Giải chi tiết Toán 9 KNTT bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 1 trang 99 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho đường thẳng a và điểm O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống a, và A là một điểm thuộc tia OH. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường tròn (O;OA) và cho biết đường thẳng a và đường tròn (O;OA) có bao nhiêu điểm chung?

Bài giải chi tiết:

a) Có hai điểm chung.

b) Có 1 điểm chung

c) Không có điểm chung

Luyện tập 1 trang 100 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng a. Tại sao?

a)(O;3 cm)   b)(O;5 cm)      c)(O;4 cm)

Bài giải chi tiết:

a) Vì R = 3 cm < d = 4 cm =>Đường thẳng a không cắt đường tròn 

b) Vì R = 5 cm > d = 4 cm => Đường thẳng a cắt đường tròn.

c) Vì R = d = 4 cm =>Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn.

2. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 2 trang 100 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho đường thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.

a)Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.

b)Nếu vẽ đường tròn (O;OH) thì đường tròn này và đường thẳng a co vị trí tương đối như thế nào?

Bài giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng OH.

b) Đường tròn (O;OH) thì đường tròn này và đường thẳng a tiếp xúc nhau.

Luyện tập 2 trang 101 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho một  hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I;3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Bài giải chi tiết:

-Gọi r=3cm là bán kính của đường tròn tâm I

-Theo đầu bài độ dài mỗi cạnh của hình vuông bằng 6 cm 

=> đường tròn (I;3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Thực hành trang 101 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với a.

Bài giải chi tiết:

Từ M kẻ vuông góc với đường thẳng, vẽ đường tròn tâm M, bán kính là đoạn thẳng nối từ tâm M đến chân đường vuông góc.

Vận dụng trang 101 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn ( hình ảnh của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.

Bằng cách xét vị trí tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau( cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

Bài giải chi tiết:

-Đồng xu luôn đè lên một đường thẳng, che khuất một phần đường thẳng, hoặc chỉ có thể không đè nên đường thẳng nào

=>Nên chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

3. HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 3 trang 101 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho điểm P ở bên ngoài đường tròn tâm O. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vẽ hình sau:

-Vẽ đường tròn đường kính PO cắt đường tròn (O) tại A và B.

-Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).

Bài giải chi tiết:

-Đường tròn đường kính PO cắt đường tròn (O) tại A và B.

=>OA=OB và PA=PB

-Xét ΔPAO và ΔPBO ta có PO chung 

=> OA=OB

=> PA=PB

=> ΔPAO = ΔPBO(c.c.c)

-Lại có  đường kính)

=>

=> PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).

Hoạt động 4 trang 102 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

(dựa vào hình vẽ có được sau HD3). Bằng cách xét hai tam giác OPA và OPB, chứng minh rằng:

a)PA=PB

b)PO là tia phân giác của góc APB

c)OP là tia phân giác của góc AOB

Bài giải chi tiết:

a) Đường tròn đường kính PO cắt đường tròn (O) tại A và B.

=>OA=OB và PA=PB

b) Từ câu (a) => ΔPAO = ΔPBO(c.c.c)

=> PO là tia phân giác của góc APB

c)Tương tự ta có thể chứng minh 

=>OP là tia phân giác của góc AOB

Thử thách nhỏ trang 103 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho góc xPy và điểm A thuộc tia Px. Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xPy cho cho A là một trong hai tiếp điểm.

Bài giải chi tiết:

Vẽ góc xPy.

Chọn một điểm A trên tia Px.

Vẽ đường tròn có tâm O và bán kính bằng khoảng cách từ O đến tia Px hoặc Py.

Đường tròn này sẽ tiếp xúc với cả hai cạnh của góc xPy.

Đường tròn cũng sẽ tiếp xúc với tia Px tại điểm A, nên OA sẽ vuông góc với Px tại A.

Do đó, O là giao điểm của phân giác góc xPy và đường vuông góc với Px tại A.

4. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 5.20 trang 103 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b. Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm ( nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình nào đè lên đường thẳng a, hình nào không đè lên đường thẳng a?

Bài giải chi tiết:

-Hình tròn bán kính 4 cm không đè lên trường thẳng a, 

-Hình tròn bán kính 6 cm, 7 cm và 8 cm đè lên đường thẳng a.

Bài 5.21 trang 103 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B,C của một tam giác cân tại A. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).

Bài giải chi tiết:

-Gọi d là đường thẳng qua A và d // BC

-Ta có tam giác ABC cân tại A 

=> d đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).

Bài 5.22 trang 103 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên Oy sao cho OA= OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox cắt Ot tại P. Chứng mỉnh rằng, OA, OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P;PA) .

Bài giải chi tiết:

-Ta có OB=OA(gt)

Mà PA vuông góc với OA tại A

-Xét tam giác OPA và tam giác OPB có 

OP chung và OA=OB; ;

=>ΔOPA=ΔOPB(c.g.c)

=>PB cũng vuông góc với OB

=> OA, OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (P;PA) .

Bài 5.23 trang 103 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho SA, SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.

a)Chứng minh rằng chu vi tam giác SEF bằng SA + SB

b)Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng SE = SF.

Bài giải chi tiết:

a)

a)-Ta có chu vi SEF =SE+SF+EF

-Mà SE+SF=SA+SB-AE-BF

=>SE+SF=SA+SB-EM-MF

=> SE+SF=SA+SB-EF

=>Vậy chu vi tam giác SEF bằng SA + SB

b)

-Ta có SO giao EF tại M

Mà SA=SB

=>SE=SF