a) AB là đường kính nên góc AMB = góc ANB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
AM ⊥ MB và AN ⊥ NB.
Ta có: $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{AI}$ . ($\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BM}$) = $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{BM}$
Mà $\overrightarrow{AI}$ ⊥ $\overrightarrow{BM}$ (do AM ⊥ MB) nên $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{BM}$ = 0.
Vậy $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AM}$ = $\overrightarrow{AII]}$ . $\overrightarrow{AB}$ + 0 = $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AB}$
b) $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AM}$ + $\overrightarrow{BI}$ . $\overrightarrow{BN}$ = $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BI}$ . $\overrightarrow{BA}$ = $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BI}$ . (-$\overrightarrow{AB}$)
= $\overrightarrow{AI}$ . $\overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{BI}$ . $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{AB}$ . ($\overrightarrow{AI}$ - $\overrightarrow{BI}$) = $\overrightarrow{AB}$ . ($\overrightarrow{AI}$ + $\overrightarrow{IB}$) = $\overrightarrow{AB}$ . $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{AB^{2}}$ = 4R2