Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1 Hai đường thẳng vuông góc

A. Hoạt động hoàn thành kiến thức

I. Góc giữa đường thẳng trong không gian

Hoạt động 1 trang 77 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a, b.

a) Nếu a và b cắt nhau tại O (Hình 2) thì góc giữa hai đường thẳng a, b được xác định như thế nào?
b) Nếu a // b thì góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ?
c) Nếu a và b trùng nhau thì góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ?

Hướng dẫn giải

a) Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O, thì góc giữa hai đường thẳng đó được xác định là góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.

b) Nếu hai đường thẳng a và b là song song (a // b), tức là chúng không cắt nhau, thì góc giữa hai đường thẳng này bằng 0 độ.

c) Nếu hai đường thẳng a và b trùng nhau, tức là chúng hoàn toàn trùng nhau và không có điểm cắt nào, thì góc giữa hai đường thẳng này không xác định. Trong trường hợp này, ta thường nói rằng hai đường thẳng này là đồng quy.

Luyện tập 1 trang 78 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, DA. Biết tam giác MNP đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD 

Hướng dẫn giải

Xét $\Delta ABC$ có

M là trung điểm của AB; N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC
=> MN // AC

- Xét tam giác ABD có:

P là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB

=> MP là đường trung bình của tam giác ABD
=> MP // BD

Ta có (AC; BD) = (MN; MP) = góc NMP = 60 độ

II. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian 

Hoạt động 2 trang 78 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong hình 1 ở phần mở đầu, hai đường thẳng a, b gợi nên hình ảnh hai đường thẳng vuông góc. Góc giữa a và b bằng bao nhiêu độ 

Hướng dẫn giải

Góc giữa a và b bằng 90 độ

Luyện tập 2 trang 79 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng AH vuông góc với B'C'

Hướng dẫn giải

Vì AH là trực tâm của tam giác ABC => AH ⊥ BC

Mà BC // B'C'

=> AH ⊥ B'C'

B. Vận dụng giải bài tập

Bài 1 trang 79 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Hình 6 gợi nên hình ảnh 5 cặp đường thẳng vuông góc. Hãy chỉ ra 5 cặp đường thẳng đó 

Hướng dẫn giải

(1) a ⊥ c

(2) b ⊥ c

(3) c ⊥ d 

(4) a ⊥ b

(5) a ⊥ d

Bài 2 trang 79 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Trong hình 7 cho ABB'A', BCC'B', ACC'A' là các hình chữ nhật. Chứng minh rằng AB ⊥ CC', AA' ⊥ BC

Hướng dẫn giải

Có AB ⊥ BB' 

mà BB' // CC'

=> AB ⊥ CC' 

Có BB' ⊥ BC 

mà BB' // AA'

=> AA' ⊥ BC

Bài 3 trang 79 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và $\widehat{SAB}=100^{\circ}$. Tính góc giữa hai đường thẳng

a) SA và AB

b) SA và CD 

Hướng dẫn giải

a) Góc giữa SA và AB là $\widehat{SAB}=100^{\circ}$

b) Có AB // CD

=> Góc giữa SA và CD là góc giữa SA và AB là $\widehat{SAB}=100^{\circ}$

Bài 4 trang 79 Toán 11 tập 2 Cánh diều: Bạn Hoa nói rằng: "Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b vuông góc với nhau". Bạn Hoa nói đúng hay sai. Vì sao?

Hướng dẫn giải

Bạn Hoa nói sai. Nếu hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b song song với nhau