Giải chi tiết Toán 9 KNTT bài 13: Mở đầu về đường tròn

Mở đầu: Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn đó. 

Bài làm chi tiết:

-Oanh chỉ cần gấp đôi mảnh giấy lại, sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính . Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. Giao điểm của hai đường kính này là tâm của đường tròn

Luyện tập 1 trang 84 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn đường kính BC.

Bài làm chi tiết:

-Gọi O là trung điểm đường kính BC.

Ta có:

AB AC (gt)

-Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông (góc AOC = 90°)

-Do đó, điểm A thuộc đường tròn (O) đường kính BC.

Vận dụng 1 trang 84 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 3; 0), B (-2; 0), C( 0; 4). Vẽ hình cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn (O;3)?

Bài làm chi tiết:

-Xét khoảng cách từ tâm O đến các điểm A,B,C.

OA=3=R

OB=|-2|=2<R

OC=4>R

=>điểm A nằm trên đường tròn ; Điểm B nằm trong đường tròn; Điểm C nằm ngoài đường tròn 

2. TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động trang 85 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc đường tròn (O) thì:

a)Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng thuộc (O).

b)Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng d tùy ý đi qua O cũng thuộc (O).

Bài làm chi tiết:

a) 

-Lấy M là điểm thuộc đường tròn (O).

-M' là điểm đối xứng với M qua tâm O.

-Khi đó OM = OM' (tính chất đối xứng qua tâm)

=>O là trung điểm của MM'

=>M' thuộc đường tròn (O) (định nghĩa đường tròn)

b)

-Lấy M là điểm thuộc đường tròn (O).

M' là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.

-OM = OM' (tính chất đối xứng qua đường thẳng)

-O là trung điểm của MM'

=> M' thuộc đường tròn (O) (định nghĩa đường tròn)

Luyện tập 2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

 Cho đường tròn tâm O và hai điểm A,B thuộc (O). gọi d là đường trung trực của đoạn AB. Chứng minh rằng d là một trục đối xứng của (O).

Bài làm chi tiết:

-Vì OA = OB mà d thuộc O nên d đường trung trực của AB

=>OA=OB và d vuông góc với AB

=>d là một trục đối xứng của (O).

Vận dụng 2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm lại được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.

Bài làm chi tiết:

Gấp theo cách của bạn Oanh ta sẽ tìm được tâm của hình tròn. tiếp theo mở tờ giấy và gấp theo hướng khác, ta làm như vậy và xác định được đường kính mới, hai đường kính này cắt nhau tại tâm của hình tròn.

3. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 5.1 trang 86 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M( 0; 2), N(0; -3), P( 2; -1). Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn (O; )?

Vì sao?

Bài làm chi tiết:

-Ta tính khoảng cách từ điểm O đến các điểm M,N,P

OM=2<

ON=|-3|=3>

OP==2,24=

=> điểm P nằm trên đường tròn ; Điểm M nằm trong đường tròn; Điểm N nằm ngoài đường tròn

Bài 5.2 trang 86 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. 

Bài làm chi tiết:

-Xét tam giác ABC vuông tại A

-Theo định lí Pitago cho ΔABC vuông tại A

=>BC===5 cm

-Gọi O là trung điểm của BC

=>OB=OC 

-Mà ΔABC vuông tại A 

=>OA=OB=OC

=>A,B,C cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OA

=>OA=BC:2=5:2=2,5cm

-Vậy bán kính của đường tròn đó là 2,5cm

Bài 5.3 trang 86 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d; C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O.

a)Ba điểm B, C  và D có thuộc (O) không? Vì sao?

b)Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

c)Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

Bài làm chi tiết:

a)-Điểm C thuộc đường tròn. Vì OA=OC

-Điểm B thuộc đường tròn (O). Vì A đối xứng với B qua d, nên khoảng cách từ B đến d bằng với khoảng cách từ A đến d.

-Điểm D thuộc đường tròn.Vì OB=OD

b)Ta có:

-B,D đối xứng qua tâm O

=>ΔABD vuông tại A

-Tương tự ΔABC vuông tại B; ΔCBD vuông tại C

=>ABCD là hình chữ nhật.

c)-Ta có ABCD là hình chữ nhật

-B đối xứng với A qua d

=>C đối xứng với D qua d.

Bài 5.4 trang 86 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh 3 cm.

Bài làm chi tiết:

a)

-Do ABCD là hình vuông, giao điểm của hai đường chéo tại E.

=>EA=EB=EC=ED

-Vậy có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D với tâm E bán kính EA

Tâm đối xứng E và có hai trục đối xứng: AC; BD

b)Hình vuông có cạnh bằng 3cm=>AB=BC=CD=DA=3cm

-Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lí pytago:

AC==3cm

=>EA=

Vậy bán kính của hình tròn đó là cm