Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Khởi động

Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp các số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên và những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các luỹ thừa như vậy. Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên những phép tính mới trong tập hợp các số thực, đó là những phép tính lượng giác.

Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Hướng dẫn trả lời: 

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Có các công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác sau:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

I. CÔNG THỨC CỘNG

Hoạt động 1:

a) Cho $a=\frac{\pi }{6},b=\frac{\pi }{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*). 

Hướng dẫn trả lời: 

a) Với $a=\frac{\pi }{6}$ ta có $sina=sin\frac{\pi }{6}=\frac{1}{2};cosa=cos\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Với $b=\frac{\pi }{3}$ ta có $sinb=sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2};cosb=cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

Ta có sin(a+b) = $sin(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3})=sin\frac{\pi }{2}=1$

sinacosb + cosasinb = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$

Do đó sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (vì cùng bằng 1).

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

= $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

= $\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$

Luyện tập 1: Tính sin $\frac{\pi }{12}$

giải:

Áp dụng công thức cộng ta có:

$sin\frac{\pi }{12}=sin(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4})=sin\frac{\pi }{3}cos\frac{\pi }{4}-cos\frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Hoạt động 2: 

a) Tính cos(a + b) bằng cách biến đổi $cos(a + b) =sin(\frac{\pi }{2}-(a+b))=sin((\frac{\pi }{2}-a)-b)$ và sử dụng công thức cộng đối với sin.

b) Tính cos(a ‒ b) bằng cách biến đổi cos(a – b) = cos[a + (‒b)] và sử dụng công thức cos(a + b) có được ở câu a.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $cos(a + b) = sin(\frac{\pi }{2}-(a+b))=sin((\frac{\pi }{2}-a)-b)$

= $sin(\frac{\pi }{2}-a).cosb-cos(\frac{\pi }{2}-a).sinb$

= cosa.cosb - sina.sinb

Vậy cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb.

b) Ta có: cos(a – b) = cos[a + (‒b)]

= cosa cos(‒b) – sina sin(‒b)

= cosa cosb ‒ sina (‒sinb)

= cosa cosb + sina sinb.

Vậy cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb.

Luyện tập 2: Tính cos15°.

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức cộng, ta có:

cos15° = cos(45° ‒ 30°)

= cos45°.cos30° + sin45°.sin30°

$=\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Hoạt động 3:

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính tan(a + b) theo tana và tanb khi các biểu thức đều có nghĩa.

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính tan (a – b) bằng cách biến đổi tan(a-b) = tan[a+(-b)] và sử dụng công thức tan(a + b) có được ở câu a.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

$tan(a+b)=\frac{sin(a+b)}{cos(a+b)}=\frac{sinacosb+cosasinb}{cosacosb-sinasinb}$

$=\frac{\frac{sinacosb+sosasinb}{cosacosb}}{\frac{cosacosb-sinasinb}{cosacosb}}=\frac{\frac{sinacosb}{cosacosb}+\frac{cosasinb}{cosacosb}}{\frac{cosacosb}{cosacosb}-\frac{sinasinb}{cosacosb}}=\frac{\frac{sina}{cosa}+\frac{sinb}{cosb}}{1-\frac{sina}{cosa}.\frac{sinb}{cosb}}$

$=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}$

Vậy $tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tanatanb}$

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, ta có:

$tan(a-b) = tan[a+(-b)] =\frac{tana+tan(-b)}{1-tanatan(-b)}=\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

Vậy $tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

Luyện tập 3: Tính tan165°.

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức cộng, ta có:

tan165° = tan(120° + 45°)

= $\frac{tan120^{\circ}+tan45^{\circ}}{1-tan120^{\circ}tan45^{\circ}}=\frac{-\sqrt{3}+1}{1-(-\sqrt{3}).1}=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

$=\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}=\frac{1-2\sqrt{3}+3}{1-3}=\frac{4-1\sqrt{3}}{-2}=-2+\sqrt{3}$

Vậy tan165° = $-2+\sqrt{3}$

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Hoạt động 4: Tính sin2a, cos2a, tan2a bằng cách thay b = a trong công thức cộng.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có:

• sin2a = sin(a + a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa;

