Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1 Phép tính lũy thừa với số mũ thực

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức 

I. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên

Hoạt động 1 trang 27 Toán 11 tập 2 Cánh diều

a) Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a

b) Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a

 Hướng dẫn giải

a) Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là $a^{n}$, là tích của n thừa số a: $a^{n}$ = a.a.a...a (n thừa số a) với n là số nguyên dương. Số a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ.

b) Quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a (với a khác 0) là: $a^{0}=1$

Luyện tập 1 trang 28 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Tính giá trị của biểu thức 

$M=\left ( \frac{1}{3} \right )^{12}\cdot \left ( \frac{1}{27} \right )^{-5}+(0,4)^{-4}.25^{-2}\cdot \left ( \frac{1}{32} \right )^{-1}$

 Hướng dẫn giải

$M=\left ( \frac{1}{3} \right )^{12}\cdot \left ( \frac{1}{27} \right )^{-5}+(0,4)^{-4}.25^{-2}\cdot \left ( \frac{1}{32} \right )^{-1}$

$= \left ( \frac{1}{3} \right )^{12}\cdot 27^{5}+\left ( \frac{5}{2} \right )^{4}\cdot \frac{1}{25^{2}}\cdot 32$

$=\frac{27^{5}}{3^{12}}+\frac{5^{4}}{2^{4}.25^{2}}\cdot 32$

$=\frac{3^{15}}{3^{12}}+\frac{5^{4}}{2^{4}.5^{4}}\cdot 32$

$=3^{3}+\frac{32}{2^{4}}=29$

2. Căn bậc n

Hoạt động 2 trang 28 Toán 11 tập 2 Cánh diều

a) Với a là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của a

b) Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a

 Hướng dẫn giải

a) Đối với a là số thực không âm, căn bậc hai của a được định nghĩa như sau: Căn bậc hai của a (ký hiệu là √a) là một số nguyên dương sao cho khi nhân với chính nó (bình phương), ta sẽ thu được giá trị a. Ký hiệu: √a = b có nghĩa là bình phương của b là a.

b) Đối với a là số thực tùy ý, căn bậc ba của a được định nghĩa như sau: Căn bậc ba của a (ký hiệu là ∛a) là một số sao cho khi nhân với chính nó (lập phương), ta sẽ thu được giá trị a. Toán ký hiệu: ∛a = b có nghĩa là lập phương của b là a.

Luyện tập 2 trang 28 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Các số 2 và -2 có là căn bậc 6 của 64 hay không

 Hướng dẫn giải

Các số 2 và -2 là căn bậc 6 của 64

Hoạt động 3 trang 29 Toán 11 tập 2 Cánh diều

a) Với mỗi số thức a, so sánh $\sqrt{a^{2}}$ và $\left | a \right |$; $\sqrt[3]{a^{3}}$ và a

b) $\sqrt{a.b}$ và $\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Hướng dẫn giải

a)$\sqrt{a^{2}}$ = $\left | a \right |$ nếu a chẵn 

$\sqrt[3]{a^{3}}=a$ nếu a là số lẻ 

b) $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$

Luyện tập 3 trang 29 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Rút gọn mỗi biểu thức sau 

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\cdot \sqrt[4]{81}$

$=\sqrt[3]{\left ( \frac{5}{4} \right )^{3}}\cdot \sqrt[4]{(3)^{4}}$

$=\frac{5}{4}\cdot3=\frac{15}{4}$

b) $\frac{\sqrt[5]{98}.\sqrt[5]{343}}{\sqrt[5]{64}}$

$=\frac{\sqrt[5]{33614}}{\sqrt[5]{64}}$

$=\frac{\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{7^{5}}}{\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{2^{5}}}=\frac{7}{2}$

3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ 

Hoạt động 4 trang 29 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Thực hiện các hoạt động sau:

a) So sánh $2^{\frac{6}{3}}$ và $2^{2}$

b) So sánh $2^{\frac{6}{3}}$ và $\sqrt[3]{2^{6}}$

 Hướng dẫn giải

a) $2^{\frac{6}{3}}=2^{2}$

b) $2^{\frac{6}{3}}=\sqrt[3]{2^{6}}$

Luyện tập 4 trang 30 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Rút gọn biểu thức:

$N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$ (x > 0; y > 0)

 Hướng dẫn giải

$N=\frac{x^{\frac{4}{3}}y+xy^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$N=\frac{\sqrt[3]{x^{4}}y+x\sqrt[3]{y^{4}}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$N=\frac{\sqrt[3]{x^{3}}.\sqrt[3]{x}.y+x.\sqrt[3]{y^{3}}.\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$N=\frac{xy(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$

