Tải giáo án điện tử dạy thêm Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương 9

CHÀO MỪNG CÁC EM  

ĐẾN VỚI BÀI GIẢNG HÔM NAY 

CHƯƠNG IX: ĐẠO HÀM 

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

Bài 1. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=cos⁡x trên khoảng (−∞;+∞). 

Giải 

Ta có: f(x+h)−f(x)=cos⁡(x+h)−cos⁡x=−2sin⁡(x+ℎ/2)⋅sin⁡ℎ/2 

f(x+ℎ)−f(x)/ℎ=−2sin⁡(x+ℎ/2)⋅sin⁡ℎ/2/ℎ=−sin⁡(x+ℎ/2)⋅sin⁡ℎ/2/ℎ/2 

lim┬ℎ→0f(x+ℎ)−f(x)/ℎ =lim┬ℎ→0 −sin⁡(x+Δx/2)⋅sin⁡Δx/2/Δx/2=−sin⁡x 

Vậy f^′(x)=−sinx. 

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x)={■(cos⁡x,&x≥0@−sin⁡x,&x<0)□ ┤ không có đạo hàm tại x=0. 

Giải 

Ta có:  lim┬x→0^+f(x)= lim┬x→0^+ cosx=1; lim┬x→0^− f(x)= lim┬x→0^−(−sinx)=0 

⇒lim┬x→0^+ f(x)≠lim┬x→0^− f(x).  

Suy ra hàm số gián đoạn tại x=0 nên không có đạo hàm tại đó. 

Bài 3. Tìm a,b để hàm số f(x)={■(x^3/3& khi x>1@ax+b& khi x≤1)┤ có đạo hàm tại x=1. 

Giải 

Điều kiện cần 

Ta có f(1)=1/3;lim┬x→1^+ f(x)=lim┬x→1^+ (x^3/3)=1/3 và lim┬x→1^− f(x)=lim┬x→1^−(ax+b)=a+b 

Để hàm số f(x) có đạo hàm tại x=1 thì f(x) liên tục tại x=1 

Do đó lim┬x→1^+ f(x)=lim┬x→1^− f(x)=f(1)⇔a+b=1/3. 

Điều kiện đủ:  lim┬x→1^+ f(x)−f(1)/x−1=lim┬x→1^+ x^3/3−1/3/x−1=lim┬x→1^+ x^2+x+1/3=1 

lim┬x→1^− f(x)−f(1)/x−1=lim┬x→1^+ f(x)−f(1)/x−1=lim┬x→1^− ax+b−(a+b)/x−1=lim┬x→1^+ ax−a/x−1=a 

Để hàm số f(x) có đạo hàm tại x=1 thì  

lim┬x→1^+ f(x)−f(1)/x−1=lim┬x→1^− f(x)−f(1)/x−1⇔a=1⇒b=−2/3 

Vậy a=1;b=−2/3 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 

Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau (giả sử các biểu thức có nghĩa): 

1. a) y=(1−√x/1+√x)^2

→y^′=2(1−√x/1+√x)(1−√x/1+√x)^′=2(1−√x/1+√x)−1/√x(1+√x)^2=−2/√x1−√x/(1+√x)^3 

1. b) y=(√x−1/√x)^2

→y^′=2(√x−1/√x).(1/2√x+1/2x√x)=1−1/x^2 

Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau (m là tham số), (giả sử các biểu thức có nghĩa): 

1. a) y=(2m+1)x−2(m+1)/mx+m^2−1

→y^′=[(2m+1)x−2(m+1)]^′⋅(mx+m^2−1)−(mx+m^2−1)^′⋅[(2m+1)x−2(m+1)]/(mx+m^2−1)^2 

=(2m+1)⋅(mx+m^2−1)−m⋅[(2m+1)x−2(m+1)]/(mx+m^2−1)^2=2m^3+3m^2−1/(mx+m^2−1)^2 

1. b) y=x^2−2(m−1)x+m+3/x−1

→y^′=(x^2−2(m−1)x+m+3)^′(x−1)−(x−1)^′(x^2−2(m−1)x+m+3)/(x−1)^2 

=(2x−2(m−1))(x−1)−(x^2−2(m−1)x+m+3)/(x−1)^2=x^2−2x+m−5/(x−1)^2 

Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau (giả sử các biểu thức có nghĩa): 

