Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức 

I. Mẫu số liệu ghép nhóm

1. Bảng tần số ghép nhóm

Hoạt động 1 trang 3 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Trong Bảng 1, ta thấy: 

Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;

Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8

Hãy xác định số ô tô có độ tuổi

a) Từ 8 đến dưới 12;

b) Từ 12 đến dưới 16; 

c) Từ 16 đến dưới 20

Hướng dẫn trả lời: 

a) Độ tuổi từ 8 đến dưới 12 có 48 ô tô

b) Độ tuổi từ 12 đến dưới 16 có 22 ô tô

c) Độ tuổi từ 16 đến dưới 20 có 8 ô tô 

Luyện tập 1 trang 4 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm 

Hướng dẫn trả lời: 

- Mẫu số liệu ghép nhóm có 120 số liệu. Có 5 nhóm

- Tần số của các nhóm lần lượt là: 13, 29, 48, 22, 8

2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

Hoạt động 2 trang 4 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một trường trung học phổ phông chọn 36 học sinh nam của khối lớp 11, đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: centimet)

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có thể chia mẫu số liệu thành năm nhóm:

[160; 163): 160, 161, 161, 161, 162, 162, 162

[163; 166):  163, 163, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165

[166; 169): 166, 166, 166, 166, 167, 167, 168, 168, 168, 168

[169; 172): 169, 169, 170, 171, 171

[172; 175): 172, 172, 174

Luyện tập 2 trang 5 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau: [25 ; 34); [34 ; 43); [43 ; 52); [52; 61); [61 ; 70); [70 ; 79); [79 ; 88) ; [88 ; 97)

Hướng dẫn trả lời: 

Hoạt động 3 trang 5 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Trong bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị đầu mút phải 

a) 163 của nhóm 1?

b) 166 của nhóm 2?

c) 169 của nhóm 3?

d) 172 của nhóm 4?

e) 175 của nhóm 5?

Hướng dẫn trả lời: 

Có 6 giá trị không vượt quá giá trị 163 của nhóm 1

Có 12 giá trị không vượt quá giá trị 166 của nhóm 2

Có 10 giá trị không vượt quá giá trị 169 của nhóm 3

Có 5 giá trị không vượt quá giá trị 172 của nhóm 4

Có 3 giá trị không vượt quá giá trị 175 của nhóm 5

Luyện tập 3 trang 6 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng: [25 ; 34); [34 ; 43); [43 ; 52); [52; 61); [61 ; 70); [70 ; 79); [79 ; 88) ; [88 ; 97)

Hướng dẫn trả lời: 

II. Số trung bình cộng (số trung bình)

1. Định nghĩa

Hoạt động 4 trang 6 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm 

a) Tìm trung điểm x, của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm 1. Ta gọi trung điểm x1 là giá trị đại diện của nhóm 1.
b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong Bảng 7.
c) Tính giá trị $\overline{x}$ cho bởi công thức sau: $\overline{x}=\frac{n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}+...+n_{5}x_{5}}{n}$

Giá trị $\overline{x}$ gọi là số trung bình cộng của mẫu số

Hướng dẫn trả lời: 

Luyện tập 4 trang 8 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở luyện tập 2

Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Hướng dẫn trả lời: 

Trung bình cộng là: $\overline{x}=\frac{29,5.3+38,5.3+47,5.6+56,5.5+65,5.4+74,5.3+83,5.4+92,5.2}{30}$

$=59,2$

III. Trung vị

Hoạt động 5 trang 8 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như bảng 10

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}=49,5$ có đúng không

b) Tìm đầu mút trái r, độ dài d, tần số $n_{3}$ của nhóm 3, tần số tích lũy $cf_{2}$ của nhóm 2

c) Tính giá trị $M_{e}$ theo công thức sau: $M_{e}=r+\left ( \frac{49,5-cf_{2}}{n3} \right )\cdot d$.

Hướng dẫn trả lời: 

a) $\frac{n}{2}=\frac{99}{2}=49,5$ 

b) Nhóm 3 có đầu mút trái r: 37,5; độ dài d: 5; tần số $n_{3}$: 20, tần số tích lũy của nhóm 2 là: 40

c) $M_{e}=r+\left ( \frac{49,5-cf_{2}}{n3} \right )\cdot d=37,5+\left ( \frac{49,5-40}{20} \right )\cdot 5=39,875$.

