Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2: Cấp số cộng

Khởi động

Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế.

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m.

Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u$_{1}$ = 1 250 m so với mực nước biển.

Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là: u$_{2}$ = 1 250 + 1,2 (m).

Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là: u$_{3}$ = 1 250 + 1,2 + 1,2 = 1 250 + 2.1,2 (m).

...

Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là: u$_{10}$ = 1 250 + 9.1,2 = 1 260,8 (m)

I. ĐỊNH NGHĨA 

Hoạt động 1: Cho dãy số – 2; 3; 8; 13; 18; 23; 28. Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Hướng dẫn trả lời: 

Số hạng thứ hai là số 3, so với số hạng đầu tiên ta thấy 3 lớn hơn – 2 năm đơn vị.

Số hạng thứ ba là số 8, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 8 hơn 3 năm đơn vị.

Số hạng thứ tư là số 13, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 13 hơn 8 năm đơn vị.

Số hạng thứ năm là số 18, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 18 hơn 13 năm đơn vị.

Số hạng thứ sáu là số 23, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 23 hơn 18 năm đơn vị.

Số hạng cuối là số 28, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 28 hơn 23 năm đơn vị.

Vậy ta thấy kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.

Luyện tập 1: Cho (u$_{n}$) là cấp số cộng $u_{1} = – 7, u_{2} = – 2$. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Hướng dẫn trả lời: 

Công sai của cấp số cộng đã cho là: $d = u_{2} – u_{1} = – 2 – (– 7) = 5$.

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: $u_{n} = u_{1} + (n – 1)d = – 7 + (n – 1).5$

Luyện tập 2: Cho dãy số (u$_{n}$) với u$_{n}$ = – 5n + 7 (n ≥ 1). Dãy (u$_{n}$) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: u$_{n+1}$ = – 5(n + 1) + 7 = – 5n – 5 + 7 = – 5n + 2

Xét hiệu u$_{n+1}$ – u$_{n}$ = – 5n + 2 – (– 5n + 7) = – 5

Do đó (u$_{n}$) là một cấp số cộng.

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Hoạt động 2: Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}$, công sai d.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo $u_{1}$ và d.

b) Dự đoán công thức tính $u_{n}$ theo $u_{1}$ theo d.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo $u_{1}$ và d là:

$u_{1}; u_{2} = u_{1} + d; u_{3} = u_{1} + 2d, u_{4} = u_{1} + 3d, u_{5} = u_{1} + 4d$.

b) Dự đoán: $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

Luyện tập 3: Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.

Hướng dẫn trả lời: 

Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$ = 1 250 m và công sai d = 1,2 (m).

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: $u_{n} = u_{1} + (n – 1).d = 1 250 + (n – 1).1,2.$

Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

$u_{10}$ = 1 250 + (10 – 1).1,2 = 1 260,8 m.

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Hoạt động 3: Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số dạng đầu $u_{1}$, công sai d.

a) So sánh các tổng sau: $u_{1} + u_{n}; u_{2} + u_{n-1}; u_{3} + u_{n-2}; ...; u_{n} + u_{1}$.

b) Đặt $S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n}$. So sánh $n(u_{n} + u_{1})$ với $2S_{n}$.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{1} + u_{n} = u_{1} + u_{1} + (n – 1)d = 2u_{1} + (n – 1)d$;

$u_{2} + u_{n-1}­ = u_{1} + d + u_{1} + (n – 1 – 1)d = 2u_{1} + (n – 1)d$;

$u_{3} + u_{n-2} = u_{1} + 2d + u_{1} + (n – 2 – 1)d = 2u_{1} + (n – 1)d$;

...

$u_{n} + u_{1} = u_{1} + (n – 1)d + u_{1} = 2u_{1} + (n – 1)d.$

Ta thấy $u_{1} + u_{n} = u_{2} + u_{n-1} = u_{3} + u_{n-2} = ... = u_{n} + u_{1}$.

b) Ta có: $2S_{n} = 2.(u_{1} + u_{2} + u_{3} + ... + u_{n}) = (u_{1} + u_{n}) + (u_{2} + u_{n-1}) + ... + (u_{n} + u_{1})$

= $2u_{1} + (n – 1)d + 2u_{1} + (n – 1)d + 2u_{1} + (n – 1)d + ... + 2u_{1} + (n – 1)d$

= $2n.u_{1} + n(n – 1)d$

= $n(u_{1} + u_{1} + (n – 1)d)$

= $n(u_{1} + u_{n}).$

Luyện tập 4: Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3; 1; – 1; ... với n = 10;

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$ = 3 và công sai d = 1 – 3 = – 2.

Khi đó u$_{10}$ = 3 + (10 – 1).(– 2) = 3 + (– 18) = – 15.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

$S_{10} = \frac{10(3+(-15))}{2}=-60$

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu u$_{1}$ = 1,2 và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.

Khi đó $u_{15}$ = 1,2 + (15 – 1).0,5 = 8,2.

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

$S_{15}=\frac{15.(1,2+8,2)}{2}=70,5$

Bài tập

Bài tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp cố cộng?

a) 10; – 2; – 14; – 26; – 38;

b) $\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{11}{4};\frac{7}{2}$

c) $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};5^{2}$

d) 1; 4; 7; 10; 13.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: 10; – 2; – 14; – 26; – 38 là cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ = 10 và công sai của cấp số cộng là: d = – 12.

b) Ta có: $\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{11}{4};\frac{7}{2}$ là cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1}=\frac{1}{2}$ và công sai d = $\frac{3}{4}$

c) Ta có: $1^{2};2^{2};3^{2};4^{2};5^{2}$ không là cấp số cộng vì $2^{2} – 1^{2} ≠ 3^{2} – 2^{2}$.

d) Ta có: 1; 4; 7; 10; 13 là cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1}$ = 1 và công sai d = 3.