• cos2a = cos(a + a) = cosacosa – sinasina = $cos^{2}a – sin^{2}a$;

• Khi các biểu thức đều có nghĩa thì

$tan2a = tan(a+a) =\frac{tana+tana}{1-tanatana}=\frac{2tana}{1-tan^{2}a}$

Luyện tập 4: Cho $tan\frac{a}{2}=-2$. Tính tana

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

$tana=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1-tan^{2}\frac{a}{2}}=\frac{2.(-2)}{1-(-2)^{2}}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$

Luyện tập 5: Tính $sin\frac{\pi }{8},cos\frac{\pi }{8}$

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

$sin^{2}\frac{\pi }{8}=\frac{1-cos(2.\frac{\pi }{8})}{2}=\frac{1-cos\frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

Mà $sin\frac{\pi }{8}>0$ nên $sin\frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$cos^{2}\frac{\pi }{8}=\frac{1+cos(2.\frac{\pi }{8})}{2}=\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$

Mà $cos\frac{\pi }{8}>0$ nên $cos\frac{\pi }{8}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

III. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Hoạt động 5: Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

cos(a + b) + cos(a – b); cos(a + b) – cos(a – b); sin(a + b) + sin(a – b).

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có:

• cos(a + b) + cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) + (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb + cosa cosb + sina sinb

= 2cosa cosb.

• cos(a + b) – cos(a – b)

= (cosa cosb – sina sinb) – (cosa cosb + sina sinb)

= cosa cosb – sina sinb – cosa cosb – sina sinb

= –2sina sinb.

• sin(a + b) + sin(a – b)

= (sina cosb + cosa sinb) + (sina cosb ‒ cosa sinb)

= sina cosb + cosa sinb + sina cosb ‒ cosa sinb

= 2sina cosb.

Vậy cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa cosb;

cos(a + b) – cos(a – b) = –2sina sinb;

sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina cosb.

Luyện tập 6: Cho $cosa=\frac{2}{3}$. Tính $B=cos\frac{3a}{2}cos\frac{a}{2}$

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

$B=cos\frac{3a}{2}cos\frac{a}{2}$

$=\frac{1}{2}[cos(\frac{3a}{2}+\frac{a}{2})+cos(\frac{3a}{2}-\frac{a}{2})]$

$=\frac{1}{2}(cos2a+cosa)=\frac{1}{2}(2cos^{2}a-1+cosa)=\frac{1}{2}.(2.\frac{4}{9}-1+\frac{2}{3})=\frac{5}{18}$

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

Hoạt động 6: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt a + b = u; a − b = v rồi biến đổi các biểu thức sau thành tích: cosu + cosv; cosu – cos v; sinu + sinv; sinu – sinv.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có $\left\{\begin{matrix}a+b=u\\ a-b=v\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=\frac{u+v}{2}\\ b=\frac{u-v}{2}\end{matrix}\right.$

Khi đó:

• cosu + cosv = cos(a + b) + cos(a – b)

= 2cosa cosb

= $2cos\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

• cosu – cosv = cos(a + b) – cos(a – b)

= –2sina sinb

= $-2sin\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}$

• sinu + sinv = sin(a + b) + sin(a – b)

= 2sina cosb

= $2sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

• sinu – sinv = sin(a + b) – sin(a – b)

= sin(b + a) + sin(b – a)

= 2sinb cosa = 2cosa sinb

=$2cos\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}$

Luyện tập 7: Tính $D=\frac{sin\frac{7\pi }{9}+sin\frac{\pi }{9}}{cos\frac{7\pi }{9}-cos\frac{\pi }{9}}$

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:

$sin\frac{7\pi }{9}+sin\frac{\pi }{9}=2sin\frac{\frac{7\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}cos\frac{\frac{7\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}=2sin\frac{4\pi }{9}cos\frac{\pi }{3}$

$cos\frac{7\pi }{9}-cos\frac{\pi }{9}=2sin\frac{\frac{7\pi }{9}+\frac{\pi }{9}}{2}sin\frac{\frac{7\pi }{9}-\frac{\pi }{9}}{2}=-2sin\frac{4\pi }{9}sin\frac{\pi }{3}$

Khi đó:

