Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Định nghĩa

Hoạt động 1 trang 80 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 10 mô tả một người thợ xây đang thả dây dọi vuông góc với nền nhà. Coi dây dọi như đường thẳng d và nền nhà như mặt phẳng (P), khi đó Hình 10 gợi nên hình ảnh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Người thợ xây đặt chiếc thước thẳng ở một vị trí tuỳ ý trên nền nhà. Coi chiếc thước thẳng đó là đường thẳng a trong mặt phẳng (P), nêu dự đoán về mối liên hệ giữa đường thẳng d và đường thẳng a.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hoạt động 2 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 12 mô tả cửa tròn xoay, ở đó trục cửa và hai mép cửa gợi nên hình ảnh các đường thẳng d, a, b; sàn nhà coi như mặt phẳng (P) chứa a và b. Hỏi đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

 Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng (P) 

Luyện tập 1 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)

 Hướng dẫn giải

Vì SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BD

Vì ABCD là hình thoi => AC ⊥ BD

Xét BD và  mặt phẳng (SAC) có SA cắt AC tại A 

SA ⊥ BD, AC ⊥ BD

=> BD ⊥ (SAC)

Hoạt động 3 trang 81 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho điểm O và đường thẳng a. Gọi b, c là hai đường thẳng phân biệt cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (Hình 14).

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a?

 Hướng dẫn giải

a) Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng b, c có vuông góc với đường thẳng a 

b) Có một mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a

Luyện tập 2 trang 82 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 17 mô tả một cửa gỗ có dạng hình chữ nhật, ở đó nẹp cửa và mép dưới cửa lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng d và a. Điểm M là vị trí giao giữa mép gắn bản lề và mép dưới của cửa. Hãy giải thích tại sao khi quay cánh cửa, mép dưới cửa là những đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đi qua điểm M cố định và vuông góc với đường thẳng d.

 Hướng dẫn giải

Vì sàn nhà là một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. Mà đường thẳng a luôn nằm trên mặt phẳng đó nên đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng a 

Hoạt động 4 trang 82 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Gọi a, b là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) sao cho a và b không đi qua 0. Lấy hai mặt phẳng (Q), (R) lần lượt đi qua O và vuông góc với a, b (Hình 18).

a) Giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P) hay không?

b) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua và vuông góc voi (P)?

 Hướng dẫn giải

a) Giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng (Q), (R) có vuông góc với mặt phẳng (P)

b) Có duy nhất một đường thẳng đi qua và vuông góc voi (P)?

Luyện tập 3 trang 83 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng a cắt nhau tại điểm O, a ⊥ (P). Giả sử điểm M thỏa mãn OM ⊥ (P).Chứng minh rằng $M \in a$

 Hướng dẫn giải

Vì chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Nếu a ⊥ (P), OM ⊥ (P) => $M \in a$

IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quna hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 5 trang 83 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 19, hai thanh sắt và bản phẳng để ngồi gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P).

Quan sát Hình 19 và cho biết:

a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b hay không;
b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau hay không.

 Hướng dẫn giải

a) Nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a thì mặt phẳng (P) có vuông góc với đường thẳng b 
b) Nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì chúng có song song với nhau

Luyện tập 4 trang 84 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại điểm O. Lấy các điểm A, B thuộc d khác O; các điểm A', B' thuộc (P) thỏa mãn AA' ⊥ (P), BB' ⊥ (P). Chứng minh rằng: $\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA}{OB}$

 Hướng dẫn giải

Do $AA'\perp (P), BB'\perp (P)$

=> AA' // BB'

=> $\frac{AA'}{BB'}=\frac{OA}{OB}$ (Định lý Thales)

Hoạt động 6 trang 84 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 21, hai mặt trần của nhà cao tầng và cột trụ bê tông gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P), (Q) phân biệt và đường thẳng a.

Quan sát Hình 21 và cho biết:

a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) hay không;
b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau hay không.

 Hướng dẫn giải

a) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau và đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng a có vuông góc với mặt phẳng (Q) 
b) Nếu hai mặt phẳng (P), (Q) cùng vuông góc với đường thẳng a thì chúng có song song với nhau 

Luyện tập 5 trang 85 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Mặt phẳng (P) khác với mặt phẳng (ABC), vuông góc với đường thẳng SA và lần lượt cắt các đường thẳng SB, SC tại hai điểm phân biệt B', C'. Chứng minh rằng B'C' // BC

 Hướng dẫn giải

Do $P\perp SA, ABC\perp SA$

=> (P) // (ABC)

=> B'C' // BC

V. Phép chiếu vuông góc 

Hoạt động 7 trang 85 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tuỳ ý trong không gian.

a) Có bao nhiêu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?
b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại bao nhiêu giao điểm?

 Hướng dẫn giải

a) Có một đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)?
b) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một giao điểm

Luyện tập 6 trang 86 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng AB. Xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng (P)

 Hướng dẫn giải

Để xác định hình chiếu của đoạn thẳng AB lên mặt phẳng (P), ta cần thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A hoặc B. Gọi đường thẳng này là d.

Bước 2: Kẻ đường thẳng cắt đoạn AB tại một điểm C.

Bước 3: Vẽ đường thẳng vuông góc với (P) và đi qua điểm C. Gọi đường thẳng này là d'.

