Giải chi tiết Toán 11 Cánh diều mới bài 1: Giới hạn của dãy số

Khởi động

Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A$_{1}$ cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

Hướng dẫn trả lời: 

Giới hạn hữu hạn của hàm số có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng. Trong bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về điều đó.

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 

1. Định nghĩa 

Hoạt động 1: Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số ($u_{n}$), với $u_{n}=$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị $u_{n}$ khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng $u_{n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Hướng dẫn trả lời: 

a) Khi n ngày càng lớn thì giá trị của $u_{n}$ càng giảm dần về 0.

b) Ta có bảng:

Kể từ số hạng $u_{1001}$ trở đi thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Kể từ số hạng $u_{10001}$ trở đi thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,0001.

Luyện tập 1: Chứng minh

a) lim 0 = 0

b) $lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{n}$ = 0 với mọi n ∈ ℕ*

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|$u_{n}$ – 0| < ε với mọi n ∈ ℕ*

Vậy lim 0 = 0.

b) Ta có: $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ với mọi n ∈ ℕ*

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

|$u_{n}$ – 0| < ε ⇔ $|\frac{1}{\sqrt{n}}|<\varepsilon \Leftrightarrow \sqrt{n}>\frac{1}{\varepsilon }\Leftrightarrow n>\frac{1}{\varepsilon ^{2}}$

Chọn $N ≥ \frac{1}{\varepsilon ^{2}}$ thì với mọi n >N ta có: $|\frac{1}{\sqrt{n}}|<ε$

Vì vậy $lim\frac{1}{\sqrt{n}}=0$

Hoạt động 2: Cho dãy số $(u_{n})$, với $u_{n}=2+\frac{1}{n}$. Tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(u_{n}-2)$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $u_{n}-2=2+\frac{1}{n}-2=\frac{1}{n}$

Với mọi ε > 0 bé tùy ý, ta có:

$|u_{n}-0|<ε\Leftrightarrow |\frac{1}{n}< ε\Leftrightarrow n>\frac{1}{ε}$

Chọn N ≥ $\frac{1}{ε}$ thì với mọi n > N ta có: $|\frac{1}{n}|<ε$

Vì vậy $lim(u_{n}-2) = 0.$

Luyện tập 2: Chứng minh rằng: $lim\frac{-4n+1}{n}=-4$

Hướng dẫn trả lời: 

Đặt $u_{n}=\frac{-4n+1}{n}$, suy ra $u_{n}-4=\frac{-4n+1}{n}-(-4)=\frac{1}{n}$

Do đó $lim(u_{n}-(-4))=lim\frac{1}{n}=0$

=> $limu_{n}=-4$

2. Một số giới hạn cơ bản 

Luyện tập 3: Chứng minh rằng: $lin(\frac{e}{\pi })^{n}=0$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $\frac{e}{\pi }<1$ do đó $lin(\frac{e}{\pi })^{n}=0$

II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Hoạt động 3: Cho hai dãy số (u$_{n}$), (v$_{n}$) với $u_{n}=8+\frac{1}{n};v_{n}=4-\frac{2}{n}$

a) Tính limu$_{n}$, limv$_{n}$

b) Tính lim(u$_{n}$ + v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$ + limv$_{n}$.

c) Tính lim(u$_{n}$.v$_{n}$) và so sánh giá trị đó với tổng limu$_{n}$.limv$_{n}$.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $lim(u_{n}-8) = lim (8+\frac{1}{n}-8)=0$

Do đó $limu_{n} = 8$.

Ta có: $lim(v_{n}-4) = lim(4-\frac{2}{n}-4)=0$

Do đó $limv_{n} = 4.$

b) $limu_{n} + limv_{n} = 8 + 4 = 12.$

Ta có: $u_{n} + v_{n} = 8+\frac{1}{n}+4-\frac{2}{n}=12-\frac{1}{n}$

Ta lại có: $lim(u_{n}+v_{n}-12) = lim(12-\frac{1}{n}-12)=0$

Suy ra $lim(u_{n} + v_{n}) = 12.$

Vì vậy $lim(u_{n} + v_{n}) = limu_{n} + limv_{n}$.

b) Ta có: $u_{n}.v_{n} = (8+\frac{1}{n})(4-\frac{2}{n})=32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^{2}}$

Khi đó $lim(u_{n}.v_{n} – 32) = lim(32-\frac{12}{n}-\frac{2}{n^{2}}-32)=0$

Ta lại có: $limu_{n}.limv_{n} = 8.4 = 32.$

Vì vậy $limu_{n}.limv_{n} = lim(u_{n}.v_{n})$.