$D=\frac{sin\frac{7\pi }{9}+sin\frac{\pi }{9}}{cos\frac{7\pi }{9}-cos\frac{\pi }{9}}$

$=\frac{2sin\frac{4\pi }{9}cos\frac{\pi }{3}}{-2sin\frac{4\pi }{9}sin\frac{\pi }{3}}=-\frac{cos\frac{\pi }{3}}{sin\frac{\pi }{3}}=-cot\frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài tập

Bài tập 1: Cho $cosa=\frac{3}{5}$ với $0<a<\frac{\pi }{2}$. Tính $sin(a+\frac{\pi }{6}),cos(a-\frac{\pi }{3}),tan(a+\frac{\pi }{4})$

Hướng dẫn trả lời: 

Do $0<a<\frac{\pi }{2}$ nên sina >0

Áp dụng công thức $sin^{2}a+cos^{2}a=1$, ta có:

$sin^{2}a+(\frac{3}{5})^{2}=1$

$\Rightarrow sin^{2}a=1-(\frac{3}{5})^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$\Rightarrow sina=\frac{4}{5}$ (do sina >0)

Khi đó $tana=\frac{sina}{cosa}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$

Áp dụng công thức cộng, ta có:

$sin(a+\frac{\pi }{6})=sinacos\frac{\pi }{6}+cosasin\frac{\pi }{6}=\frac{4}{5}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5}.\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$

$cos(a-\frac{\pi }{3})=cosacos\frac{\pi }{3}=\frac{3}{5}.\frac{1}{2}+\frac{4}{5}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$

$tan(a+\frac{\pi }{4})=\frac{tana+tan\frac{\pi }{4}}{1-tanatan\frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{4}{3}+1}{1-\frac{4}{3}.1}=\frac{\frac{7}{3}}{-\frac{1}{3}}=-7$

Bài tập 2: Tính:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°);

$B=cos(b+\frac{\pi }{3})cos(\frac{\pi }{6}-b)-sin(b+\frac{\pi }{3})sin(\frac{\pi }{6}-b)$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có:

A = sin(a – 17°)cos(a + 13°) – sin(a + 13°)cos(a – 17°)

= sin(a – 17°)cos(a + 13°) – cos(a – 17°)sin(a + 13°)

= sin[(a – 17°) – (a + 13°)]

= sin(a – 17° – a – 13°)

= sin(‒30°)

= ‒ sin30°=$-\frac{1}{2}$

$B=cos(b+\frac{\pi }{3})cos(\frac{\pi }{6}-b)-sin(b+\frac{\pi }{3})sin(\frac{\pi }{6}-b)$

$=cos[(b+\frac{\pi }{3})+(\frac{\pi }{6}-b)]

$=cos[b+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}-b]$

$=cos\frac{\pi }{3}=0$

Bài tập 3: Cho tan(a + b) = 3, tan(a – b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có:

tan2a = tan[(a + b) + (a – b)]

$=\frac{tan(a+b)+tan(a-b)}{1-tan(a+b)tan(a-b)}=\frac{3+2}{1-3.2}=\frac{5}{-5}=-1$

tan2b = tan[(a + b) ‒ (a – b)]

$=\frac{tan(a+b)-tan(a-b)}{1+tan(a+b)tan(a-b)}=\frac{3-2}{1+3.2}=\frac{5}{-5}=\frac{1}{7}$

Bài tập 4: Cho $sina=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Tính cos2a, cos4a

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

$cos2a=1-2sin^{2}a=1-2.(\frac{2}{\sqrt{5}})^{2}=1-2.\frac{4}{5}=-\frac{3}{5}$

$cos4a=2cos^{2}2a-1=2.(-\frac{3}{5})^{2}-1=2.\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$

Bài tập 5: Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: sina + cosa = 1

⇒(sina + cosa)$^{2}$ = 1$^{2}$

⇒sin$^{2}$a + 2sina cosa + cos$^{2}$a = 1

⇒2sina cosa + (sin$^{2}$a + cos$^{2}$a) = 1

⇒sin2a + 1 = 1

⇒sin2a = 0.

Vậy với sina + cosa = 1 thì sin2a = 0.

