Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài: Bài tập cuối chương II

Bài tập 1: Cho dãy số (u$_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=\frac{1}{3}$ và $u_{n}=3u_{n-1}$ với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (un) là:

A. 27;

B. 9;

C. 81;

D. 243.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=3$ . Do đó dãy số (u$_{n}$) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=\frac{1}{3}$ và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: $u_{n}=\frac{1}{3}.3^{n-1}=3^{n-2}$ với n ∈ ℕ*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (u$_{n}$) là: $u_{5}=3^{5-2}=27$

Bài tập 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 21; – 3; – 27; – 51; – 75;

B. $\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{11}{4};\frac{15}{4}$

C. $\sqrt{1};\sqrt{2};\sqrt{3};\sqrt{4};\sqrt{5}$

D. $\frac{1}{20};\frac{1}{30};\frac{1}{40};\frac{1}{50};\frac{1}{60}$

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$ = 21 và công sai d = – 24.

Bài tập 3: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u$_{1}$ = – 5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát un là:

A. u$_{n}$ = – 5 + 4n;

B. u$_{n}$ = – 1 – 4n;

C. u$_{n}$ = – 5 + 4n$^{2}$;

D. u$_{n}$ = – 9 + 4n.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: D

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng u$_{n}$ = – 5 + (n – 1)4 = 4n – 9.

Bài tập 4: Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000;

B. 10 100;

C. 20 000;

D. 20 200.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

$S_{100}=\frac{100.(1+1+99.2)}{2}=10000$

Bài tập 5: Trong các dãy số (u$_{n}$) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số (u$_{n}$) được xác định bởi: u$_{1}$ = 1 và u$_{n}$ = u$_{n-1}$­(n – 1) với mọi n ≥ 2;

B. Dãy số (u$_{n}$) được xác định bởi: u­$_{1}$ = 1 và u$_{n}$ = 2u$_{n-1}$ + 1 với mọi n ≥ 2;

C. Dãy số (u$_{n}$) được xác định bởi: u$_{1}$ = 1 và $u_{n}$ = $u_{n-1}^{2}$ với mọi n ≥ 2;

D. Dãy số (un) được xác định bởi: u$_{1}$ = 3 và u$_{n} =\frac{1}{3}$ với mọi n ≥ 2.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: D

Dãy số (u$_{n}$) được xác định bởi: u$_{1}$ = 3 và $u_{n}=\frac{1}{3}u_{n-1}$ với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và $q=\frac{1}{3}$

Bài tập 6: Cho cấp số nhân (u$_{n}$) có u$_{n}$ = -1, công bội $q=-\frac{1}{10}$. khi đó $\frac{1}{10^{2017}}$ là số hạng thứ:

A. 2 016;

B. 2 017;

C. 2 018;

D. 2 019.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: C

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_{n}=(-1).(-\frac{1}{10})^{n-1}$

Xét $u_{n}=(-1).(-\frac{1}{10})^{n-1}=\frac{1}{10^{2017}}$

$\Leftrightarrow (-\frac{1}{10})^{n-1}=(-\frac{1}{10})^{2017}$

$\Leftrightarrow n-1=2017$

$\Leftrightarrow n=2018$

Bài tập 7: Trong các dãy số (u$_{n}$) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. u$_{n}$ = sinn;

B. u$_{n} = n.(– 1)^{n}$;

C. u$_{n}=\frac{1}{n}$

D. u$_{n} = 2^{n+1}$.

Hướng dẫn trả lời: 

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{n+1} = 2^{n+1+1} = 2^{n+2}$

Xét hiệu u$_{n+1} – u_{n} = 2^{n+2} – 2^{n} = 3.2^{n}$ > 0 với mọi n ∈ ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Bài tập 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (u$_{n}$­) sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}$

b) $u_{n}=\frac{2}{5^{n}}$

c) $u_{n}=(-1)^{n}.n^{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{n+1+1}=\frac{(n-1)^{2}}{n+2}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)^{2}}{n+2}-\frac{n^{2}}{n+1}$

$=\frac{(n+1)^{3}-n^{2}(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{n^{3}+3n^{2}+3n+1-n^{3}-2n^{2}}{(n+2)(n+1)}=\frac{n^{2}+3n+1}{(n+2)(n+1)}>0$ với mọi n ∈ ℕ*.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{2}{5^{n+1}}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2}{5^{n+1}}-\frac{2}{5^{n}}=-\frac{4}{5}.\frac{2}{5^{n}}=-\frac{8}{5^{n+1}}<0$

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Bài tập 9: Cho cấp số cộng ($u_{n}$). Tìm số hạng đầu $u_{1}$, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{2} + u_{5} = 42$ và $u_{4} + u_{9} = 66$;

b) $u_{2} + u_{4} = 22$ và $u_{1}.u_{5} = 21$.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{2} + u_{5} = u_{1} + d + u_{1} + 3d = 42$

⇔ $2u_{1} + 4d = 42$

Ta lại có: $u_{4} + u_{9} = u_{1} + 3d + u_{1} + 8d = 2u_{1} + 11d = 66$

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2u_{1}+4d=42\\ 2u_{1}+11d=66\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=\frac{99}{7}\\ d=\frac{24}{7}\end{matrix}\right.$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: $u_{1}=\frac{99}{7}$ và công sai $d=\frac{24}{7}$

b) Ta có: $u_{2} + u_{4} = u_{1} + d + u_{1} + 3d = 22$

⇔ $2u_{1} + 4d = 22$

⇔ $u_{1} + 2d = 11$

⇔ $u_{1} = 11 – 2d$

Ta lại có: $u_{1}.u_{5} = u_{1}(u_{1} + 4d) = 21$.

