Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 6 Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều

Hoạt động 1 trang 107 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lăng trụ tam giác có các mặt bên là hình chữ nhật. Hãy cho biết mỗi cạnh bên của hình lăng trụ đó có vuông góc với các mặt đáy hay không

Hướng dẫn giải

Mỗi cạnh bên của hình lăng trụ đó có vuông góc với các mặt đáy 

Luyện tập 1 trang 108 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính độ dài đường chéo của hình lập phương đó 

 Hướng dẫn giải

Khi xét hình lập phương ABCD.A'B'C’D' có cạnh a. Áp dụng định lý Pitago ta sẽ tính được: Đường chéo của 1 mặt$ AC =  a\sqrt{2}$

=> Đường chéo của hình lập phương $AC' =\sqrt{AC^{2}+CC'^{2}}=a\sqrt{3}$

II. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều 

Hoạt động 2 trang 108 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;

b) Các cạnh bên của hình chóp đó có bằng nhau hay không.

 Hướng dẫn giải

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là đa giác

b) Các cạnh bên của hình chóp đó có bằng nhau 

Luyện tập 2 trang 110 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Chứng minh rằng các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc bằng nhau 

 Hướng dẫn giải

Ta sẽ chứng minh rằng các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC đều tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc bằng nhau.

Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Ta sẽ chứng minh rằng các cạnh SA và SM đối xứng qua đường phân giác của góc SAB.

Vì tam giác SAB là tam giác đều, nên đường phân giác của góc SAB cắt cạnh AB tại trung điểm M. Vì vậy, ta có AM = MB và đường phân giác của góc SAB chính là đường trung tuyến của tam giác SAB.

Khi đó, vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, nên đường thẳng SA vuông góc với đường trung tuyến AM. Do đó, các cạnh SA và SM đối xứng qua đường phân giác của góc SAB.

Vậy, các góc giữa các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC đều bằng nhau, vì chúng đối xứng qua đường phân giác của góc SAB.

Hoạt động 3 trang 110 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng (R) song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn các khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa cạnh $A_{1}B_{1}, A_{2}B_{2}, A_{3}B_{3}, A_{4}B_{4}$

 Hướng dẫn giải

$A_{1}B_{1}, A_{2}B_{2}, A_{3}B_{3}, A_{4}B_{4}$ là các cạnh bên

Luyện tập 3 trang 111 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp đều S.ABC. Gọi A’, B', C′ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, SC. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’B'C') là hình chóp cụt đều.

 Hướng dẫn giải

A′ là trung điểm của SA

B′ là trung điểm của SB

=> A B là đường trung bình của \Delta SAB

⇒ $A'B'// AB$

mà $AB \subset (ABC)$

=> $A'B' //(ABC) (1)$

A’ là trung điểm của SA

C’ là trung điểm của SC

=> A′C′ là đường trung bình của ASAC

⇒ $A'C'// AC$

⇒ $A'C' || (ABC)$

$AC \subset  (ABC)$

=>$ A'C'//(ABC) (2)$

Từ (1) và (2)

$=> (A'B'C')//(ABC)$

Vậy phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A′B′C′) là hình chóp cụt đều.

III. Thể tích của một số hình khối 

Hoạt động 4 trang 112 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hãy nêu lại công thức tính thể tích trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác

 Hướng dẫn giải

Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao

Luyện tập 4 trang 112 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' biết tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB.

 Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB $=> A'H\perp (ABC)$

$AH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$

$\Delta AA'H vuông tại H => A'H=\sqrt{AA'^{2}-AH^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$S\Delta ABC=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

$=> V_{ABCA'B'C'}=S_{\Delta ABC}.A'H=\frac{3a^{3}}{8}$

Luyện tập 5 trang 114 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho khối tự diện đều ABCD cạnh a. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

  Hướng dẫn giải

Kẻ đường cao CE của tam giác BCD => $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD => AH là đường cao của tứ diện ABCD

=> $CH=\frac{2}{3}CE=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

=> $AH=\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^{2}}=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}$

Thể tích tứ diện đều ABCD là 

$V=\frac{1}{3}\cdot S_{BCD}\cdot AH$

$=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Luyện tập 6 trang 114 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

 Hướng dẫn giải

Diện tích đáy lớn là: $S=AB^{2}=9$

Diện tích đáy bé là $S'=2^{2}=4$

$=> V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')=\frac{1}{3}.4(9+\sqrt{9.4}+4)\approx 25,3 (dm^{3})$

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?

