Giải chi tiết Toán 9 KNTT bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

MỞ ĐẦU

Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang h không? (H4.1).

(Trong các toà chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6^o).

Bài giải chi tiết:

-Biết độ dài của dốc là a 

-Độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang h 

-Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn:

-Vậy ta sẽ xác định được “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là h.

1. KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Câu hỏi trang 67 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.

Bài giải chi tiết:

-Cạnh đối là cạnh AB

-Cạnh kề là cạnh AC.

Hoạt động 1 trang 67 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống:

Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có . Chứng minh rằng:

a)

b)

Bài giải chi tiết:

a) Xét và có:

=> (g-g)

b) Vì (cmt) nên ta có:

-Vì

-Vì

-Vì

Luyện tập 1 trang 68 sgk toán 9 tập 1 sách kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Bài giải chi tiết:

-Xét tam giác ABC vuông tại A

-Theo định lý Pythagore, ta có: 

BC² = AB² + AC² => 5² + 12² = 169 nên BC = 13 cm

-Theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:

Hoạt động 2 trang 69 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = a (H.4.7.a).

a) Hãy tính BC và các tỉ số . Từ đó suy ra sin 45^o, cos 45^o.

b) Hãy tính các tỉ số . Từ đó suy ra tan 45^o, cot 45^o.

Bài giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABC vuông cân tại A

- Theo định lí Pythagore, ta có: 

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a² =>

-Ta có:

=> sin 45^o = ; 

cos 45^o = .

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có: 

Hoạt động 3 trang 68 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a (H.4.7b).

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC.

b) Tính sin 30^o, cos 30^o, sin 60^o và cos 60^o.

c) Tính tan 30^o, cot 30^o, tan 60^o và cot 60^o.

Bài giải chi tiết:

 a) Xét tam giác ABH vuông tại H

-Theo định lí Pythagore ta có: 

AH² = AB² – BH² = (2a)² – a² = 3a²

=> AH = .

b) Tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác của góc A, và Ta có:

c) Ta có: ;

Luyện tập 2 trang 70 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A có và AB = c. Tính BC và AC theo c.

Bài giải chi tiết:

-Xét tam giác ABC vuông tại A có và AB = c, ta có:

mà sin 45^o = nên BC = .

=> Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A => AB = AC = c.

2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU

Hoạt động 4 trang 70 sgk toán 9 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại C, có (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc α, β theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Bài giải chi tiết:

-Ta có:

 .

.

-Các cặp tỉ số bằng nhau là: 

 .

3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Luyện tập 4 trang 71 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin 40^o54’;                                     b) cos 52^o15’;

c) tan 69^o36’;                                     d) cot 25^o18’.

Bài giải chi tiết:

a) 0,655                          

b) 0,612

c) 2,689                          

d) 2,116.

Luyện tập 5 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) sin α = 0,3782;  b) cos α = 0,6251;  c) tan α = 2,154;    d) cot α = 3,253.

Bài giải chi tiết:

a) α = 22^o13’                                               

c) α = 65^o5’

b) α = 51^o19’                                               

d) α = 17^o5’

Vận dụng trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho xe lăn không?

Bài giải chi tiết:

a) Ta có: sin α = => α = 5^o44’

b) Vì α = 5^o44’ < 6^o  nên góc đó phù hợp với tiêu chuẩn của dốc cho xe lăn.

Tranh luận trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được và BC = a (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nêu được, hãy tính AB, biết α = 55^o, a = 70 m.

Em hãy cho biêt ý kiến của mình.

Bài giải chi tiết:

-Ta có:

  (1)

-Với α = 55^o, a = 70 m 

-Thay vào (1).

4. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 4.1 trang 73 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm                                    b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.

Bài giải chi tiết:

a) -Xét tam giác ABC vuông tại A 

-Theo định lí Pythagore ta có: 

AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 225 

=> AC = 15 cm.

Ta có:

b) -Xét tam giác ABC vuông tại A 

-Theo định lí Pythagore ta có:

 BC² = AC² + AB² = 0,9² + 1,2² = 2,25 

=> BC = 125 cm.

Ta có:

Bài 4.2 sgk trang 72 toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60^o và cạnh kề với góc 60^o bằng 3 cm. Tính cạnh đối của góc này.

Bài giải chi tiết:

-Xét tam giác vuông

-Ta có: tan 60^o = mà tan 60^o =

Độ dài cạnh đối là: .

Bài 4.4 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30^o và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Bài giải chi tiết:

Ta có: sin 30^o = =

-Vậy độ dài cạnh huyền là:

Bài 4.4 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và . Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Bài giải chi tiết:

-Độ dài cạnh huyền là:

-Ta có: cos α = . Tra bảng ta thấy α = 60^o

-Vậy góc cần tìm là 60^o.

Bài 4.5 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o:

sin 55^o, cos 62^o, tan 57^o, cot 64^o.

b) Tính

Bài giải chi tiết:

a) sin 55^o = cos 45^o,

 cos 62^o = sin 28^o, 

tan 57^o = cot 33^o, 

cot 64^o = tan 26^o.

b) Ta có: (do 65^o và 25^o là hai góc phụ nhau)

(do 34^o và 56^o là hai góc phụ nhau)

Bài 4.6 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) sin 40^o12’;                                     b) cos 52^o54’;

c) tan 63^o36’;                                     d) cot 35^o20’.

Bài giải chi tiết:

a) sin 40^o12’ = 0,645                          

b) cos 52^o54’ = 0,603

c) tan 63^o36’ = 2,014                         

d) cot 35^o20’ = 1,411

Bài 4.7 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Dùng MTCT, tìm số đo góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng

a) sin x = 0,2368;                                        b) cos x = 0,6224;

c) tan x = 1,236                                 d) cot x = 2,154.

Bài giải chi tiết:

a) x = 13^o42’                                      

b) x = 51^o31’

c) x = 51^o2’                                        

d) x = 24^o54’