Luyện tập 5 trang 9 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 

Hướng dẫn trả lời: 

$\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60$ => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 60

Thấy nhóm 3 là nhóm [8 ; 12) có $r=8; d=4; n_{3}=48$ và nhóm 2 là nhóm [4 ; 8) có $cf_{2}=42$

=> $M_{e}=8+\left ( \frac{60-42}{48} \right )\cdot 4=9,5$

IV. Tứ phân vị

Hoạt động 6 trang 10 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như Bảng 12

a) Tìm trung vị $M_{e}$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị còn gọi là tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ của mẫu số liệu trên.

b) Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$ có đúng không?

Tìm đầu mút trái s, độ dài h, tần số $n_{2}$ của nhóm 2; tần số tích luỹ $cf_{1}$ của nhóm 1. Sau đó, hãy tính giá trị $Q_{1}$ theo công thức sau: $Q_{1}=s+\left ( \frac{10-cf_{1}}{n2} \right )\cdot h$

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đã cho.

c) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3.40}{4}=30$ có đúng không?

Tìm đầu mút trái t, độ dài l, tần số $n_{3}$ của nhóm 3; tần số tích luỹ $cf_{2}$ của nhóm 2.

Sau đó, hãy tính giá trị $Q_{3}$ theo công thức sau: $Q_{3}=t+\left ( \frac{30-cf_{2}}{n_{3}} \right )\cdot l$

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba  $Q_{3}$ của mẫu số liệu đã cho.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có $\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 20

Xét nhóm 3 là nhóm [120 ; 180) có $r=120; d=60; n_{3}=13$ và nhóm 2 là nhóm [60 ; 120) có $cf_{2}=19$

=> $M_{e}=120+\left ( \frac{20-19}{13} \right )\cdot 60≈125$ (phút)

b) Nhóm 2 có tần số tích lũy là 19 => Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$

- Nhóm 2 có đầu mút trái s: 60, độ dài h: 60, tần số $n_{2}: 13$

- Nhóm 1 có tần số tích lũy là: 6

=>  $Q_{1}=60+\left ( \frac{10-6}{13} \right )\cdot 60≈78$ (phút)

c) Nhóm 3 có tần số tích lũy là 32 => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}=\frac{3.40}{4}=30$

- Nhóm 3 có đầu mút trái t: 120, độ dài l: 60, tần số $n_{3}:13$ của nhóm 3; tần số tích luỹ $cf_{2}: 19$

=> $Q_{3}=120+\left ( \frac{30-19}{13} \right )\cdot 60≈171$ (phút)

Luyện tập 6 trang 12 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong bảng 1 (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười) 

Hướng dẫn trả lời: 

 Số phần tử của mẫu là $n=120$.

- Ta có $\frac{n}{4}=\frac{120}{4}=30$ => nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30

=> $Q_{1}=4+\left ( \frac{30-13}{29} \right )\cdot 4≈ 6,4$ (chiếc) 

- Có $\frac{n}{2}=\frac{120}{2}=60$ => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 60

=> $Q_{2}=M_{e}=8+\left ( \frac{60-42}{48} \right )\cdot 4=9,5$ (chiếc) 

- Ta có $\frac{3n}{4}=90$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 90.

=> $Q_{3}=8+\left ( \frac{90-42}{48} \right )\cdot 4=12$ (chiếc) 

V. Mốt

Hoạt động 7 trang 12 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy ở ví dụ 6 và cho biết:

a) Nhóm nào có tần số lớn nhất;

b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Nhóm 3 có tần số lớn nhất

b) Đầu mút trái: 50, độ dài: 10

Luyện tập 7 trang 13 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Tìm mốt của mẫu số liệu trong Ví dụ 6 (làm tròn đến hàng phần mười)

Hướng dẫn trả lời: 

Có nhóm 3 là nhóm có tần số lớn nhất

=> $M_{o}=50+\left ( \frac{16-10}{2.16-10-8} \right )\cdot 10 ≈ 54,3$

B. Vận dụng giải bài tập 

Bài 1 trang 14 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độc của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đợn vị: km/h)

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng [40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70)

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là

b) Trung bình cộng là: 

$\overline{x}=\frac{42,5.4+47,5.11+52,5.7+57,5.8+62,5.8+67,5.2}{40}$

$=53,875$

Trung vị là: 

Có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy là 

Số phần tử của mẫu là $n=40$. Ta có: 

$\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 20

 => $M_{e}=50+\left ( \frac{20-15}{7} \right )\cdot 5≈53,6 $ (km/h)

- $Q_{1}$ là: 

Số phần tử của mẫu là $n=40$.

 Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10. Xét nhóm 2 là nhóm [45 ; 50) có $r=45$; d=5; n_{2}=11$ và nhóm 1 là nhóm [40 ; 45) có $cf_{1}=4$

Áp dụng công thức, ta có $Q_{1}$ của mẫu số liệu là

=> $Q_{1}=45+\left ( \frac{10-4}{11} \right )\cdot 5≈ 47,7$ (km/h)

- $Q_{2}$ là: 

Có $Q_{2}=M_{e}≈53,6$ (km/h)

- $Q_{3}$ là: 

Ta có $\frac{3n}{4}=30$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30

=> $Q_{3}=55+\left ( \frac{30-22}{8} \right )\cdot 5=60$  (km/h)

c) Mốt của mẫu số liệu là: 

Có nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất

=> $M_{o}=45+\left ( \frac{11-4}{2.11-4-7} \right )\cdot 5≈ 43,2$

Bài 2 trang 14 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Mẫu số liệu ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam)

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu 

Hướng dẫn trả lời: 

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là

b) - Trung bình cộng là: 

$\overline{x}=\frac{17,5+32,5+37,5.10+42,5.17+52,5}{30}=40$

- Trung vị là: 

Có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy là

Số phần tử của mẫu là $n=30$. Ta có: 

$\frac{n}{2}=\frac{30}{2}=15$ => Nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 15

 => $M_{e}=40+\left ( \frac{15-12}{17} \right )\cdot 5≈40,9 $ (kilôgam)

- $Q_{1}$ là: 

Số phần tử của mẫu là $n=30$.

 Ta có $\frac{n}{4}=\frac{30}{4}=7,5$. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5.

=> $Q_{1}=35+\left ( \frac{7,5-2}{10} \right )\cdot 5=37,75$ (kilôgam)

- $Q_{2}=M_{e}≈40,9$ (kilôgam)

- $Q_{3}$ là: 

Ta có $\frac{3n}{4}=22,5$. Suy ra nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5.

=> $Q_{3}=40+\left ( \frac{22,5-12}{17} \right )\cdot 5=43,1$ (kilôgam)

c) Mốt của mẫu số liệu là: 

Có nhóm 6 là nhóm có tần số lớn nhất

=> $M_{o}=40+\left ( \frac{17-10}{2.17-10} \right )\cdot 5≈ 41,46$

Bài 3 trang 14 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bảng 15 cho ta tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu câu ở vườn thực vật (đơn vị: centimét)

a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu 

Hướng dẫn trả lời: 

a) Có bảng ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là 

 - Trung bình cộng là: 

$\overline{x}=\frac{35.4+45.10+55.14+65.6+75.4+85.2}{40}$

$=55.5$

- Trung vị là

Số phần tử của mẫu là $n=40$. Ta có: 

$\frac{n}{2}=\frac{40}{2}=20$ => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 20

Xét nhóm 3 là nhóm [50 ; 60) có $r=50; d=10; n_{3}=14$ và nhóm 2 là nhóm [45 ; 50) có $cf_{2}=14$

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

 $M_{e}=50+\left ( \frac{20-14}{14} \right )\cdot 10≈54,3 $ (centimét)

- $Q_{1}$ là: 

Số phần tử của mẫu là $n=40$.

 Ta có $\frac{n}{4}=\frac{40}{4}=10$. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10. Xét nhóm 2 là nhóm [40 ; 50) có $r=40; d=10; n_{2}=10$ và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có $cf_{1}=4$

Áp dụng công thức, ta có $Q_{1}$ của mẫu số liệu là

=> $Q_{1}=40+\left ( \frac{10-4}{10} \right )\cdot 10≈ 46$ (centimét)

- $Q_{2}$ là: 

Có $Q_{2}=M_{e}≈54,3 $ (centimét)

- $Q_{3}$ là: 

Ta có $\frac{3n}{4}=30$. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30. Xét nhóm 4 là nhóm [60 ; 70) có $r=60; d=10; n_{4}=6$ và nhóm 3 là nhóm [50 ; 60) có $cf_{3}=28$

Áp dụng công thức, ta có $Q_{3}$ của mẫu số liệu là:

$Q_{3}=60+\left ( \frac{30-28}{6} \right )\cdot 10=63,3$  (centimét)

c) Mốt của mẫu số liệu là: 

Có nhóm 3 là nhóm có tần số lớn nhất

=> $M_{o}=50+\left ( \frac{14-10}{2.14-10-6} \right )\cdot 10≈ 53,3$