Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 3:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là $3\frac{1}{4}$ vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc $360^{\circ}$

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là $3\frac{1}{4}$ vòng). Tia đó quét nên một góc $3.360^{\circ}+\frac{1}{4}.360^{\circ}=1170^{\circ}$

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc $-360^{\circ}$

Luyện tập 3: Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $-\frac{5\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có $-\frac{5\pi }{4}=-\pi +(-\frac{\pi }{4})$ Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $-\frac{5\pi }{4}$ được biểu diễn ở hình sau:

Hoạt động 4: Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ⊥ Ov. Xác định số đo của góc lượng giác trong các Hình 7b, 7c, 7d.

Hướng dẫn trả lời: 

Quan sát Hình 7 ta thấy:

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7b) là 90°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7c) là 360° + 90° = 450°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7d) là – (360° – 90°) = 90° – 360° = 270°. 

Luyện tập 4: Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng $\frac{-4\pi }{3}$

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi α là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng $\frac{-4\pi }{3}$

Khi đó , ta có: $α= \frac{-4\pi }{3}+k2\pi $ (k ∈ ℤ).

Hoạt động 5: Cho góc (hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz (Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo của góc xOz và tổng số đo của hai góc xOy và yOz.

Hướng dẫn trả lời: 

Do tia Oy nằm trong góc xOz nên $\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}$

Luyện tập 5: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là $\frac{-11\pi }{4}$, góc lượng giác (Ou, Ow) có số đo là $\frac{3\pi }{4}$. Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow).

Hướng dẫn trả lời: 

Theo hệ thức Chasles, ta có:

(Ov, Ow) = (Ou, Ow) – (Ou, Ov) + k2π

$= \frac{3\pi }{4}-(\frac{-11\pi }{4})+k2\pi =\frac{7\pi }{2}+k2\pi $ (k ∈ ℤ).

II. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Đường tròn lượng giác

Hoạt động 6:

a) Trong mặt phẳng toạ độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Đường tròn tâm O có bán kính bằng 1 (hình vẽ):

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

Luyện tập 6: Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{(OA,ON)} = \frac{-\pi }{3}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có $\widehat{(OA,ON)}= \frac{-\pi }{3}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc $\frac{\pi }{3}$

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{(OA,ON)} = \frac{-\pi }{3}$ được biểu diễn như hình dưới đây:

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 7: 

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60°.

b) So sánh: hoành độ của điểm M với cos60°; tung độ của điểm M với sin60°.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có (OA, OM) = 60° là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 60°.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = 60° được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

b) Ta có $M(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ và $cos60^{\circ}=\frac{1}{2};sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó $x_{M}$ = cos60° và $y_{M}$ = sin60°.

Luyện tập 7: Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác $\beta =\frac{-\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời: 

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{(OA,OM)}=\beta =-\frac{\pi }{4}=-45^{\circ}$ (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: $\widehat{AOM}=45^{\circ}$, suy ra $\widehat{HOM}=\widehat{AOM}=45^{\circ}$

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

$OH=OM.cos\widehat{HOM}=1.cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$OK=MH=OM.sin\widehat{HOM}=1.sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó $M(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Vậy $sin(-\frac{\pi }{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2};cos(-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2};tan(-\frac{\pi }{4})=-1;cot(-\frac{\pi }{4})=-1$

Hoạt động 8: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác α = ‒30°.

Hướng dẫn trả lời: 

Giả sử M là một điểm trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = ‒30°.

Điểm M được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khi đó ta có $x_{M}$ > 0 và $y_{M}$ < 0

Suy ra cosα > 0 và sinα < 0

Do đó $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }<0$ và $cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }<0$

Luyện tập 8: Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha =\frac{5\pi }{6}$

Hướng dẫn trả lời: 

Do $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi $ nên $sin\frac{5\pi }{6}>0;cos\frac{5\pi }{6}<0$;tan\frac{5\pi }{6}<0;cot\frac{5\pi }{6}<0$

Hoạt động 9: Cho góc lượng giác α. So sánh:

a) $cos^{2}α + sin^{2}α$ và 1;

b) tanα . cotα và 1 (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0);

c) $1+tan^{2}α$ và $\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ với cosα ≠ 0;

d) $1+cot^{2}α$ và $\frac{1}{sin^{2}\alpha }$ với sinα ≠ 0

Hướng dẫn trả lời: 

a) Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lầm lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $\widehat{AOM}=\alpha $

Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

$OM^{2}=OH^{2}+MH^{2}$

Suy ra $\widehat{AOM}=\alpha $ hay $1=cos^{2}α + sin^{2}α$

Vậy $cos^{2}α + sin^{2}α=1$

b) Ta có: $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha };cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$, (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0)

Suy ra $tan\alpha .cot\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }.\frac{cos\alpha }{sin\alpha }=1$

c) Với cosα ≠ 0, ta có:

$1+tan^{2}α  =1+(\frac{sin\alpha }{cos\alpha })^{2}=\frac{cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }=\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ (do $cos^{2}α + sin^{2}α=1$)

d) Với sinα ≠ 0, ta có:

$1+cot^{2}α  =1+(\frac{cos\alpha }{sin\alpha })^{2}=\frac{sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }=\frac{1}{sin^{2}\alpha }$ (do $cos^{2}α + sin^{2}α=1$)

Luyện tập 9: Cho góc lượng giác α sao cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ và $sin\alpha =-\frac{4}{5}$. Tìm cosα.

Hướng dẫn trả lời: 

Do $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức $cos^{2}α + sin^{2}α= 1$, ta có:

$cos^{2}\alpha +(-\frac{4}{5})^{2}=1$

Suy ra $cos^{2}\alpha =1-(-\frac{4}{5})=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$

Do đó $cos\alpha =-\frac{3}{5}$ (do cosα < 0).

Hoạt động 10: Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $α = \frac{\pi }{4}$.

Hướng dẫn trả lời: 

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α = 45° (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: $\widehat{AOM}=45^{\circ}$

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có:

$x_{M}=OH=OM.cos\widehat{HOM}=1.cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$y_{M}=OK=MH=OM.sin\widehat{HOM}=1.sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó $M(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$

Vậy $sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2};cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2};tan45^{\circ}=1,cot45^{\circ}=1$

Luyện tập 10: Tính giá trị biểu thức: $Q=tan^{2}\frac{\pi }{3}+sin^{2}\frac{\pi }{4}+cot\frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $Q=tan^{2}\frac{\pi }{3}+sin^{2}\frac{\pi }{4}+cot\frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{2}$

$=(\sqrt{3})^{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+1+0=3+\frac{1}{2}+1=\frac{9}{2}$

3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 

Hoạt động 11: Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác (OA, OM) = α, góc lượng giác (OA, OM’) = – α (Hình 13).

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác α và – α.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Nhận xét: $x_{M} = x_{M'}$ và $y_{M} = ‒y_{M'}$.

b) Do $x_{M} = x_{M'}$ nên cosα = cos(‒α)

Do $y_{M} = ‒y_{M'}$ nên sinα = ‒sin(‒α).

Khi đó $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{-sin(-\alpha )}{cos(-\alpha )}=-tan(-\alpha );cot\alpha =\frac{1 }{tan\alpha }=\frac{1}{-tan(-\alpha )}=-cot(-\alpha )$

Luyện tập 11: Tính:

a) $cos^{2}\frac{\pi }{8}+cos^{2}\frac{3\pi }{8}$

b) tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°.

Hướng dẫn trả lời: 

a) $cos^{2}\frac{\pi }{8}+cos^{2}\frac{3\pi }{8}=cos^{2}\frac{\pi }{8}+sin^{2}(\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{8})=cos^{2}\frac{\pi }{8}+sin^{2}\frac{\pi }{8}=1$

b) tan1° . tan2° . tan45° . tan88° . tan89°

= (tan1° . tan89°) . (tan2° . tan88°) . tan45°

= (tan1° . cot1°) . (tan2° . cot2°) . tan45°

= 1 . 1 . 1 = 1.

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Luyện tập 12: Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) tan(‒75°);

b) $cot(-\frac{\pi }{5})$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Chuyển máy tính về chế độ “độ”:

Phép tính	Nút ấn	Kết quả
tan(‒75°)		$-2-\sqrt{3}$

b) Ta có: $cot(-\frac{\pi }{5})=\frac{1}{tan(-\frac{\pi }{5})}$

Chuyển máy tính về chế độ “radian”.

