+...+s_{n}+...=\frac{3}{1-\frac{1}{4}}=4$

5.9. Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{1}=2,u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{3^{n}}, n \geq 1$. Đặt $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$

a) Tính $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}$ theo n

b) Tính $u_{n}$ theo n

c) Tìm $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $v_{n}=\frac{2}{3^{n}}$

Do đó $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=2.\frac{1-\frac{1}{3^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}=3.(1-\frac{1}{3^{n+1}})$

b) Ta có: $v_{1}+v_{2}+...+v_{n}=(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+...+(u_{n+1}-u_{n})$

$=u_{n+1}-u_{1}=u_{n+1}-2$

Vậy $u_{n}=3(1-\frac{1}{3^{n}})+2$

c) $\lim_{n \to + \infty}u_{n}$

$=\lim_{n \to +\infty}[3(1-\frac{1}{3^{n}}+2]$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{5.3^{n}-1}{3^{n}}$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{5-\frac{1}{3^{n}}}{1}=5$

5.10. Cho dãy số $(u_{n})$ có tính chất $|u_{n}-\frac{n}{n+1}| \leq \frac{1}{n^{2}}$. Tính $\lim_{n \to +\infty}u_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-\frac{n}{n+1})=\lim_{n\to + \infty}(u_{n}-1)=0$

Do đó $\lim_{n \to + \infty}u_{n}=1$