Luyện tập 4: Tính các giới hạn sau:

a) $lim\frac{8n^{2}+n}{n^{2}}$

b) $lim\frac{\sqrt{4+n^{2}}}{n}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $lim\frac{8n^{2}+n}{n^{2}}=lim(8+\frac{1}{n})=lim8+lim\frac{1}{n}=8$

b) $lim\frac{\sqrt{4+n^{2}}}{n}=lim\sqrt{\frac{4}{n^{2}}+1}=\sqrt{lim(\frac{4}{n^{2}}+1)}=1$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 

Hoạt động 4: Cho cấp số nhân ($u_{n}$), với $u_{1}$ = 1 và công bội q= $\frac{1}{2}$

a) Hãy so sánh |q| với 1.

b) Tính $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n}$. Từ đó, hãy tính lim$S_{n}$.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: |q| = $\frac{1}{2}<1$

b) Ta có: (u$_{n}$) là cấp số nhân lùi vô hạn có tổng n số hạng đầu tiên là:

$S_{n}=\frac{1.(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}=2(1-(\frac{1}{2})^{n})$

$limS_{n}=lim(1-(\frac{1}{2})^{n})=lim2.lim(1-(\frac{1}{2})^{n})=2$

Luyện tập 5: Tính tổng $M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}-...+(-\frac{1}{2})^{n-1}+...$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có dãy số $1;-\frac{1}{2};\frac{1}{2^{2}};...;(-\frac{1}{2})^{n-1};...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_{1}=1$ và công bội $q=-\frac{1}{2}$ thỏa mãn |q| < 1

Do đó ta có:

$M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}-...+(-\frac{1}{2})^{n-1}+...=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}$

Luyện tập 6: Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Hướng dẫn trả lời: 

Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.

Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được $\frac{a}{2}$

Khi Asin chạy tiếp được $\frac{a}{2}$ thì chú rùa chạy được $\frac{a}{4}$

Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:

$a+\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}+...$

Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.

Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ = a và công bội q = $\frac{1}{2}$

Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:

$S+a+\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}+...=lim\frac{a(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}=2a$

Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

Hoạt động 5: Quan sát dãy số (u$_{n}$) với $u_{n} = n^{2}$ và cho biết giá trị của $n_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì được hay không kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có bảng giá trị sau:

Từ đó ta có các nhận xét sau:

+) Kể từ số hạng thứ 2 trở đi thì $u_{n} > 1$ .

+) Kể từ số hạng thứ 101 trở đi thì $u_{n}$ > 10 000.

...

Vậy ta thấy $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Luyện tập 7: Tính lim(– n$^{3}$).

Hướng dẫn trả lời: 

Xét dãy số (u$^{n}$) = n$^{3}$.

Với M là số dương bất kì, ta thấy u$^{n}$ = n$^{3}$ > m ⇔ n > $\sqrt[3]{M}$

Suy ra với các số tự nhiên n > $\sqrt[3]{M}$ thì $u_{n}$ > M. Do đó limn$^{3}$ = +∞.

Vậy limn$^{3}$ = – ∞.

Luyện tập 8: Chứng tỏ rằng $lim\frac{n-1}{n^{2}}=0$

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: 

Đặt $u_{n}=n-1$ và $v_{n}=\frac{1}{n^{2}}$, khi đó khi đó limun = +∞ và $limv_{n}=lim \frac{1}{n^{2}}=0$

Vậy $lim\frac{n-1}{n^{2}}=limu_{n}.limv_{n}=0$

Bài tập

Bài tập 1: Cho hai dãy số $(u_{n}),(v_{n})$ với $u_{n}=3+\frac{1}{n},v_{n}=5-\frac{2}{n^{2}}$. Tính các giưới hạn sau:

a) $limu_{n},limv_{n}$

b) $lim(u_{n}+v_{n}),lim(u_{n}-v_{n}),lim(u_{n}.v_{n}),lim\frac{u_{n}}{v_{n}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có:

$limu_{n}=lim(3+\frac{1}{n}=lim3+lim\frac{1}{n}=3+0=3$

$limv_{n}=lim(5+\frac{2}{n^{2}})=lim5-lim\frac{2}{n^{2}}=5-0=5$

b) $lim(u_{n}+v_{n})=limu_{n}+limv_{n}=3+5=8$

$lim(u_{n}-v_{n})=limu_{n}-limv_{n}=3-5=-2$

$lim(u_{n}.v_{n})=limu_{n}.limv_{n}=3.5=15$

$lim\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{limu_{n}}{limv_{n}}=\frac{3}{5}$