Phép tính	Nút ấn	Kết quả
$cot(-\frac{\pi }{5})$		-1,37638192

Vậy $cot(-\frac{\pi }{5})=-1,37638192$

Bài tập

Bài tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng $\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$

Hướng dẫn trả lời: 

 Ta có $\widehat{(OA,OM)}=\alpha =\frac{\pi }{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{\pi }{2}$, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{(OA,OM)}=\alpha =\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có $\widehat{(OA,ON)}=\beta =\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7\pi }{6}$

• Ta có $\widehat{(OA,OP)}=\gamma =-\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{\pi }{6}$

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài tập 2: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; $\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$

Hướng dẫn trả lời: 

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin(‒225°) = ‒sin225° = $-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{5\pi }{3}$

Ta có: $cos\frac{5\pi }{3}=cos(\frac{2\pi }{3}+\pi )=-cos\frac{2\pi }{3}=-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$

$sin\frac{5\pi }{3}=sin(\frac{2\pi }{3}+\pi )=-sin\frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan\frac{5\pi }{3}=tan(\frac{2\pi }{3}+\pi )=tan\frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$

$cot\frac{5\pi }{3}=cot(\frac{2\pi }{3}+\pi )=cot\frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

- Các giá trị lượng giác của góc $\frac{19\pi }{2}$

Ta có: $cos\frac{19\pi }{2}=cos(9\pi +\frac{\pi }{2})=cos(\pi +\frac{\pi }{2})=-cos\frac{\pi }{2}=0$

$sin\frac{19\pi }{2}=sin(9\pi +\frac{\pi }{2})=sin(\pi +\frac{\pi }{2})=-sin\frac{\pi }{2}=-1$

Do $cos\frac{19\pi }{2}=0$ nên $tan\frac{19\pi }{2}$ không xác định

$cot\frac{19\pi }{2}=cot(9\pi +\frac{\pi }{2})=cot(\pi +\frac{\pi }{2})=-cot\frac{\pi }{2}=0$

‒ Các giá trị lượng giác của góc $-\frac{159\pi }{4}$

Ta có: $cos(-\frac{159\pi }{4})=cos(-40\pi +\frac{\pi }{4})=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin(-\frac{159\pi }{4})=sin(-40\pi +\frac{\pi }{4})=sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tan(-\frac{159\pi }{4})=tan(-40\pi +\frac{\pi }{4})=tan\frac{\pi }{4}=1$

$cot(-\frac{159\pi }{4})=cos(-40\pi +\frac{\pi }{4})=cos\frac{\pi }{4}=1$

Bài tập 3: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

b) $\frac{\pi }{3}+(2k+1)\pi (k\in Z)$

c) $k\pi (k\in Z)$

d) $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

$cos(\frac{\pi }{3}+k2\pi )=cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

$sin (\frac{\pi }{3}+k2\pi )=sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(\frac{\pi }{3}+k2\pi )=tan\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

$cot(\frac{\pi }{3}+k2\pi )=cot\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+(2k+1)\pi (k\in Z)$

$cos(\frac{\pi }{3}+(2k+1)\pi)=cos(\frac{\pi }{3}+\pi +k2\pi )=cos(\frac{\pi }{3}+\pi )=-cos\frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$

$sin(\frac{\pi }{3}+(2k+1)\pi) =sin(\frac{\pi }{3}+\pi +k2\pi )=sin(\frac{\pi }{3}+\pi )=-sin\frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan(\frac{\pi }{3}+(2k+1)\pi)=tan\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

$cot(\frac{\pi }{3}+(2k+1)\pi)=cot\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $k\pi (k\in Z)$

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

   • sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

   • tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

   • sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

   • tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

        cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

$cos(\frac{\pi }{2}+k\pi )=cos(\frac{\pi }{2}+2n\pi )=cos\frac{\pi }{2}=0$

$sin(\frac{\pi }{2}+k\pi )=sin(\frac{\pi }{2}+2n\pi )=sin\frac{\pi }{2}=1$

do $cos(\frac{\pi }{2}+k\pi )=0$ nên $tan(\frac{\pi }{2}+k\pi )$ không xác định

$cot(\frac{\pi }{2}+k\pi )=cot(\frac{\pi }{2}+2n\pi )=cot\frac{\pi }{2}=0$

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

$cos(\frac{\pi }{2}+k\pi )=cos(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi )=cos(\frac{\pi }{2}+\pi )=-cos\frac{\pi }{2}=0$

$sin(\frac{\pi }{2}+k\pi )=sin(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi )=sin(\frac{\pi }{2}+\pi )=-sin\frac{\pi }{2}=-1$

do $cos(\frac{\pi }{2}+k\pi )=0$ nên $tan(\frac{\pi }{2}+k\pi )$ không xác định

$cot(\frac{\pi }{2}+k\pi )=cot(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi )=cot(\frac{\pi }{2}+\pi )=cot\frac{\pi }{2}=0$

