Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 3 Đạo hàm cấp hai

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Định nghĩa 

Hoạt động 1 trang 73 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Xét hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+5$

a) Tìm y'

b) Tìm đạo hàm của hàm số y'

Hướng dẫn giải

a) Có $y' = 3x^{2}-8x$

b) $y''=6x-8$

Luyện tập 1 trang 73 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y=sin3x$

Hướng dẫn giải

Có $y' = 3cos3x$

=> $y''=-9sin3x$

II. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai 

Hoạt động 2 trang 74 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động $s=\frac{1}{2}gt^{2}$, trong đó g là gia tốc rơi tự to, $g\approx 9,8$ $m/s^{2}$

a) Tính vận tốc túc thời v(t) tại thời điểm $t_{0}=4 (s); t_{1}=4,1(s)$

b) Tính tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta t}$ trong khoảng thời gian $\Delta t=t_{1}-t_{0}$

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc tức thời $v(t)=s'(t)=gt$

- Vận tốc tức thời tạo thời điểm 

$v(4)\approx 9,8.4\approx 39,2$ (m/s)

- Vận tốc tức thời tại thời điểm

$v (4,1) \approx 9,8.4,1\approx 40,18$ (m/s)

b) Tỉ số $\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{40,18-39,2}{4,1-4}=9,8$

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 75 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau

a) $y=\frac{1}{2x+3}$

b) $y=log_{3}x$

c) $y=2^{x}$

Hướng dẫn giải

a) $y=\frac{1}{2x+3}$

$y'=-\frac{2}{4x^{2}+12x+9}=-2\cdot \frac{1}{4x^{2}+12x+9}$

$y''=-2.-\frac{8x+12}{(4x^{2}+12x+9)^{2}}$

b) $y=log_{3}x$

$y'=\frac{1}{x.ln3}$

$=> y''=-\frac{ln3}{(x.ln3)^{2}}=-\frac{1}{x^{2}.ln3}$

c) $y=2^{x}$

$y'=2^{x}ln2$

$=> y''=2^{x}(ln2)^{2}$

Bài 2 trang 75 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y=3x^{2}-4x+5$ tại  $x_{0}=-2$

b) $log_{3}(2x+1)$ tại $x_{0}=3$

c) $e^{4x+3}$ tại $x_{0}=1$

d) $sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$ tại $x_{0}=\frac{\pi }{6}$

e) $y=cos\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$ tại $x_{0}=0$

Hướng dẫn giải

a) $y=3x^{2}-4x+5$

$y'=6x-4$

$y''=6$

b) $log_{3}(2x+1)$

$y'=\frac{2}{(2x+1)ln3}=2\cdot \frac{1}{(2x+1)ln3}$

$=> y''=2.-\frac{2.ln3}{(2x+1)^{2}(ln3)^{2}}=\frac{-4}{(2x+1)^{2}\cdot ln3}$

Thay $x_{0}=3$

$=> y''(3)= \frac{-4}{49\cdot ln3}$

c) $e^{4x+3}$

$y'=4e^{4x+3}$

$=> y''=16e^{4x+3}$

$=> y''(1)=16e^{7}$

d) $sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$

$y'=2cos\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$

$=> y''=-4sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$

$=> y''(\frac{\pi }{6})=-4sin\left (\frac{2\pi }{3} \right )$

e) $y=cos\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$

$y'=-3sin\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$

$y''=-9cos\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$

$y''(0)=-9cos(-\frac{\pi }{6})$