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:

a) $lim\frac{5n+1}{2n}$

b) $lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}$

c) $lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}$

d) $lim(2-\frac{1}{3^{n}})$

e) $lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}$

g) $lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}$

Hướng dẫn trả lời: 

a) $lim\frac{5n+1}{2n}=lim(\frac{5}{2}+\frac{1}{2n})=lim\frac{5}{2}+lim\frac{1}{2n}=\frac{5}{2}$

b) $lim\frac{6n^{2}+8n+1}{5n^{2}+3}=lim\frac{6+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{5+\frac{3}{n^{2}}}=\frac{lim(6+\frac{8}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{lim(5+\frac{3}{n^{2}})}=\frac{6}{5}$

c) $lim\frac{\sqrt{n^{2}+5n+3}}{6n+2}=lim\frac{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{6+\frac{2}{n}}=\frac{lim\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^{2}}}}{lim(6+\frac{2}{n})}=\frac{1}{6}$

d) $lim(2-\frac{1}{3^{n}})=lim2-lim(\frac{1}{3})^{n}=2-0=2$

e) $lim\frac{3^{n}+2^{n}}{4.3^{n}}=lim\frac{1+(\frac{2}{3})^{n}}{4}=\frac{lim[1+(\frac{2}{3})^{n}]}{lim4}=\frac{1}{4}$

g) $lim\frac{2+\frac{1}{n}}{3^{n}}=\frac{lim(2+\frac{1}{n})}{lim3^{n}}=0$

Bài tập 3: 

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un­), với $=\frac{2}{3},q=-\frac{1}{4}$

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u$_{n}$), với $u_{1}=\frac{2}{3},q=-\frac{1}{4}$

$S=lim\frac{\frac{2}{3}[1-(-\frac{1}{4})^{n}]}{1-(-\frac{1}{4})}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}}=\frac{8}{15}$

b) Ta có:

1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...

Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 0,6 và công bội q = $\frac{1}{10}$ có |q| < 1 nên ta có:

0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... = $\frac{0,6}{1-\frac{1}{10}}=\frac{2}{3}$

Suy ra 1,(6) = $1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$

Bài tập 4: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S$_{n}$ của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Gọi $S_{n}$ là diện tích của hình vuông thứ n 

Ta có: $S_{1}=1;S_{2}=\frac{1}{2};S_{3}=(\frac{1}{2})^{2};...$

Dãy $(S_{n})$ lập thành cấp số nhân có số hạng đầu $S_{1}=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$ có công thức tổng quát là: $S_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$

b) Ta có: $|q|=|\frac{1}{2}|<1$ nên dãy $(S_{n})$ trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:

$S=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+...+(\frac{1}{2})^{n-1}+...=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).

Bài tập 5: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân ra thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021).

Gọi u$_{n}$ là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (u$_{n}$).

b) Chứng minh rằng (u$_{n}$) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn bé lại bé hơn 10$^{– 6}$ g.

Hướng dẫn trả lời: 

a) Ta có: $u_{1}=1;u_{2}=\frac{1}{2};u_{3}=(\frac{1}{2})^{2};...$

Suy ra (u$_{n}$) lâp thành một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 1 và $q=\frac{1}{2}$ có số hạng tổng quát là:

$u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$

b) Ta có: $limu_{n}=lim(\frac{1}{2})^{n-1}=0$

c) Đổi $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}kg=(\frac{1}{2})^{n-1}.10^{3}g$

Để chất phóng xạ bé hơn $10^{-6}$ (g) thì $(\frac{1}{2})^{n-1}.10^{3}<10^{-6}$ <=> n > 31

Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Bài tập 6: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C$_{1}$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2}$

C$_{2}$ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{4}$, ...

C$_{n}$ là đường gồm $2^{n}$ nửa đường tròn đường kính $\frac{AB}{2^{n}},...$ (Hình 4)

Gọi P$_{n}$ là độ dài của C$_{n}$­, S$_{n}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C$_{n}$ và đoạn thẳng AB.

a) Tính p$_{n}$, S$_{n}$.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p$_{n}$) và (S$_{n}$).

Hướng dẫn trả lời: 

Ta có: $p_{1}=\frac{\pi R}{2};p_{2}=\frac{\pi R}{4}=\frac{\pi R}{2^{2}};p_{3}=\frac{\pi R}{8}=\frac{\pi R}{2^{3}};...$

(p$_{n}$) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $p_{1}=\frac{\pi R}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}<1$ có số hạng tổng quát $p_{n}=\frac{\pi R}{2}.(\frac{1}{2})^{n-1}$

Ta có: $C_{1}=\frac{\pi R^{2}}{4};C_{2}=\frac{\pi R^{2}}{4^{2}};C_{3}=\frac{\pi R^{3}}{2^{3}};...$

(C$_{n}$) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $C_{1}=\frac{\pi R^{2}}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$ có số hạng tổng quát $C_{n}=\frac{\pi R}{4}.(\frac{1}{4})^{n-1}$