Vậy với $k\in Z$ thì $cos(\frac{\pi }{2}+k\pi )=0;cot(\frac{\pi }{2}+k\pi )=0;tan(\frac{\pi }{2}+k\pi )$ không xác định; $sin(\frac{\pi }{2}+k\pi )=1$ khi k là số chẵn và $sin(\frac{\pi }{2}+k\pi )=-1$ khi k là số lẻ

Bài tập 4: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $sin\alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$ với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Hướng dẫn trả lời: 

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $ nên $cos\alpha <0$

Áp dụng công thức $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$, at có:

$(\frac{\sqrt{15}}{4})^{2}+cos^{2}\alpha =1$

$\Rightarrow cos^{2}\alpha =1-(\frac{\sqrt{15}}{4})^{2}=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do $cos\alpha <0$)

Ta có: $tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{\frac{15}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$

$cotα=\frac{1}{tanα}=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$

Vậy $cosα=-\frac{1}{4};tanα=-\sqrt{15}$ và $cotα=-\frac{\sqrt{15}}{15}$

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức $sin^{2}α + cos^{2}α = 1$, ta có:

$sin^{2}α+(-\frac{2}{3})^{2}=1$

$\Rightarrow sin^{2}α=1-(-\frac{2}{3})^{2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

$\Rightarrow sinα=-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0)

Ta có: $tanα=\frac{sinα}{cosv}=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

$cotα=\frac{1}{tanα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Vậy $sinα=-\frac{\sqrt{5}}{3};tanα=\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $cotα=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi $-\frac{\pi }{2}\leq α<0,cosα<0$ khi $-\pi <α<-\frac{\pi }{2}$

Mà tanα = 3 > 0, do đó $tanα=\frac{sinα }{cosα}>0$, từ đó suy ra cosα < 0

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $cotα=\frac{1}{tanα}=\frac{1}{3}$

Áp dụng công thức $1+tan^{2}α=\frac{1}{cos^{2}α}$, ta có:

$1+3^{2}=\frac{1}{cos^{2}α}$ hay $\frac{1}{cos^{2}α}=10$

$\Rightarrow cos^{2}α=\frac{1}{10}\Rightarrow cosα=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα < 0)

Áp dụng công thức $1+cot^{2}α=\frac{1}{sin^{2}α}$, ta có:

$1+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{sin^{2}α}$ hay $\frac{1}{sin^{2}α}=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow sin^{2}α=\frac{9}{10}\Rightarrow sinα=-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0)

Vậy $sinα=\frac{3\sqrt{10}}{10};cosα=-\frac{\sqrt{10}}{10};cotα=\frac{1}{3}$

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $tanα=\frac{1}{cotα}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên $cotα=\frac{cosα}{sinα}<0$, suy ra cosα < 0

Áp dụng công thức $1+cot^{2}α=\frac{1}{sin^{2}α}$, ta có:

$1+(-2)^{2}=\frac{1}{sin^{2}α}$ hay $\frac{1}{sin^{2}α}=5$

$\Rightarrow sin^{2}α=\frac{1}{5}\Rightarrow sinα=cotα.sinα=(-2).\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Bài tập 5: Cho α + β = π. Tính:

a) A = sin$^{2}$α + cos$^{2}$β;

b) B = (sinα + cosβ)$^{2}$ + (cosα + sinβ)$^{2}$.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có α + β = π nên sinα = sin(π – α) = sinβ, suy ra sin$^{2}$α = sin2-$^{2}$β.

a) A = sin$^{2}$α + cos$^{2}$β = sin$^{2}$β + cos$^{2}$β = 1.

b) Ta có α + β = π nên cosα = – cos(π – α) = – cosβ.

Khi đó, B = (sinα + cosβ)$^{2}$ + (cosα + sinβ)$^{2}$

= (sinβ + cosβ)$^{2}$ + (– cosβ + sinβ)$^{2}$

= (sinβ + cosβ)$^{2}$ + (sinβ – cosβ )$^{2}$

= sin$^{2}$β + 2sinβ cosβ + cos$^{2}$β + sin$^{2}$β – 2sinβ cosβ + cos$^{2}$β

= 2(sin$^{2}$β + cos$^{2}$β)

= 2 . 1 = 2.

Bài tâp 6: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Hướng dẫn trả lời: 

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: $\frac{18000\pi }{2}.1=9000\pi $

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: $\frac{18000\pi }{2}.3=27000\pi $

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: $\frac{18000\pi }{2}.5=45000\pi $

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9000π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là: $\frac{200000}{9000\pi }\approx 7$ (giờ)