Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 17: Hàm số liên tục

5.21. Cho hàm số g(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ trừ điểm x = 0. Xét tính liên tục của hàm số $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ tại x = 1

Hướng dẫn trả lời:

Do hàm số g(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ cũng liên tục tại x = 1

5.22. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}3; x \leq 1\\ax+b;1<x<2\\5; x\geq 2\end{matrix}\right.$. Xác định a, b để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(ax+b)=a+b$

$\lim_{x \to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}(ax+b)=2a+b$

Để hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\left\{\begin{matrix}\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)\\ \lim_{x \to 2^{-}}f(x)=f(2)\end{matrix}\right.$

Hay $\left\{\begin{matrix}a+b=3\\ 2x+b=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.$

5.23. Tìm tham số m để hàm số $f(x)= \left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-1}{x-1};x<1\\ mx+1; x\geq 1\end{matrix}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-1}}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^{-}}(x+1)=2$

$\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(mx+1)=m+1=f(1)$

Để hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $m+1=2 \Leftrightarrow m =1$

5.24. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) $f(x)=\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-3x+2}$

b) $f(x)=\frac{cosx}{x^{2}+3x-4}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tập xác định của hàm số f(x) là $(-\infty;1) \cup (1;2) \cup (2;+\infty)$

Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định

Vậy f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;-2)$, $(-3;-2)$ và $(-2;+\infty)$

b) Tập xác định của hàm số f(x) là $(-\infty;-4) \cup (-4;1) \cup (1;+\infty)$

Vì f(x) là hàm lượng giác nên nó liên tục trên tập xác định

Vậy f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty;-4), (-4;1)$ và $(1;\infty)$

5.25. Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) $x^{2}=\sqrt{x+1}$, trong khoảng (1;2)

b) cosx = x, trong khoảng (0;1)

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số $f(x)=\sqrt{x+1}-x^{2}$ liên tục trên đoạn [1;2]

Mà $f(1)=1-\sqrt{2}<0,f(2)=4-\sqrt{2}>0$

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm $c\in (1;2)$ sao cho f(c) = 0

b) Hàm số f(x) = cosx – x liên tục trên đoạn [0;1].

Mà f(0) = 1 > 0, f(1) = cos1 – 1 < 0.

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm $c \in (0;1)$ sao cho f(c) = 0