Giải SBT Toán học 11 tập 2 kết nối Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Câu 9.1. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số y = $2x^{2} + 3x − 1$ tại điểm $x_{0} = 1.$

Hướng dẫn trả lời:

y’(1)=7

Câu 9.2. Cho hàm số f(x) = $x(2x − 1)^{2}$ . Tính f'(0) và f'(1).

Hướng dẫn trả lời:

f'(0)=$\lim_{x\rightarrow 0}(2x-1)^{2}=(-1)^{2}=1$

f(x)-f(1)=$x(2x-1)^{2}-1$

=$(x-1)(2x-1)^{2}+(2x-1)^{2}-1$

=$(x-1)(2x-1)^{2}+4x(x-1)$

=> $f'(1)=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}((2x-1)^{2}+4x)=5$

Câu 9.3. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}(x-1)^{2}$ nếu $x\geq 0\\ 1-2x$ nếu $x< 0\end{matrix}\right.$

Tính f'(0)

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{(x-1)^{2}-1}{x}$

=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{(x-1-1)(x-1+1)}{x}$

=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x-2)=-2$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

=$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(1-2x)-1}{x}$

=$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(-2)=-2$

Vậy f'(0)=-2

Câu 9.4. Tính đạo hàm của hàm số:

a)$ y = ax^{2} (a là hằng số) tại điểm x_{0} bất kì$

b) $y=\frac{1}{x-1} tại điểm x_{0} bất kì, x_{0}\neq 1$

Hướng dẫn trả lời:

a)$ y'(x_{0})=2ax_{0}$

b)$ y'(x_{0})=\frac{-1}{(x_{0}-1)^{2}},x_{0}\neq 1$

Câu 9.5. Tìm toạ độ điểm M trên đồ thị hàm số $y = x^{3} +1$, biết hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M bằng 3.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi M $a,a^{3} + 1)$ là toạ độ điểm cần tìm. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là k = y'(a) = $3a^{2} .$

Theo giả thiết: k = $3a^{2} = 3 <=> a^{2} = 1 $

<=> a=1 hoặc a=-1

Vậy M(1; 2) và M(−1; 0) là toạ độ các điểm cần tìm.

Câu 9.6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = -3x^{2}$, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình y = 6x +5.

Hướng dẫn trả lời:

 y = 6x + 3.

Câu 9.7. Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = $t^{3} – 4t^{2} + 4t$, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 3 giây và t = 5 giây.

Hướng dẫn trả lời:

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = s'(3)= 7 m/s. Tương tự, v(5) = 39 m/s.