Bài tập 2: Trong các dãy số ($u_{n}$) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d.

a) $u_{n}$ = 3 – 2n;

b) $u_{n}=\frac{3n+7}{5}$

c) $u_{n} = 3^{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n+1} = 3 – 2(n + 1) = 3 – 2n – 2 = 1 – 2n$

Suy ra $u_{n+1}-u_{n}$= 1 – 2n – 3 + 3n = – 2.

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ = 1 và công sai d = – 2.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{3(n+1)+7}{5}=\frac{3n+10}{5}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=\frac{3n+10}{5}-\frac{3n+7}{5}=\frac{3}{5}$

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ =2 và công sai d=$\frac{3}{5}$

c) Ta có: $u_{n+1} = 3^{n+1} = 3.3^{n}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n} = 3.3^{n} – 3^{n} = 2.3^{n}$ với n ∈ ℕ*

Vì vậy đây không là một cấp số cộng.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}$ = – 3, công sai d = 5.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$.

b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ($u_{n}$) là: $u_{1}$ = – 3 + (n – 1).5 = 5n – 8.

b) Xét $u_{n}$ = 492

⇔ 5n – 8 = 492

⇔ n = 100.

Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

c) Xét un = 300

⇔ 5n – 8 = 300

⇔ n = 61,6 ∉ ℕ*

Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300.

Bài tập 4: Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có $u_{1} = 4, u_{2} = 1$. Tính $u_{10}$.

Hướng dẫn trả lời: 

Công sai của cấp số cộng (un) là $d = u_{2} – u_{1} = 1 – 4 = – 3$.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: $u_{n} = u_{1} + (n – 1).d = 4 + (n – 1).(– 3)$

Suy ra $u_{10} = 4 + (10 – 1).(– 3) = 31$.

Bài tập 5: Cho cấp số cộng (u$_{n}$) có $u_{1}=\frac{1}{3}$ và $u_{1} + u_{2} + u_{3} = – 1$.

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u­$_{n}$.

b) Số – 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.

c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{1} + u_{2} + u_{3} = – 1$

⇒ $u_{1} + u_{1} + d + u_{1} + 2d = – 1$

⇒ $3u_{1} + 3d = – 1$

Mà $u_{1}=\frac{1}{3}$ nên d = $-\frac{2}{3}$

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: $u_{n}=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}(n-1)$ với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét $u_{n}=-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}=-67$

⇔ $-\frac{2}{3}n=\frac{-202}{3}$

⇔ n = 101

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét $u_{n}=7$

⇔ $-\frac{2}{3}n+\frac{1}{3}=7$

⇔ $-\frac{2}{3}n=\frac{20}{3}$

⇔ n = – 10 ∉ ℕ*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng.

Bài tập 6: Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) với $u_{n}$ = 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n+1}$ = 0,3.(n + 1) + 5 = 0,3n + 5,3

Xét hiệu $u_{n+1} – u_{n}$ = 0,3n + 5,3 – 0,3n – 5 = 0,3.

Do đó (u$_{n}$) là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}$ = 5,3 và công sai d = 0,3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: $u_{n}$ = 5,3 + (n – 1).0,3

Suy ra $u_{100}$ = 5,3 + (100 – 1).0,3 = 35.

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là: $S_{100}=\frac{100(5,3+35)}{2}=2015$

Bài tập 7: Chiều cao (đơn vị: centimet) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:

x$_{n}$ = 75 + 5(n – 1).

(Nguồn: https://bibabo.vn)

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao 3 năm tuổi là bao nhiêu centimet?

b) Dãy số (x$_{n}$) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimet?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x$_{3}$ = 75 + 5(3 – 1) = 85 (cm).

b) Ta có: x$_{n+1}$ = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu $x_{n+1} – x_{n}$ = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5

Do đó (x$_{n}$) là một cấp số cộng có số hạng đầu x$_{1}$ = 75 và công sai d = 5

Bài tập 8: Khi kí kết hợp đồng lao động đối với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm, tiền lương được tăng 18 triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Hướng dẫn trả lời: 

+) Theo phương án 1: Gọi (u$_{n}$) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (u$_{n}$) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u$_{1}$ = 120 và công sai d = 18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u4_{n}$ = 120 + (n – 1).18.

+) Theo phương án 2: Gọi (v$_{n}$) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (v$_{n}$) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v$_{1}$ = 24 và công sai d = 1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v$_{n}$ = 24 + (n – 1).1,8.

a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u$_{3}$ = 120 + (3 – 1).18 = 156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

$S_{3}=\frac{3.(120+156)}{2}=$ 414 (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u$_{12}$ = 24 + (12 – 1).1,8 = 43,8.

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

$S_{12}=\frac{12.(24+43,8)}{2}$= 406,8 (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u$_{10}$ = 120 + (10 – 1).18 = 282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:

$S_{10}=\frac{10.(120+282)}{2}$= 2010 (triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u$_{40}$ = 24 + (40 – 1).1,8 = 94,2.

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:

$S_{40}=\frac{40.(24+94,2)}{2}$ = 2 364 (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2.