Giải toán 7 KNTT bài 27 Phép nhân đa thức một biến

I. Nhân đơn thức với đa thức

Hoạt động 1. Hãy nhắc lại cách nhân hai đơn thức và tính $(12x^3).(-5x^2)$.

Trả lời:

- Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.

- Tính: 

   $(12x^3).(-5x^2) = (12.(-5)) . (x^3 . x^2) = -60x^5$

Hoạt động 2. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, hãy tìm tích $2x . (3x^2 - 8x + 1)$ bằng cách nhân $2x$ với từng hạng tử của đa thức $3x^2 - 8x + 1$ rồi cộng các tích tìm được.

Trả lời:

  $2x . 3x^2 = 6x^3$

  $2x . (-8x) = -16x^2$

  $2x . 1 = 2x$

=> Tổng các tích = $6x^3−16x^2+2x$

Luyện tập 1. Tính $(-2x^2) . (3x – 4x^3 + 7 – x^2)$

Trả lời:

$(-2x^2) . (3x – 4x^3 + 7 – x^2)$

= $(-2x^2) . 3x + (-2x^2) . (-4x^3) + (-2x^2) . 7 + (-2x^2) . (-x^2)$

= $ -6x^3 + 8x^5 – 14x^2 + 2x^4$

= $8x^5 + 2x^4 - 6x^3 – 14x^2$

Vận dụng 1. 

a) Rút gọn biểu thức $P(x) = 7x^2(x^2 – 5x + 2) – 5x(x^3 – 7x^2 + 3x)$.

b) Tính giá trị của biểu thức $P(x)$ khi $x = -\frac{1}{2}$

Trả lời:

a) $P(x) = 7x^2(x^2 – 5x + 2) – 5x(x^3 – 7x^2 + 3x)$

         $= 7x^2 . x^2 + 7x^2 . (-5x) + 7x^2 . 2 – (5x . (x^3) + 5x . (-7x^2) + 5x.3x)$

         $= 7x^4 – 35x^3 + 14x^2 – 5x^4 + 35x^3 – 15x^2$

         $= (7x^4 – 5x^4) + (35x^3 – 35x^3) + (-15x^2$ + 14x^2)

         $= 2x^4 – x^2$

b)  Thay $x = -\frac{1}{2}$ vào $P(x)$, ta được:

$P(x) = 2 . (\frac{-1}{2})^4 - (\frac{-1}{2})^2 = -\frac{3}{8}$

Trả lời:

$(x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2)x^2(1 – 2x)$.

$= (x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2)(x^2.1 + x^2 . (-2x)) $

$= (x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2) (x^2 - 2x^3)$

$= (x – 2)( 2x^3 – x^2 + 1 + x^2 - 2x^3)$

$= (x – 2) . 1$

$= (x – 2)$

II. Nhân đa thức với đa thức

Hoạt động 1. Tính $(2x – 3) . (x^2 – 5x + 1)$ bằng cách thực hiện các bước sau:

- Bước 1. Nhân $2x$ với đa thức $x^2 – 5x + 1$.

- Bước 2. Nhân $-3$ với đa thức $x^2 – 5x + 1$.

- Bước 3. Cộng các đa thức thu được ở hai bước trên và thu gọn.

Kết quả thu được là tích của đa thức $2x – 3$ với đa thức $x^2 – 5x + 1$.

Trả lời:

   $2x . (x^2 – 5x + 1)$

$= 2x . x^2 + 2x. (-5x) + 2x $

$= 2x^3 – 10x^2 + 2x$

Luyện tập 2. Tính $(x^3 – 2x^2 + x – 1)(3x – 2)$. Trình bày theo hai cách.

Trả lời:

* Cách 1. Nhân từng hạng tử rồi cộng các tích với nhau.

$(x^3 – 2x^2 + x – 1)(3x – 2)$

$= x^3.3x + x^3.(-2) + (-2x^2) . 3x + (-2x^2) . (-2) + x.3x + x.(-2) + (-1).3x + (-1).(-2)$

$= 3x^4 – 2x^3 – 6x^3 + 4x^2 + 3x^2 – 2x – 3x + 2$

$= 3x^4 – 8x^3 - 7x^2 – 5x + 2$

* Cách 2. Đặt tính nhân:

Vận dụng 2. Rút gọn biểu thức $(x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2)x^2(1 – 2x)$.

Trả lời:

$(x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2)x^2(1 – 2x)$.

$= (x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2)(x^2.1 + x^2 . (-2x)) $

$= (x – 2)(2x^3 – x^2 + 1) + (x – 2) (x^2 - 2x^3)$

$= (x – 2)( 2x^3 – x^2 + 1 + x^2 - 2x^3)$

$= (x – 2) . 1$

$= (x – 2)$

Vận dụng 3. Trở lại bài toán đoán tuổi, để giải thích bí mật trong bài toán đoán tuổi của anh Pi, em hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Gọi $x$ là tuổi cần đoán. Tìm hai đa thức (biến $x$) biểu thị kết quả thứ nhất và kết quả thứ hai.

b) Tìm đa thức biểu thị kết quả cuối cùng. Từ đó hãy nêu cách tìm  $x$.

Trả lời:

a) Tính như sau:

- Kết quả thứ nhất: $(x + 1)^2$

- Kết quả thứ hai: $(x - 1)^2$

b) Đa thức biểu thị kết quả cuối: $(x + 1)^2  - (x - 1)^2$