Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 4 Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Phương trình mũ và phương trình lôgarit

1. Phương trình mũ

Hoạt động 1 trang 48 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Dân số được ước tính theo công thức $S=A.e^{r.t}$, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm

Giả sử $r=1,14$%/năm

a) Viết phương trình thực hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lũy thừa

 Hướng dẫn giải

a) Có S=2A

$2A=A.e^{0,0114.t}$

$=>2=e^{0,0114.t}$

$=> ln2=0,0114.t$

b) Ẩn trong phương trình trên là t, là số năm cần tìm để dân số gấp đôi dân số ban đầu. Nó nằm trong lũy thừa của số e, tức là $e^{0,0114.t}$, đây là dấu hiệu cho thấy phương trình là một phương trình mũ.

Luyện tập 1 trang 48 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai ví dụ về phương trình mũ

Hướng dẫn giải

(1) $3^{2x+1}=9$

(2 )$6^{2x+3}=6^{x}$

Hoạt động 2 trang 48 Toán 11 tập 2 Cánh diều

a) Vẽ đồ thị hàm số $y=3^{x}$ và đường thẳng y = 7 

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình $3^{x}=7$

 Hướng dẫn giải

Ta có bảng sau:

b) Hai đồ thị $y = 3^{x}$ và $y = 7$ có 1 giao điểm. Vậy số nghiệm của phương trình này là 1

Luyện tập 2 trang 49 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi phương trình sau:

a) $9^{16-x}=27^{x+4}$

b) $16^{x-2}=0,25.2^{-x+4}$

 Hướng dẫn giải

a) $9^{16-x}=27^{x+4}$

$<=> 3^{2(16-x)}=3^{3(x+4)}$

$<=> 2(16-x)=3(x+4)$

$<=> 32-2x=3x+12$
$<=>-5x=-20$

$<=>x=4$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

b) $16^{x-2}=0,25.2^{-x+4}$

$<=>2^{4(x-2)}=2^{-2}.2^{-x+4}$

$<=>2^{4(x-2)}=2^{2-x}$

$<=> 4(x-2)=2-x$

$<=> 4x-8=2-x$

$<=> 5x=10$

$<=> x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2

2. Phương trình lôgarit

Hoạt động 3 trang 49 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: $pH=-log[H^{+}]$ (trong đó $[H^{+}]$ chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số pH của một mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1.

a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của ion hydrogen$[H^{+}]$ trong mẫu nước sông đó.
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit?

 Hướng dẫn giải

a) Có $pH=-log[H^{+}]$ => $[H^{+}] = 10^{-pH}$

Thay giá trị pH = 6,1 vào phương trình trên, ta có:

$[H^{+}] = 10^{-6,1}$

b) Ẩn trong phương trình trên là $[H^{+}]$ , là nồng độ ion hydrogen của mẫu nước sông. Nó nằm trong hàm logarit ở vị trí mũi tên trên dấu "-" của công thức $-log[H^{+}]$ , tức là ở dạng lôgarit của phép tính "10 mũ số".

 Luyện tập 3 trang 50 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai ví dụ về phương trình lôgarit

 Hướng dẫn giải

$log_{4}(2x-1)=16$

$log_{5}(3x-1)=25$

Hoạt động 4 trang 50 Toán 11 tập 2 Cánh diều: 

a) Vẽ đồ thị hàm số $y=log_{4}(x)$ và đường thẳng $y=5$

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình $y=log_{4}(x)$

 Hướng dẫn giải

Luyện tập 4 trang 51 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi phương trình sau

a) $log_{5}(2x-4)+log_{\frac{1}{5}}(x-1)=0$

b) $log_{2}x+log_{4}x=3$

 Hướng dẫn giải

a) $log_{5}(2x-4)+log_{\frac{1}{5}}(x-1)=0$

ĐKXĐ: $\left\{\begin{matrix}2x-4>0\\ x-1>0\end{matrix}\right.$

$=> x>2$

$<=> log_{5}(2x-4)+log_{5^{-1}}(x-1)=0$

$<=> log_{5}(2x-4)=log_{5}(x-1)$

$<=> 2x-4=x-1$

$<=> x=3$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3

b) $log_{2}x+log_{4}x=3$

ĐKXĐ: $x>0$

$<=> log_{2}x+log_{2}x^{\frac{1}{2}}=3$

$<=> log_{2}(x.x^{\frac{1}{2}})=3$

$<=> log_{2}(x^{\frac{3}{2}})=log_{2}8$

$<=> x^{\frac{3}{2}}=8$

$<=> x=4$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

II. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Bất phương trình mũ

Hoạt động 5 trang 51 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ $y=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}$. Từ đó hãy tìm x sao cho $\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >2$

 Hướng dẫn giải

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >2$

<=>$\left ( \frac{1}{2} \right )^{x} >\left ( \frac{1}{2} \right )^{-1} $

$<=> x<-1$

Luyện tập 5 trang 52 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản

 Hướng dẫn giải

$2^{x}>5$

$3^{x}>12$

Luyện tập 6 trang 52 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi bất phương trình sau 

a) $7^{x+3}<343$

b) $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\geq 3$

 Hướng dẫn giải

a) $7^{x+3}<343$

$<=> 7^{x+3}<7^{3}$

$<=> x+3<3$

$<=> x<0$

b) $\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}\geq 3$

$<=> x\leq log_{\frac{1}{4}}3$

Hoạt động 6 trang 53 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát hình 12 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit $y=log_{2}x$. Từ đó hãy tìm x sao cho $log_{2}x>1$