  Hướng dẫn giải

Hình 96a có dạng hình khối lăng trụ

Hình 96b có dạng hình khối chóp cụt đều

Bài 2 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a

a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) 

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ

  Hướng dẫn giải

a) ABCD là hình vuông => $AC=BD=a\sqrt{2}$

Xét \Delta ASC có $SA^{2}+SC^{2}=2a^{2}=AC^{2}, SA=SC$

=> Tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S

Xét \Delta BSD có: $SB^{2}+SD^{2}=2a^{2}=BD^{2}, SB=SD$

=> Tam giác BSD là tam giác vuông cân tại S

b) Tam giác ASC là tam giác vuông cân tại $S => SO \perp AC$

Tam giác BSD là tam giác vuông cân tại $S => SO \perp BD$

=> $SO \perp (ABCD)$

c) $SO \perp (ABCD) => (SA,(ABCD))=(SA,OA)=\widehat{SAO}$

Tam giác ASC vuông cân tại $S => \widehat{SAO}=45^{\circ}$

Vậy $(SA,(ABCD))=45^{\circ}$

Bài 3 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B'C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC” và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Hướng dẫn giải

a) ABCD là hình vuông => $AB\perp BD$

$BB' \perp  (ABCD)$ => $BB' \perp AC$

$=> AC\perp (BDD'B')$

mà $AC\subset (ACC'A')$

$=> (ACC'A')\perp (BDD'B')$

b) Có AB // CD

CD // C'D'

=> AB // C'D'

=> d(AB,C'D')=d(B,C'D')

Tương tự, có d(B, C'D')=BC'

ABCD là hình vuông

=> $AC=a\sqrt{2}$

$CC'\perp (ABCD) => (AC',(ABCD))=(AC',AC)=\widehat{CAC'}=60^{\circ}$

=> $CC'=AC.tan\widehat{CAC'}=a\sqrt{6}$

Tam giác BCC' vuông tại C => $BC'^{2}=a\sqrt{7}$

Bài 4 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh là 15 cm, 15cm và 6cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó 

Hướng dẫn giải

Thể tích chiếc bánh chưng là: $15.15.6=1350$ $(cm^{2})$

Bài 5 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là $3 g/cm^{2}$.

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của miếng phomat là: 

$\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 12\sqrt{2}=36\sqrt{6}$

Thể tích của miếng phomat là: $36\sqrt{6}\cdot10 ≈ 882$ $(cm^{2})$

Vậy khối lượng của miếng phomat là: $882.3=2646$ (g)

Bài 6 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều. Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a 

 Hướng dẫn giải

Có diện tích đáy là $a^{2}$

Chiều cao của khối chóp là: $\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^{2}}=\frac{a^{2}}{2}$

Thể tích là:$\frac{1}{3\cdot }\frac{a^{2}}{2}\cdot a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Bài 7 trang 115 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m3. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

 Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có $AB=5, A'B'=2, CC' = 3$

Có ABCD là hình vuông

=> $AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5\sqrt{2} 

=> $CO=\frac{1}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Có A'B'C'D' là hình vuông

$A'C'=\sqrt{A'B'^{2}+B'C'^{2}}=2\sqrt{2}$

$=> C'O'=\frac{1}{2}A'C'=\sqrt{2}$

Kẻ C'H ⊥ OC

=> OHC'O' là hình chữ nhật

=> $OH=O'C'=\sqrt{2}, OO'=C'H$ => $CH=OC-OH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

- Có tam giác CC'H vuông tại H => $C'H=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ => $OO'=C'H=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Diện tích đáy lớn là $S=AB^{2}=5^{2}=25$ ($m^{2}$)

Diện tích đáy bé là $S'=A'B'^{2}=2^{2}=4$ ($m^{2}$)

Thể tích hình chóp cụt là

$V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')$

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}(25+\sqrt{25.4}+4)=\frac{39\sqrt{2}}{2}$ ($m^{3}$)

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: 

$\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000\approx 40 538 432$ (đồng)