$N=xy$

II. Phép tính lũy thừa với số mũ thực 

Hoạt động 5 trang 30 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Nêu dự đoán về giá trị của số $3^{\sqrt{2}}$ (đến hàng phần trăm)

 Hướng dẫn giải

$3^{\sqrt{2}}$ xấp xỉ bằng 4,73

Luyện tập 5 trang 31 Toán 11 tập 2 Cánh diều: So sánh $10^{\sqrt{2}}$ và 10 

 Hướng dẫn giải

Có $10^{\sqrt{2}}$ > 10 

Hoạt động 6 trang 31 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương

 Hướng dẫn giải

Em tham khảo phần ghi nhớ trang 31

Luyện tập 6 trang 32 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh $2^{2\sqrt{3}}$ và $2^{3\sqrt{2}}$

 Hướng dẫn giải

Có $2\sqrt{3}$ < $3\sqrt{2}$

=> $2^{2\sqrt{3}}$ < $2^{3\sqrt{2}}$

Luyện tập 7 trang 32 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) 

a) $(-2,7)^{-4}$

b) $(\sqrt{3}-1^{\sqrt[3]{4}+1})$

 Hướng dẫn giải

a) $(-2,7)^{-4}$ xấp xỉ bằng 0,02

b) $(\sqrt{3}-1^{\sqrt[3]{4}+1})$ xấp xỉ bằng 0,45

B. Giải bài tập vận dụng

Bài 1 trang 33 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Tính:

a) $\left ( \frac{1}{256}\right )^{-0,75} + \left ( \frac{1}{27}\right )^{\frac{-4}{3}}$

b) $\left ( \frac{1}{49}\right )^{-1,5} - \left ( \frac{1}{125}\right )^{\frac{-2}{3}}$

Hướng dẫn giải

a) $\left ( \frac{1}{256}\right )^{-0,75} + \left ( \frac{1}{27}\right )^{\frac{-4}{3}}$

$=256^{\frac{3}{4}}+27^{\frac{4}{3}}$

$=\sqrt[4]{(4^{3})^{4}}+\sqrt[3]{(3^{4})^{3}}$

$=4^{3}+3^{4}=145$

b) $\left ( \frac{1}{49}\right )^{-1,5} - \left ( \frac{1}{125}\right )^{\frac{-2}{3}}$

$=49^{\frac{3}{2}}-125^{\frac{2}{3}}$

$=\sqrt[2]{(7^{3})^{2}}-\sqrt[3]{(5^{2})^{3}}$

$=7^{3}-5^{2}=318$

Bài 2 trang 33 Toán 11 tập 2 Cánh diều. Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}$

Hướng dẫn giải

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a\frac{5}{6}$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}\cdot a^{\frac{-1}{3}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}$

Bài 3 trang 33 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Rút gọn mỗi biểu thức sau

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^{6}}}=\sqrt[3]{(a^{12}b^{6})^{\frac{1}{2}}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}= \frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot (a^{2}-1)}{a^{\frac{1}{3}}\cdot (a-1)}=\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^{6}}}=\sqrt[3]{(a^{12}b^{6})^{\frac{1}{2}}}=(a^{12}b^{6})^{\frac{1}{6}}=a^{2}.b$

Bài 4 trang 33 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Viết các số theo thứ tự tăng dần

a) $1^{1,5}; 3^{-1}; \left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}$

b) $2022^{0}; \left ( \frac{4}{5} \right )^{-1}; 5^{\frac{1}{2}}$

Hướng dẫn giải

a) - Có a) $1^{1,5}=1$

$3^{-1}= \frac{1}{3}$

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}=2^{2}=4$

=> Thứ tự là: $3^{-1}; 1^{1,5}; 4$

b) Có $2022^{0}=1$

$\left ( \frac{4}{5} \right )^{-1}=\frac{5}{4}$

$5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$

=> Thứ tự là: $2022^{0}; \left ( \frac{4}{5} \right )^{-1}; 5^{\frac{1}{2}}$

Bài 5 trang 33 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36

b) $(0,2)^{\sqrt{3}}$ và $(0,2)^{\sqrt{5}}$

Hướng dẫn giải

a) Có 36=6^{2} mà $\sqrt{3} < 2$ => $6^{\sqrt{3}}$ < $36$

b) Có $\sqrt{3}<\sqrt{5}$ => $(0,2)^{\sqrt{3}}$ > $(0,2)^{\sqrt{5}}$

Bài 6 trang 33 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số $P=d^{\frac{3}{2}}$, trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hoả quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)? Biết khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Hướng dẫn giải

Có $P=d^{\frac{3}{2}}=1.52^{\frac{3}{2}}≈1,87$ (năm)