Giải toán 7 KNTT bài 28 Phép chia đa thức một biến

I. Làm quen với phép chia đa thức

Hoạt động 1. Tìm thương của mỗi phép chia hết sau:

a) $12x^3 : 4x$                  b) $(-2x^4) : x^4$                  c) $2x^5 : 5x^2$.

Trả lời:

a) $12x^3 : 4x = 3x^2$

b) $(-2x^4) : x^4 = -2$

c) $2x^5 : 5x^2 = \frac{2}{5}x^3$

Hoạt động 2. Giả sử $x \neq  0$. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào (của hai số mũ) thì thương hai luỹ thừa của x cũng là một luỹ thừa của x với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai luỹ thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?

Trả lời:

a) Nếu số mũ của số bị chia lớn hơn số mũ của số chia thì thương hai luỹ thừa của x cũng là một luỹ thừa của x với số mũ nguyên dương.

b) Thương hai luỹ thừa của x bằng hiệu của các lũy thừa.

Luyện tập 1. Thực hiện các phép chia sau:

a) $3x^7 : \frac{1}{2}x^4$;                 b) $(-2x) : x$;             c) $0,25x^5 : (-5x^2)$.

Trả lời:

a) $3x^7 : \frac{1}{2}x^4 = \frac{3}{\frac{1}{2}}x^{7 – 4} = 6x^3$

b) $(-2x) : x = -2x^{1-1} = -2$

c) $0,25x^5 : (-5x^2) = 0,25 : (-5)x^{5 – 2} = \frac{-1}{20}x^3$

II. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Luyện tập 2. Thực hiện phép chia:

a) $(-x^6 + 5x^4 – 2x^3) : 0,5x^2$.

b) $(9x^2 – 4) : (3x + 2)$.

Trả lời:

a) $(-x^6 + 5x^4 – 2x^3) : 0,5x^2$

$= (-x^6 : 0,5x^2) + (5x^4 : 0,5x^2) + (– 2x^3 : 0,5x^2)$

$= -2x^4 + 10x^2 – 4x$

b) $(9x^2 – 4) : (3x + 2)$.

* Đặt tính:

Vận dụng. Em hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Trả lời:

* Đặt tính:

III. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

Hoạt động 6. Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức $D$ cho đa thức $E$.

Trả lời:

Các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức $D$ cho đa thức $E$

- Bước 1: Đặt tính chia tương tự chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của $D$ chia cho hạng tử bậc cao nhất của $E$ được $5x$

- Bước 2: Lấy $D$ trừ đi tích của $E . 5x$ ta được dư thứ nhất.

- Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của $E$ được $3$.

- Bước 4. Lấy dư thứ nhất trừ đi đi tích $E . 3$ ta được dư thứ hai là dư cuối $(-6x + 10)$.

Hoạt động 7. Kí hiệu dư thứ hai là $G = -6x + 10$. Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Trả lời:

Kí hiệu dư thứ hai là $G = -6x + 10$. Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia không thể tiếp tục được.

* Bởi vì: lúc này bậc của $G$ (đa thức dư thứ hai) nhỏ hơn bậc của đa thức $E$.

Hoạt động 8. Hãy kiểm tra lại đẳng thức: $D = E . (5x - 3) + G$.

Phép chia đa thức $D$ cho đa thức $E$ trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư với đa thức thương là $5x – 3$ và đa thức dư là $G$

Trả lời:

$E . (5x - 3) + G$

$= (x^2 + 1)(5x – 3) + (-6x + 10)$

$= 5x^3 – 3x^2 – x + 7$

$= D$ (Đúng)

Luyện tập 3. Tìm dư $R$ và thương $Q$ trong phép chia đa thức $A = 3x^4 – 6x – 5$ cho đa thức $B = x^2 + 3x – 1$ rồi viết A dưới dạng $A = B . Q + R$.

Trả lời:

* Tính:

=> $R = -105x + 25$ và $Q = 3x^2 - 9x + 30$

Vậy: $A = B . Q + R$

=> $x^2 + 3x – 1 = (x^2 + 3x – 1) . (3x^2 - 9x + 30) + (-105x + 25)$