Giải chi tiết Toán 9 KNTT bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hoạt động 1 trang 6 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi” có nghĩa là tổng số cam và quýt là 17. Hãy viết hệ thức mới với hai biến x và y biểu thị giả thiết này.

Bài làm chi tiết:

- Tổng số cam và quýt là 17

=> Ta có hệ thức biểu thị: x + y = 17.

Hoạt động 2 trang 6 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Tương tự, hãy viết hệ thức với hai biến x và y biểu thị giả thiết cho bởi các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm.

Bài làm chi tiết:

-Câu thơ thứ 3: Chia ba mỗi quả quýt rồi tức là mỗi quả quýt thì ta sẽ có 3 miếng nên x quả sẽ có 3x miếng

-Câu thơ thứ 4: Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh tức là mỗi quả cam thì sẽ có 10 miếng nên y quả sẽ có 10y miếng

-Trăm người trăm miếng tức là số miếng quýt (3x miếng) và số miếng cam (10y miếng) tổng là 100 miếng.

=> Vậy ta có hệ thức liên hệ 3x + 10y = 100.

Luyện tập 1 trang 6 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Hãy viết một phương trình bậc nhất hai ẩn và chỉ ra một nghiệm của nó.

Bài làm chi tiết:

-Ta có phương trình bậc nhất hai ẩn: 5x – 3y = 1

-Nghiệm của phương trình 5x – 3y = 1 là (2; 3) vì thay nghiệm vào phương trình ta được 5.2 – 3.3 = 1.(tm)                                                                                  

Luyện tập 2 trang 8 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – 3y = 5;

b) 0x + y = 3;

c) x + 0y = 2.

Bài làm chi tiết:

a) Xét phương trình: 2x – 3y = 5 

=> y =

Có nghiệm tổng quát là:

với x  

-Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng y =

-Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng d: 2x – 3y = 5

-Để vẽ d, cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A 

b) Xét hai phương trình: 0x + y = 3 

- Hay y = 3

-Phương trình có nghiệm tổng quát là: (x;3) với x  

-Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng y = 3

-Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng d: 0x + y = 3. Vẽ d, ta xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A(0; 3) và B (1; 3):

c) Xét phương trình: x + 0y = -2 

-Hay x = -2

-Mỗi cặp số (-2; y) với y tùy ý, là một nghiệm 

-Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng x = -2

-Ta gọi đường thẳng này là đường thẳng d: x + 0y = -2 . Vẽ d, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn A (-2; 0) và B(-2; -1):

2. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Luyện tập 3 trang 9 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Trong hai cặp số (0; -2) và (2; -1), cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình

Bài làm chi tiết:

-Thay lần lượt nghiệm hai cặp số (0; -2) và (2; -1)vào hệ đã cho ta có:

-Vậy Nên (2; -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Vận dụng trang 9 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi x là số cam, y là quýt cần tính (x, y , ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

Bài làm chi tiết:

-Thay (10; 7) vào hệ đã cho ta có:

(vô lý).

-Thay (7; 10) vào hệ đã cho ta có:

-Vậy (7; 10) là nghiệm của hệ phương trình đã cho, nên số quả quýt là 7 quả, số quả cam là 10 quả.

3. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1.1 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?

a) 5x – 8y; 

b) 4x + 0y = -2;

c) 0x + 0y = 1;

d) 0x – 3y = 9.

Bài làm chi tiết:

-Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng: ax + by = c. Trong đó a, b và c là các số đã biết (a

-Ta dễ dàng nhận thấy các phương trình a); b); d) là phương trình bậc nhất hai ẩn, vì thỏa mãn điều kiện a .

-Phương trình c) a = b = 0 không phải phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1.2 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu “?” trong bảng sau rồi cho biết 6 nghiệm của phương trình 2x – y = 1:

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho. 

Bài làm chi tiết:

a) Ta có: 

Thay

-Vậy ta có bảng sau

-Vậy phương trình y = 2x – 1 có 6 nghiệm là: (-1; -3), (-0,5; -2), (0; -1), (0,5; 0), (1;1) và (2;3).

b) Nghệm tổng quát của phương trình đã cho là: (x; 2x – 1) với x R tùy ý.

Bài 1.3 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) 2x – y – 3;

b) 0x + 2y = -4;

c) 3x + 0y = 5.

Bài làm chi tiết:

a) 2x – y = 3 

=> y = 2x – 3

-Ta có nghiệm tổng quát là: (x; 2x – 3) với x R tùy ý.

- Vẽ đường thẳng d: y = 2x – 3 với A(0; -3) và B

b) 0x + 2y = -4 

=> y = -2

-Ta có nghiệm tổng quát là: (x; -2) với x tùy ý.

-Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm bằng cách vẽ đường thẳng d: y = -2 với A(0; -2) và B(1; -2) (y = -2 là đường thẳng song song với trục hoành Ox)

c) 3x + 0y = 5 

=>x =

-Ta có nghiệm tổng quát là: với y R tùy ý.

- Biểu diễn hình học tất cả các nghiệm bằng cách vẽ đường thẳng d: x =  với A (x = là đường thẳng song song với trục tung Oy)

Bài 1.4 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hệ phương trình

a) Hệ phương trình nên có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không? Vì sao?

b) Cặp số (-3; 4) có là một nghiệm của hệ phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Bài làm chi tiết:

a) Xét hệ phương trình

-Phương trình (1): 2x = -6 là phương trình bậc nhất (a

-Phương trình (2): 5x + 4y = 1 là phương trình bậc nhất (a và b

-Vậy hệ trên là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Thay (-3; 4)  vào phương trình

=>  

Vậy cặp số (-3; 4) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Bài 1.5 trang 10 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho các cặp số (-2; 1), (0; 2), (1; 0), (1,5; 3), (4; -3) và hai phương trình 

5x + 4y =8   (1)

3x + 5y = -3          (2)

Trong các cặp số đã cho:

a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng 5x + 4y – 8 và 3x + 5y = -3 trên cùng một mặt phẳng tọa độđể minh họa kết luận ở câu b.

Bài làm chi tiết:

a) Thay lần lượt các cặp số (-2; 1), (0; 2), (1; 0), (1,5; 3), (4; -3)  vào phương trình (1) ta có: 

Vậy nghiệm của phương trình (1) là (0; 2) và (4; -3).

b) Vì (-2; 1), (1; 0) và (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình (1) nên cũng không là nghiệm của hệ phương trình gồm (1) và (2).

-Thay (0; 2) vào phương trình (2) ta có: 3.0 + 5.2 = -3 (vô lí)

-Thay (4; -3) vào phương trình (2) ta có: 3.4 + 5.(-3) = -3 (luôn đúng)

-Vậy (4; -3) là nghiệm của phương trình (1) và (2)

c) Đường thẳng 5x + 4y = 8 và 3x + 5y = -3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ

Viết 5x + 4y = 8 về dạng: y =

-Lấy hai điểm là C

Ta vẽ được hai đường thẳng như sau :

=> hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ (-4 ; 3) chính là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2) ở câu b.