Giải toán 7 KNTT bài Giải bài tập cuối chương IX

9.36. Cho tam giác ABC $\widehat{BAC}$ là góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B, lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Trả lời 

Vì $\widehat{BAC}$ là góc tù nên $\widehat{ADE}$ ,$\widehat{AED}$ là các góc nhọn

=> $\widehat{DEC}$là góc tù.

=>DC>DE (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác DEC). (1)

 Xét tam giác ADC có:

$\widehat{DAC}$ là góc tù nên $\widehat{ADC}$ ,$\widehat{ACD}$ là các góc nhọn

=> $\widehat{BDC}$ là góc tù.

=>BC>DC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BDC) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: BC>DE

9.37. Cho tam giác ABC ( AB> AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa B D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE= CA ( H.9.52)

a) So sánh $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE

Trả lời

a)AB > AC =>  $\widehat{ABC}$ < $\widehat{ACB}$ ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ABC)

$\widehat{ABD}$ + $\widehat{ABC}$ = 180° => $\widehat{ABC}$ = 180°- $\widehat{ABD}$

$\widehat{ACE}$ + $\widehat{ACB}$ = 180° => $\widehat{ACB}$ = 180°- $\widehat{ACE}$

=> 180°- $\widehat{ABD}$ < 180°- $\widehat{ACE}$

=> $\widehat{ACE}$ < $\widehat{ABD}$

Tam giác ABD cân tại B ( BD= BA) => $\widehat{ABD}$= 180°- 2$\widehat{ADB}$

Tam giác ACE cân tại C ( CE= CA) => $\widehat{ACE}$= 180°- 2$\widehat{AEC}$

=> 180°- 2$\widehat{ADB}$ >  180°- 2$\widehat{AEC}$

=> $\widehat{ADB}$ < $\widehat{AEC}$

b) Xét tam giác ADE ta có : $\widehat{ADB}$ < $\widehat{AEC}$

=> AD > AE

9.38. Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) AI < $\frac{1}{2}$ (AB + AC)

b) AM < $\frac{1}{2}$ (AB + AC)

Trả lời

a) AI là đường cao từ A xuống đoạn thẳng BC=> AI là khoảng cách từ A đến BC => AI ngắn nhất

=> AI < AB và AI < AC

Cộng 2 vế với nhau ta có : 2 AI < AB + AC

                               => AI <$\frac{1}{2}$ (AB + AC)

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD

Xét ∆ ABM và ∆ DCM có

 AM = DM ( M là trung điểm củaAD)

  BM=CM ( M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMB}$  = $\widehat{CMD}$ ( 2 góc đối đỉnh)

=>  ∆ ABM = ∆ DCM

=>AB = CD

Xét  ∆ ADC ta có: AD < AC + CD

                   =>   2AM < AC + AB

                   =>   AM < $\frac{1}{2}$ (AB + AC)

9.39. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD= 2 DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A

Gợi ý D là trọng tâm của tam gíac ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là trung tuyến

Trả lời

C là trung điểm của AE => BC là trung tuyến của tam giác ABE (1)

D thuộc BC, BD= 2DC

=> BC= BD + DC = 2DC + DC = 3DC => DC = $\frac{1}{3}$ BC (2)

Từ (1) và (2)=> D là trọng tâm của tam giác ABE

=> AD là đường trung tuyến ứng với BE

    mà AD là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ hay $\widehat{BAE}$ thuộc tam giác ABE

=> Tam giác ABE cân tại A

9.40. Một sợi dây thép dài 1,2 m. Cần đánh dấu trên sợi dây thép đó hai điểm để khi uốn nó gập lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành một tam giác cân cạnh dài 30 cm (H.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép

Trả lời

Đổi 1,2 m = 120 cm

Gọi sợi dây thép là AD. Trên AD lấy 2 điểm thuộc B, C sao cho B nằm giữa AC. Gọi  B là đỉnh của tam giác cân cần tìm. 

=> BA = BC = 30 cm

=> Đoạn còn lại CD = 120 - 30 = 80 (cm)