Thay $u_{1} = 11 – 2d$ vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

⇔ (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

⇔ 121 – 4d$^{2}$ = 21

⇔ d = 5 hoặc d = – 5.

Với d = 5 thì $u_{1} = 1$.

Với d = – 5 thì $u_{1}$ = 21.

Bài tập 10: Cho cấp số nhân ($u_{n}$). Tìm số hạng đầu $u_{1}$, công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{6}=192$ và $u_{7}=384$

b) $u_{1}+u_{2}+u_{3}=7$ và $u_{5}-u_{2}=14$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{6}=u_{1}q^{5}=192$ và $u_{7}=u_{1}.q^{6}=384$

Xét $\frac{u_{6}}{u_{7}}=\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{6}}=\frac{1}{q}=\frac{192}{34}=\frac{1}{2}$

Suy ra $u_{1}=192:(\frac{1}{2})^{5}=6144$

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}=6144$ và công bội $q=\frac{1}{2}$

b) Ta có: $u_{1}+u_{2}+u_{3}=u_{1}+u_{1}.q+u_{1}.q^{2}=7$

<=> $u_{1}(1+q+q^{2}=7$

Và $u_{5}-u_{2}=u_{1}.q^{4}-u_{1}.q=14$

<=> $u_{1}q(q^{3}-1)=14$

Suy ra $\frac{u_{1}(1+q+q^{2})}{u_{1}q(q^{3}-1)}=\frac{7}{14}\Leftrightarrow \frac{u_{1}(1+q+q^{2})}{u_{1}q(q-1)(1+q+q^{2})}=\frac{7}{14}$

⇔ 2 = q(q – 1)

⇔ q$^{2}$ – q – 2 = 0

⇔ q = 2 hoặc q = – 1.

Với q = 2 thì $u_{1}$ = 1.

Với q = – 1 thì u$_{1}$ = 7.

Bài tập 11: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Hướng dẫn trả lời: 

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 4A + 6d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A

⇒ 8A = 180°

⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

Bài tập 12: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ 3 có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời: 

Giải sữ người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với $u_{1}$ = 1, công sai d = 1

Tổng số cây ở n hàng cây là:

$S_{n}=\frac{n(1+n)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}=4950$

⇔ n$^{2}$ + n – 9 900 = 0

⇔ n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Bài tập 13: Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m$^{2}$. Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Hướng dẫn trả lời: 

Diện tích mặt đáy tháp là $u­_{1} = 12 288 (m^{2})$.

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_{2} = 12 288. \frac{1}{2}= 6 144 (m^{2})$.

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u$_{n}$ với n ∈ ℕ*.

Dãy (u$_{n}$) lập thành một cấp số nhân là $u_{1}$ = 12 288 và công bội $q=\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: $u_{n} = 12288.(\frac{1}{2})^{n-1}$

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

$u_{11}=12288.(\frac{1}{2})^{11-1}=12(m^{2})$

Bài tập 14: Một khay nước có nhiệt độ 23°C được đặt vào ngăn đá tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi u$_{n}$ là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có: $u_{1}$ = 23; $u_{2}$ = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%; $u_{3}$ = 23.80%.80% = 23.(80%)$^{2}$; ...

Suy ra dãy (un) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát u$_{n}$ = 23.(80%)$^{n-1}$ độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u$_{6}$ = 23.(80%)$^{5}$ ≈ 7,5°C.

Bài tập 15: Cho hình vuông C$_{1}$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C$_{2}$ (Hình 4). Từ hình vuông C$_{2}$ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C$_{3}$. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}, C_{2}, C_{3}, ..., C_{n}$, ... Gọi a$_{n}$ là độ dài cạnh hình vuông C$_{n}$. Chứng minh dãy số (a$_{n}$) là cấp số nhân.

Hướng dẫn trả lời: 

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a$_{1}$ = 4.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: a$_{n}$.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: a$_{n+1} =(\frac{\sqrt{10}}{4}).a_{n}$

Suy ra $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

Vậy $(a_{n})$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $a_{1}=4$ và công bội $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$

Bài tập 16: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Hướng dẫn trả lời: 

Gọi u$_{n}$­ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

u$_{1}$ = 1 000 000 000 đồng.

u$_{2}$ = u$_{1}$ + u$_{1}$.1% - a = u$_{1}$(1 + 1%) – a (đồng)

u$_{3}$ = u$_{1}$(1 + 1%) – a + [u$_{1}$(1 + 1%) – a].1% – a = u$_{1}$(1 + 1%)$^{2}$ – a(1 + 1%) – a

...

u$_{n}$ = u$_{1}$(1 + 1%)$^{n-1}$ – a(1 + 1%)$^{n-2}$– a(1 + 1%)$^{n-3}$ – a(1 + 1%)$^{n-4}$ – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)$^{n-2}$; a(1 + 1%)$^{n-3}$; a(1 + 1%)$^{n-4}$; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a$_{1}$ = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

$S_{n-2}=\frac{a(1-0.99^{n-2})}{1-0.99}$ = 100a[1-(99%)$^{n-2}$]

Suy ra u$_{n}$ = u$_{1}$(1 + 1%)$^{n-1}$ – 100a[1 – (99%)$^{n-2}$].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u$_{24}$ = 0. Do đó ta có:

u$_{24}$ = u$_{1}$(1 + 1%)$^{23}$ – 100a[1 – (99%)$^{22}$] = 0

⇔ 1 000 000 000.(99%)$^{23}$ – 100a[1 – (99%)$^{22}$] = 0

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.