a) Áp dụng kết quả $\frac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ với $0\leq k\leq n$ (chứng minh ở Bài 27a trăng 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:
$T=1\times C_{4}^{0}+\frac{1}{2}C_{4}^{1}+\frac{1}{3}C_{4}^{2}+\frac{1}{4}C_{4}^{3}+\frac{1}{5}C_{4}^{4}$
$=\frac{1}{5}C_{5}^{1}+\frac{1}{5}C_{5}^{2}+\frac{1}{5}C_{5}^{3}+\frac{1}{5}C_{5}^{4}+\frac{1}{5}C_{5}^{5}$
$=\frac{1}{5}(C_{5}^{1}+C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5})$
$=\frac{1}{5}[(C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5})-C_{5}^{0}]$
$=\frac{1}{5}[(1+1)^{5}-1]=\frac{31}{5}$
Vậy $T=\frac{31}{5}$
b) Áp dụng kết quả $kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$ với $1\leq k\leq n$ (chứng minh ở bài 27b trăng 14 SBT Toán 10 Tập 2), ta được:
$S=1\times C_{6}^{1}+2C_{6}^{2}+3C_{6}^{3}+4C_{6}^{4}+5C_{6}^{5}+6C_{6}^{6}$
$=6C_{6-6}^{1-1}+6C_{6-1}^{2-1}+6C_{6-1}^{3-1}+6C_{6-1}^{4-1}+6C_{6-1}^{5-1}+6C_{6-1}^{6-1}$
$=6\times (C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5})$
$=6\times (C_{5}^{0}\times 1^{5}+C_{5}^{1}\times 1^{4}\times 1+C_{5}^{2}\times 1^{3}\times 1^{2}+C_{5}^{3}\times 1^{2}\times 1^{3}+C_{5}^{4}\times 1\times 1^{4}+C_{5}^{5}\times 1^{5})$
$=6\times (1+1)^{5}=6\times 2^{5}=192$
Vậy S = 192.