Tải giáo án điện tử dạy thêm Toán 11 cánh diều Chương 7 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

•       Đạo hàm là gì?

•       Lấy ví dụ về đạo hàm?

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Đạo hàm tại một điểm

a) Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

* Bài toán vận tốc tức thời:

Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là     vị trí ban đầu của viên bi, tức là tại thời điểm 0 giây và bỏ qua sức cản không khí, ta nhận được phương trình chuyển động của viên bi là

Giả sử tại thời điểm , viên bi ở vị trí  có ; tại thời điểm ,   viên bi ở vị trí  có . Khi đó, trong khoảng thời gian từ  đến , quãng đường viên bi đi được là . Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là .

Nếu  càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số  khi  dần đến  là vận tốc tức thời tại thời điểm  của viên bi, kí hiệu là . Nói cách khác,

Giá trị  gọi là đạo hàm của hàm số  tại điểm .

* Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng  truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian ,   . Cường độ trung bình trong khoảng thời gian  được

Nếu  càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm  Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:

 thời của dòng điện tại thời điểm

b) Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số  xác định trên khoảng và điểm .

c) Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

- Bước 1: Xét  là số gia của biến số tại điểm . Tính

Nhận xét:

Hàm số  có đạo hàm tại mọi điểm  trên khoảng . Ta nói hàm số đó có đạo hàm trên khoảng . Một cách tổng quát: Hàm số  được gọi là có đạo hàm trên khoảng  nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm  trên khoảng đó.

d) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình , với  là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm  là     đạo hàm của hàm số tại : .

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

•      Đạo hàm của hàm số  tại điểm  là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm .

•      Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại điểm  là .