 Hướng dẫn giải

Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty )$

$log_{2}x>1$ => $x>2$

Luyện tập 7 trang 53 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hai ví dụ về bất phương trình lôgairt cơ b

 Hướng dẫn giải

$log_{2}x>4$

$log_{4}x>16$

Luyện tập 8 trang 54 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi bất phương trình sau

a) $log_{3}x<2$

b) $log_{\frac{1}{4}}(x-5)\geq -2$

 Hướng dẫn giải

a) $log_{3}x<2$

$<=>0<x<3^{2}$

$<=>0<x<3^{2}$

b) $log_{\frac{1}{4}}(x-5)\geq -2$

$<=> o<x-5\leq 6$

$<=> 5<x\leq 21$

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 54 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi phương trình sau: 

a) $(0,3)^{x-3}=1$

b) $5^{3x-2}=25$

c) $9^{x-2}=243^{x+1}$

d) $log_{\frac{1}{2}}(x+1)=-3$

e) $log_{5}(3x-5)=log_{5}(2x+1)$

g) $log_{\frac{1}{7}}(x+9)=log_{\frac{1}{7}}(2x-1)$

 Hướng dẫn giải

a) $(0,3)^{x-3}=1$

$<=> (0,3)^{x-3}=(0,3)^{0}$

$<=> x-3=0$

$<=> x=3$

b) $5^{3x-2}=25$

$<=> 5^{3x-2}=5^{2}$

$<=> 3x-2=2$

$<=> 3x=4$

$<=> x=\frac{4}{3}$

c) $9^{x-2}=243^{x+1}$

$<=>3^{2(x-2)}=3^{5(x+1)}$

$<=> 2x-4=5x+5$

$<=> -3x=9$

$<=> x=-3$

d) $log_{\frac{1}{2}}(x+1)=-3$

ĐKXĐ: $x+1>0 => x>-1$

$<=> log_{\frac{1}{2}}(x+1)=log_{\frac{1}{2}}(8)$

$<=> x+1=8 $

$<=> x=7$

e) $log_{5}(3x-5)=log_{5}(2x+1)$

ĐKXĐ: $x>\frac{5}{3}$

$<=> 3x-5=2x+1$

$<=> x=6$

g) $log_{\frac{1}{7}}(x+9)=log_{\frac{1}{7}}(2x-1)$

ĐKXĐ: $x>\frac{1}{2}$

$<=> x+9=2x-1$

$<=> x=10$

Bài 2 trang 55 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Giải mỗi bất phương trình sau: 

a) $3^{x}>\frac{1}{243}$

b) $\left ( \frac{2}{3} \right )^{3x-7}\leq \frac{3}{2}$

c) $4^{x+3}\geq 32^{x}$

d) $log(x-1)<0$

e) $log_{\frac{1}{5}}(2x-1)\geq log_{\frac{1}{5}}(x+3)$

g) $ln(x+3)\geq ln(2x-8)$

 Hướng dẫn giải

a) $3^{x}>\frac{1}{243}$

$<=> 3^{x}>3^{-5}$

$<=> x>-5$

b) $\left ( \frac{2}{3} \right )^{3x-7}\leq \frac{3}{2}$

$<=> 3x-7\geq -1$

$<=> 3x\geq 6$

$<=>x\geq 2$

c) $4^{x+3}\geq 32^{x}$

$<=> 2^{2(x+3)}\geq 2^{5x}$

$<=> 2x+6\geq 5x$

$<=> -3x\geq -6$

$<=> x\leq 2$

d) $log(x-1)<0$

ĐKXĐ: $x>1$

$<=>log(x-1)<log(1) $

$<=> x-1<1$

$<=> x<2$

Kết hợp với ĐKXĐ: $1<x<2$

e) $log_{\frac{1}{5}}(2x-1)\geq log_{\frac{1}{5}}(x+3)$

ĐKXĐ: $x>\frac{1}{2}$

$<=> 2x-1\leq x+3$

$<=> x\leq 4$

Kết hợp với ĐKXĐ => $\frac{1}{2}< x\leqslant 4$

g) $ln(x+3)\geq ln(2x-8)$

ĐKXĐ: $x>3$

$<=> x+3\geq 2x-8$

$<=> x\leq 11$

Kết hợp với ĐKXĐ => $3<x\leq 11$

Bài 3 trang 55 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là x%/năm (x>0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi 

 Hướng dẫn giải

Có công thức: $100.(1+\frac{x}{100})^{3}=119,1016$

$<=> 1+\frac{x}{100}=1.06$

$<=> \frac{x}{100}=0,06$

$<=> x=6%$

Bài 4 trang 55 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Sử dụng công thức tính mức cường độ âm L ở ví dụ 14, hãy tính cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130 dB 

 Hướng dẫn giải

$L=10log\frac{I}{10^{-12}}$

$<=> 130=10log\frac{I}{10^{-12}}$

$<=> log\frac{I}{10^{-12}}=13$

$<=> log\frac{I}{10^{-12}}=log1.10^{13}$

$<=> \frac{I}{10^{-12}}=1.10^{13}$

$<=> I=10$