Giải toán 7 KNTT bài Luyện tập chung trang 83

9.31. Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân

Trả lời

Từ A kẻ đường thẳng m vuông góc với BC tại trung điểm D của BC

=> AD là đường trung tuyến của BC

Ta có  ∆ ADB và  ∆ ADC đều vuông tại D

Xét  ∆ ADB và  ∆ ADC , ta có

    AD chung 

    DB = DC ( D là trung điểm của BC)

    ∆ ADB và  ∆ ADC đều vuông tại D

=>  ∆ ADB =  ∆ ADC

=> AB= AC

=> ∆ ABC cân tại A

9.32. Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C. Gọi d là đường thẳng vuông góc với AB tại A. Với điểm M thuộc d, M khác A, vẽ đường thẳngCM. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM, cắt d tại N. Chúng minh đường thẳng BM, vuông góc với đường thẳng CN

Trả lời

Ta có: BN ⊥ CM, CA ⊥ MN. CA và BN căt nhau tại B

=> B là trực tâm của ∆ MNC

=> MB ⊥ CN

 9.33. Có một mảnh tôn hình tròn cần đục lỗ ở tâm. Làm thế nào để xác đinh được tâm của mảnh tôn đó

Trả lời

•  Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài mảnh tôn.
•  Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại D. Khi đó D là tâm cần xác định.

9.34. Cho tam giác ABC. Kẻ tia phân giác At của góc tạo bởi tia AB và tia đối của AC. Chứng minh rằng nếu đường thẳng chứa tia At song song với đường thẳng BC thì tam giác ABC cân tại A

Trả lời

Gọi AM là tia đối của AC. At là đường phân giác của $\widehat{MAB}$ => $\widehat{MAt}$ = $\widehat{tAB}$

Ta có At // BC => $\widehat{ABC}$ = $\widehat{tAB}$ ( 2 góc so le)

                             $\widehat{ACB}$ = $\widehat{MAt}$ ( 2 góc đồng vị)

mà $\widehat{MAt}$ = $\widehat{tAB}$

=> $\widehat{ABC}$ =$\widehat{ACB}$

=> Tam giác ABC cân tại A

9.35. Kí hiệu S(ABC) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC

a) Chúng minh S(GBC) = $\frac{1}{3}$ S(ABC)

Gợi ý: sử dụng GM= $\frac{1}{3}$ AM để chứng minh  S(GMB) = $\frac{1}{3}$ S(ABM) ,  S(GCM) = $\frac{1}{3}$ S(ACM)

b)Chứng minh S(GCA) = S(GAB) = $\frac{1}{3}$ S(ABC)

Trả lời

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GM= $\frac{1}{3}$ AM

Kẻ BP ⊥ AM ta có S (GMB)= $\frac{1}{2}$ BP . GM.

                            S ( ABM) =  $\frac{1}{2}$ BP . AM.

Ta có S (GMB)= $\frac{1}{2}$ BP . GM.

=>  S (GMB)= $\frac{1}{2}$ BP . $\frac{1}{3}$ AM

=>  S (GMB) = $\frac{1}{3}$ AM. $\frac{1}{2}$ BP

=> S (GMB)=  $\frac{1}{3}$ S (ABM) (1)

Tương tự, kẻ CN ⊥ AM, ta có  S (GMC)= $\frac{1}{2}$ CN . GM.

                                               S ( ACM) =  $\frac{1}{2}$ CN . AM.

mà  GM= $\frac{1}{3}$ AM

=> S (GMC)=  $\frac{1}{3}$ S (ACM) (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

S (GMB) + S (GMC)=  $\frac{1}{3}$ S (AMC) + $\frac{1}{3}$ S (ABM)

=> S( GBC) = $\frac{1}{3}$ S( ABC)

b) BP ⊥ AM => BP ⊥ AG

 CN ⊥ AM =>  CN ⊥ AG

Ta có S (GAB)= $\frac{1}{2}$ BP . AG.

         S (GAC)= $\frac{1}{2}$ CN . AG.

Xét ∆ BPM vuông tại P và ∆ CNM vuông tại N có:

  BM= CM ( M là trung điểm của BC)

$\widehat{PMB}$ = $\widehat{CMN}$ ( 2 góc đối đỉnh)

=> ∆ BPM =  ∆ CNM

=> BP = CN

=> S (GAB) = S (GAC)

Có AG= $\frac{2}{3}$ AM

S (ACB) =  S (GAB) +  S (GAC) + S ( GCB)

=> S (ACB) =  S (GAB) +  S (GAC) + $\frac{1}{3}$ S( ABC)

=> $\frac{2}{3}$ S( ABC) = 2 S (GAC)

=> $\frac{1}{3}$ S( ABC) = S (GAC) = S (GAB)