Bài tập 6: Cho $cos2a=\frac{1}{3}$ với $\frac{\pi }{2}<a<\pi $ nên cosa < 0 và sina >0

Hướng dẫn trả lời: 

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

$sin^{2}a=\frac{1-cos2a}{2}=\frac{1-\frac{1}{3}}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow sina=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (do sina > 0)

$cos^{2}a=\frac{1+cos2a}{2}=\frac{1+\frac{1}{3}}{2}=\frac{2}{3}\Rightarrow cosa=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ (do cosa < 0)

Khi đó: $tana=\frac{sina}{cosa}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $sina=\frac{\sqrt{3}}{3},cosa=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ và $tana=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài tập 7: Cho $cos2x=\frac{1}{4}$. Tiinhs $A=cos(x+\frac{\pi }{6})cos(x-\frac{\pi }{6});B=sin(x+\frac{\pi }{3})sin(x-\frac{\pi }{3})$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: 

$A=cos(x+\frac{\pi }{6})cos(x-\frac{\pi }{6})$

$=\frac{1}{2}[cos(x+\frac{\pi }{6}+x-\frac{\pi }{6})+cos(x+\frac{\pi }{6}-x+\frac{\pi }{6})]$

$=\frac{1}{2}(cos2x+cos\frac{\pi }{3})$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}+\frac{1}{2})=\frac{3}{8}$

$B=sin(x+\frac{\pi }{3})sin(x-\frac{\pi }{3})$

$=-\frac{1}{2}[cos(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3})-cos(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3})]$

$=-\frac{1}{2}(cos2x-cos\frac{2\pi }{3})$

$=-\frac{1}{2}(\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2}))=-\frac{3}{8}$

Vậy $A=\frac{3}{8},B=-\frac{3}{8}$

Bài tập 8: Rút gọn biểu thức: $A=\frac{sin2x}{1+cos2x}$

Hướng dẫn trả lời: 

$A=\frac{sin2x}{1+cos2x}=\frac{2sinxcosx}{1+(2cos^{2}x-1)}$ (sử dụng công thức nhân đôi)

$=\frac{2sinxcosx}{2coss^{2}x}=\frac{sinx}{cosx}=tanx$

Bài tập 9: Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Hướng dẫn trả lời: 

a) Đặt $\widehat{AOH}=\beta ,\widehat{BOH}=\gamma $

Xét tam giác BOH vuông tại H, ta có: $\widehat{AOH}=\beta ,\widehat{BOH}=\gamma $

$\gamma =\frac{BH}{HO}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$

$tan\alpha =tan(\beta -\widehat{BOH})=tan(\beta -\gamma )=\frac{tan\beta -tan\gamma }{1+tan\beta tan\gamma }=\frac{\frac{14}{15}-\frac{4}{5}}{1+\frac{14}{15}.\frac{4}{5}}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{131}{75}}=\frac{10}{131}$

Vậy $tan\alpha =\frac{10}{131}$

b) Từ $tan\alpha =\frac{10}{131}$, để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay, trước tiên chuyển máy về chế độ “độ”, sau đó ấn lần lượt các nút:

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4°.

Vậy α ≈ 4°.

Bài tập 10: Có hai chung cư cao tầng I và II xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư II người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư I mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư I). Biết rằng chiều cao của chung cư II là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Hướng dẫn trả lời: 

Kẻ AM ⊥ CK, BN ⊥CK (hình vẽ) ta có:

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt $\widehat{BCN}=\alpha ,\widehat{ACM}=\beta $

Xét $\Delta BCN$ vuông tại N có: $tan\alpha =\frac{BN}{CN}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$

Xét $\Delta ACM$ vuông tại M có: $tan\beta =\frac{AM}{CM}=\frac{20}{26}=\frac{10}{13}$

Ta có: $tan\widehat{ACB}=tan(\widehat{BCN}-\widehat{ACM})=tan(\alpha -\beta )$

$\Rightarrow tan\widehat{ACB}=\frac{tan\alpha -tan\beta }{1+tan\alpha tan\beta }=\frac{\frac{5}{2}-\frac{10}{13}}{1+\frac{5}{2}.\frac{10}{13}}=\frac{45}{76}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 31^{\circ}$