Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 4: Hệ số góc của đường thẳng

KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi: Khi nào thì hai đường thẳng y = ax+b (a≠0) và y = a′x+b′(a′≠0) song song với nhau, trùng nhau, cắt nhau?

Hướng dẫn trả lời:

- Hai đường thẳng y = ax+b (a≠0) và y = a′x+b′ (a′≠0) song song với nhau khi a = a'

- Hai đường thẳng y = ax+b (a≠0) và y = a′x+b′ (a′≠0) cắt nhau khi a ≠ a′

- Hai đường thẳng y = ax+b (a≠0) và y = a′x+b′(a′≠0) trùng nhau khi a = a' và b = b'

1. Hệ só góc của đường thẳng y = ax + b (a≠0)

Khám phá 1: 

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng y = ax + b (a≠0) cắt Ox tại điểm A và T là một điểm trên đường thẳng y = ax + b (a≠0) có tung độ dương (Hình 1).

Ta gọi $\alpha=\widehat{xAT}$ là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a≠0) và trục Ox

Nêu nhận xét của em về số đo của góc α và hệ số a trong hai trường hợp dưới đây.

b) Hãy so sánh các hệ số a của các đường thẳng y = ax + b trong mỗi hình ở Hình 2 và so sánh các góc α hoặc các góc β tạo bởi các đường thẳng đó với trục Ox

Hướng dẫn trả lời:

a) Khi a > 0 thì góc α là góc nhọn

Khi a < 0 thì góc α là góc tù

b) Với hệ số a dương, hệ số a càng lớn thì góc α càng lớn

Với hế số a âm, hệ số a càng lớn thì góc β càng lớn

Thực hành 1: Tìm hệ số góc của các đường thẳng sau đây:

a) y = 5x - 5

b) $y=\sqrt{3}x+3$

c) $y=\sqrt{11}x+\sqrt{7}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Đường thẳng y = 5x - 5 có hệ số góc a = 5

b) Đường thẳng $y=\sqrt{3}x+3$ có hệ số góc $a=\sqrt{3}$

c) Đường thẳng $y=\sqrt{11}x+\sqrt{7}$ có hệ số góc $a=\sqrt{11}$

2. Hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau

Khám phá 2: Quan sát hình 3.

a) So sánh hệ số góc của hai đường thẳng: d: y = 2x + 3 và d': y = 2x - 2

Nêu nhận xét về vị trí giữa hai đường thẳng này.

b) Tìm đường thẳng d'' đi qua gốc O và song song với đường thẳng d

Hướng dẫn trả lời:

a) Hai đường thẳng: d: y = 2x + 3 và d': y = 2x - 2 có hệ số góc bằng nhau và đều bằng 2

Ta thấy d // d'

b) d'' đi qua gốc O nên d'' có dạng y = ax mà d'' // d suy ra a = 2

Vậy d'': y = 2x

Khám phá 3: Quan sát Hình 4

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng d: y = 2x và d': y = x

b) Nêu nhận xét về hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau

c) Cho đường thẳng d'': y = ax + b và cho biết d'' cắt d. Hệ số góc a của d'' có thể nhận các giá trị nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: 2x = x ⇒ x = 0 ⇒ y = 0

Vậy O(0;0) là giao điểm của d và d'

b) Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì cắt nhau

c) d'' cắt d nên a ∈ R\{2}

Thực hành 2: Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

$d_{1}:y =3x$

$d_{2}:y=-7x+9$

$d_{3}:y=3x-0,8$

$d_{4}=-7x-1$

$d_{5}: y=\sqrt{2}x+10$

$d_{6}: y=\sqrt{2}x+\sqrt{10}$

Hướng dẫn trả lời:

Ba cặp đường thẳng cắt nhau: $d_{1}$ và $d_{4}$; $d_{1}$ và $d_{2}$; $d_{1}$ và $d_{5}$ vì hai đường thẳng trong mỗi cặp có hệ số góc khác nhau

Các cặp đường thẳng song song: $d_{1}$ và $d_{3}$ (đều có a = 3); $d_{5}$ và $d_{6}$ (đều có $a=\sqrt{2}$); $d_{2}$ và $d_{4}$ (đều có a = -7)

Vận dụng 2:

Hai ô tô khởi hành cùng lúc và cùng với tốc độ 50 km/h, một ô tô bắt đầu từ B, một ô tô bắt đầu từ C và cùng đi về phía D

a) Viết công thức của hai hàm số biểu thị khoảng cách từ A đến mỗi xe sau x giờ.

b) Chứng tỏ đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng song song

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số biểu thị khoảng cách từ A đến xe xuất phát từ B sau x giờ: $d_{1}$: y = f(x) = 50x + 3 (km)

Hàm số biểu thị khoảng cách từ A đến xe xuất phát từ C sau x giờ: $d_{2}$: y = g(x) = 50x + 5 (km)

b) hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ phân biệt (cắt Oy tại hai điểm khác nhau) và có hệ số góc bằng nhau (cùng bằng 50), suy ra $d_{1}//d_{2}$

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất y = ax - 4

a) Tìm hệ số góc a biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; -2)

b) Vẽ đồ thị của hàm số

Hướng dẫn trả lời:

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(1;-2) nên ta có: -2 = a - 4 suy ra a = 2

b) Đồ thi hàm số y = 2x - 4 đi qua hai điểm A(0;-4) và B(2;0)

Bài 2: 

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x và y = x+ 2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Dùng thước đo góc để tìm góc tạo bởi hai đường thẳng y = x và y = x +2 với trục Ox

Hướng dẫn trả lời:

a) Đồ thị hàm số y = x đi qua hai điểm O(0;0) và (1;1)

Đồ thị hàm sô y = x +2 đi qua hai điểm có tọa độ (-2;0) và (0;2)

Gọi đồ thị hàm sô y =x và y = x+2 lần lượt là $d_{1}$ và $d_{2}$

b) Góc tạo bởi $d_{1}$ và Ox bằng góc tạo bởi $d_{2}$ và Ox và bằng $45^{o}$

Bài 3: Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

$d_{1}:y=0,2x; d_{2}:y=-2x+4; d_{3}:y=0,2x-0,8; d_{4}:t=-2x-5;d_{5}:y=\sqrt{3}x+3; d_{6}:y=\sqrt{3}x-\sqrt{5}$

Hướng dẫn trả lời:

Ba cặp đường thẳng cắt nhau: $d_{1}$ và $d_{2}$; $d_{2}$ và $d_{3}$; $d_{3}$ và $d_{4}$ (vì hai đường thẳng trong mỗi cặp có hệ số góc khác nhau)