Bước 4: Tìm giao điểm giữa (P) và d', ký hiệu là E.

Bước 5: Kết quả là đoạn thẳng AE hoặc BE là hình chiếu của đoạn thẳng AB lên mặt phẳng (P).

Lưu ý rằng, nếu đoạn thẳng AB nằm hoàn toàn trên mặt phẳng (P), thì hình chiếu của nó trùng với đoạn thẳng AB. Nếu không, thì hình chiếu của nó sẽ là một đoạn thẳng khác, có chiều dài khác với đoạn thẳng AB.

VI. Định lí ba đường vuông góc 

Hoạt động 8 trang 87 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong Hình 27, mặt sàn gợi nên hình ảnh mặt phẳng (P), đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng a’là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P), đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Quan sát Hình 27 và cho biết:

a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a thì đường thẳng d có vuông góc với a hay không;
b) Ngược lại, nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’ hay không.

Hướng dẫn giải

a) Nếu đường thẳng d vuông góc với hình chiếu a thì đường thẳng d có vuông góc với a 
b) Ngược lại, nếu đường thẳng d vuông góc với a thì đường thẳng d có vuông góc với hình chiếu a’

Luyện tập 7 trang 87 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng các tam giác SBC và SCD là các tam giác vuông

Hướng dẫn giải

1) Ta có  BC ⊥ AB (ABCD là hình chữ nhật)

               BC⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

 ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B

 Có CD ⊥ AD (ABCD là hình chữ nhật)

       CD ⊥ SA ( vì (SA ⊥ (ABCD))

=> CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD

=> Tam giác  SCD vuông tại D

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát Hình 30 (hai cột của biển báo, mặt đường), cho biết hình đó gợi nên tính chất nào về quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

• Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Bài 2 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a) Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử BC ⊥ SA, CA ⊥ SB. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và AB ⊥ SC.

Hướng dẫn giải

a) Để xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC), ta có thể vẽ đường thẳng vuông góc từ điểm S đến mặt phẳng (ABC), kết hợp với việc vẽ các đường thẳng từ A, B, C vuông góc với mặt phẳng (ABC) để tìm hình chiếu của các đường thẳng đó. Hình chiếu của SA, SB, SC lần lượt là AD, BE, CF

b) Vì BC ⊥ SA và CA ⊥ SB, nên BC và CA lần lượt là các đường vuông góc với SA và SB. Do đó, ta có:

• SA ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ BC và SK ⊥ AB (trong đó H và K lần lượt là hình chiếu của S xuống BC và AB)
• SB ⊥ (ABC) ⇒ SJ ⊥ AC và SL ⊥ AB (trong đó J và L lần lượt là hình chiếu của S xuống AC và AB)
• SC ⊥ (ABC) ⇒ SM ⊥ AB và SN ⊥ AC (trong đó M và N lần lượt là hình chiếu của S xuống AB và AC)

Khi đó, ta thấy rằng tam giác ABC có ba đường cao HN, KM và LJ, nên H là trực tâm của tam giác ABC (vì trực tâm là điểm giao điểm của ba đường cao của tam giác).

Bên cạnh đó, ta có AB ⊥ SL (vì AB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SL vuông góc với AB), và từ đó suy ra AB ⊥ SC (vì SL là hình chiếu của SC xuống AB). Vậy AB ⊥ SC, như cần chứng minh.

Bài 3 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD), các tam giác BCD và ACD là những tam giác nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác BCD, ACD. Chứng minh rằng: 

a) CD ⊥ (ABH)

b) CD ⊥ (ABK)

c) Ba đường thẳng AK, BH, CD cùng đi qua một điểm

Hướng dẫn giải

a) Vì AB ⊥ (BCD)

=> AB ⊥ CD (1)

Có H là trực tâm của tam giác BCD => BH ⊥ CD (2)

Từ (1) và (2) => CD ⊥  (ABH)

b) Vì AB ⊥ (BCD)

=> AB ⊥ CD (1)

Có K là trực tâm của tam giác ACD => AK ⊥ CD (2)

Từ (1) và (2) => CD ⊥  (ABK)

Bài 4 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tam giác ABC nhọn có trực tâm H là hình chiếu của S trên (ABCD). Chứng minh rằng 

a) SA ⊥ AD

b) SC ⊥ CD

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh SA ⊥ AD

Gọi M là trung điểm của AB

=> HM // CD (vì AB và CD là hai đường chéo của hình bình hành).

Có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SM vuông góc với HM. Vì SM song song với CD, nên SA cũng vuông góc với CD. Do đó, ta có SA ⊥ AD.

b) Chứng minh SC ⊥ CD

Chứng minh tương tự, gọi N là trung điểm của CD. Ta có HN song song với AB. Theo tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta biết rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SN vuông góc với HN. Vì SN song song với AB, nên SC cũng vuông góc với AB. Do đó, ta có SC ⊥ CD.

Bài 5 trang 88 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), BC ⊥ AB. Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và điểm P nằm trên cạnh SA. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Có SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

mà BC ⊥ AB

=> BC ⊥ (SAB) 

=> BC ⊥ MP (1) 

Xét tam giác SBC có M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC

=> MN là đường trung bình của tam giác SBC 

=> MN // BC (2) 

Từ (1) và (2) 

=> MN ⊥ MP

=>  tam giác MNP là tam giác vuông tại M