1. a) y=1/(2x−5)^2

→y^′=−[(2x−5)^2]^′/(2x−5)^4=−2(2x−5)⋅(2x−5)′/(2x−5)^4=−4/(2x−5)^3 

1. b) y=4/(x^2−2x+5)^2

→y^′=−4⋅[(x^2−2x+5)^2]′/(x^2−2x+5)^4 

=−4⋅2(x^2−2x+5)⋅(x^2−2x+5)′/(x^2−2x+5)^4=−16(x−1)/(x^2−2x+5)^3=16(1−x)/(x^2−2x+5)^3 

1. c) y=1/x−2/(3x−x^2)^5

→y^′=−1/x^2+2⋅[(3x−x^2)^5]^′/(3x−x^2)^10=−1/x^2+25(3x−x^2)^4⋅(3x−x^2)^′/(3x−x^2)^10 

           =├ 10(3−2x)/(3x−x^2)^6−1/x^2 

Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số (giả sử các biểu thức có nghĩa): 

1. a) y=3x^2−4√x+2/x−1

→y^′=6x−4⋅1/2√x−2⋅1/x^2=6x−2/√x−2/x^2 

1. b) y=√x^2+6x+7

→y^′=(x^2+6x+7)′/2√x^2+6x+7=2x+6/2√x^2+6x+7=x+3/√x^2+6x+7 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

Bài 1. Cho hàm số y=sin⁡x−xcos⁡x/cos⁡x+xsin⁡x. Chứng minh rằng: y^′(sin⁡x−xcos⁡x)^2−x^2y^2=0. 

Giải 

y^′=(sin⁡x−xcos⁡x)^′(cos⁡x+xsin⁡x)−(sin⁡x−xcos⁡x)(cos⁡x+xsin⁡x)^′/(cos⁡x+xsin⁡x)^2 

Ta có: 

+) (sin⁡x−xcos⁡x)^′=cos⁡x−x^′cos⁡x−x⋅(cos⁡x)^′=xsin⁡x 

+) (cos⁡x+xsin⁡x)^′=−sin⁡x+x^′sin⁡x+x⋅(sin⁡x)^′=xcos⁡x 

Do đó: y^′=xsin⁡x⋅(cos⁡x+xsin⁡x)−(sin⁡x−xcos⁡x)xcos⁡x/(cos⁡x+xsin⁡x)^2=x^2/(cos⁡x+xsin⁡x)^2 

Ta có: VT=y^′(sin⁡x−xcos⁡x)^2−x^2y^2 

               =x^2/(cos⁡x+xsin⁡x)^2⋅(sin⁡x−xcos⁡x)^2−x^2⋅(sin⁡x−xcos⁡x/cos⁡x+xsin⁡x)^2=0=VP 

Vậy ta có điều phải chứng minh. 

Bài 2. Giải phương trình f^′(x)=0 trong các trường hợp sau 

1. a) f(x)=sin⁡3x−3sin⁡x+7; b) f(x)=cos⁡2x+2sin⁡x−1.

Giải 

1. a) f(x)=sin⁡3x−3sin⁡x+7⇒f^′(x)=3cos⁡3x−3cos⁡x.

Khi đó: f^′(x)=0⇔3cos⁡3x−3cos⁡x=0⇔cos⁡3x=cos⁡x 

⇔[■(3x=x+k2π@3x=−x+k2π)┤⇔[■(x=kπ@x=kπ/2)┤ (k∈ℤ) 

1. b) f(x)=cos⁡2x+2sin⁡x−1⇒f^′(x)=−2sin⁡2x+2cos⁡x.

f^′(x)=0⇔−2sin⁡2x+2cos⁡x=0⇔cos⁡x(−2sin⁡x+1)=0 

⇔[■(cos⁡x=0@sin⁡x=1/2)┤⇔[■(x=π/2+kπ@x=π/6+k2π@x=π−π/6+k2π)┤⇔[■(x=π/2+kπ@x=π/6+k2π@x=5π/6+k2π)┤□ (k∈ℤ) 

Bài 3. Cho hàm số f(x)=cos^2x/1+sin^2x⋅ Chứng minh f(π/4)−3⋅f^′(π/4)=3. 

...