Giải Toán 9 sách VNEN bài 10: Luyện tập

C. Hoạt động luyện tập

Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để giải bài toán sau

Bài toán: Hai người cùng làm chung một công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc sớm hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?

Giải:

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), điều kiện: $x > \frac{12}{5}$

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là: $...........................$

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc);

Mỗi giờ người thứ hai làm được: $..............................$

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ nên mỗi giờ cả hai làm được $.......................$ (công việc).

Do đó ta có phương trình: $.....................$

Giải phương trình ta được: $...................$

Kiểm tra điều kiện ta có: $...................$

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong $..............$ giờ.

Người thứ hai làm xong công việc trong $.................$ giờ.

Trả lời:

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), điều kiện: $x > \frac{12}{5}$

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là: $x+2$ (giờ)

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc);

Mỗi giờ người thứ hai làm được: $\frac{1}{x + 2}$ (công việc)

Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong $\frac{12}{5}$ giờ nên mỗi giờ cả hai làm được $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$ (công việc).

Do đó ta có phương trình: $\frac{2x+2}{x(x+2)}\times \frac{12}{5} = 1 \Leftrightarrow  5x^2-14x-24=0$

Giải phương trình ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 4\\ x = -\frac{6}{5}\end{matrix}\right.$

Kiểm tra điều kiện ta có: $x = 4$

Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong $4$ giờ.

Người thứ hai làm xong công việc trong $6$ giờ.

Câu 1: Trang 62 toán VNEN 9 tập 2

Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền là 13m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác đó.

Trả lời:

Gọi một cạnh góc vuông là $x$ (m), (17 > x > 0).

Tổng hai cạnh góc vuông là: $30-13 = 17$

Cạnh góc vuông kia là: $17-x$ (m).

Theo định lý Py-ta-go, ta có: $13^2 = x^2 + (17-x)^2 \Leftrightarrow 2x^2-34x+120=0$

Giải phương trình trên, ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 12\\ x = 5\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện bài toán, hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là: 12m và 5m

Câu 2: Trang 63 toán VNEN 9 tập 2

Nếu mở hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể?

Trả lời:

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng thì đầy bể là x (giờ), điều kiện: $x > 2h55' =  \frac{35}{12}$

Thời gian vòi thứ hai chảy riêng thì đầy bể là: $x+2$ (giờ)

Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể);

Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được: $\frac{1}{x + 2}$ (bể)

Vì cả hai vòi cùng chảy đầy bể trong $\frac{35}{12}$ giờ nên mỗi giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$ (bể).

Do đó ta có phương trình: $\frac{2x+2}{x(x+2)}\times \frac{35}{12} = 1 \Leftrightarrow  6x^2-23x-35=0$

Giải phương trình ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 5\\ x = -\frac{7}{6}\end{matrix}\right.$

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể.

Vòi thứ hai chảy một mình trong 7 giờ thì đầy bể.

Câu 3: Trang 63 toán VNEN 9 tập 2

Chị Oanh đi xe khách từ Hà Nội vào Đà Nẵng thăm người nhà. Khi quay về Hà Nội, chị đã đi bằng tàu hỏa với vận tốc trung bình chậm hơn vận tốc của xe khách là 6km/h. Chị tính thấy thời gian khi đi vào Đà Nẵng nhanh hơn lúc quay về Hà Nội là 1,5 giờ. Hỏi vận tốc trung bình của tàu hỏa là bao nhiêu, biết quãng đường Hà Nội - Đà Nẵng dài 700 km?

Trả lời:

Gọi vận tốc trung bình của tàu hỏa là $x$ (km/h) (x > 0).

Vận tốc trung bình của xe khách là: $x + 6$ (km/h)

Thời gian đi là: $\frac{700}{x+6}$ (h)

Thời gian về là: $\frac{700}{x}$ (h)

Theo bài ra, thời gian đi vào Đà Nẵng nhanh hơn thời gian về Hà Nội là 1,5 giờ = $\frac{3}{2}$ giờ, do đó, ta có phương trình:

$\frac{700}{x}-\frac{700}{x+6} = 1,5 = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x^2 +6x -2800 = 0$

Giải phương trình trên, ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 50\\ x = -56\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, vậy, vận tốc trung bình của tàu hỏa là 50 km/h

Câu 4: Trang 63 toán VNEN 9 tập 2

Một phân xưởng sản xuất thảm theo kế hoạch phải dệt 3000 tấm thảm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng kế hoạch đề ra. Những ngày còn lại, họ vượt mức mỗi ngày 10 tấm thảm nên đã hoàn thành trước kế hoạch 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu tấm thảm?

Trả lời:

Gọi số tấm thảm trong một ngày mà phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là $x$ (tấm thảm) ($x > 0;\; x \in N$)

Số ngày phải hoàn thành 3000 tấm thảm theo định mức là: $\frac{3000}{x}$ (ngày)

Trong 8 ngày đầu, số tấm thảm mà phân xưởng dệt được là: $8x$ (tấm thảm)

Số tấm thảm mà phân xưởng phải dệt trong những ngày còn lại là: $3000 - 8x$

Những ngày còn lại, trong một ngày số tấm thảm thực tế phân xưởng dệt được à: $x + 10$ (tấm thảm).

Sau 8 ngày đầu, thời gian để phân xưởng dệt nốt $3000 - 8x$ tấm thảm là:

$(3000 - 8x) : (x + 10) = \frac{3000 - 8x}{x+10}$

Thời gian thực tế để phân xưởng đó dệt được 3000 tấm thảm là:

$8 + \frac{3000 - 8x}{x+10} = \frac{3080}{x+10}$

Theo bài ra, thời gian thực tế được rút ngắn 2 ngày so với dự định, nên ta có phương trình sau:

$\frac{3000}{x} - \frac{3080}{x+10} = 2 \Leftrightarrow x^2 + 50x -15000 = 0$

Giải phương trình trên ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 100\\ x = -150\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, số tấm thảm mà xưởng đó phải dệt trong một ngày theo định mức là: $100$ (tấm).

Câu 5: Trang 63 toán VNEN 9 tập 2

Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích $1m^3$ (hình 15). Hãy xác định kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài.

Trả lời:

Gọi chiều dài ban đầu của miếng tôn là x (m) (x > 0)

Chiều rộng bằng $\frac{2}{3}$ chiều dài nên chiều rộng của miếng tôn là: $\frac{2}{3}x$ (m)

Đổi: 5dm = 0,5m

Thể tích hình hộp chữ nhật tạo thành là: $x\times \frac{2}{3}x\times 0,5 = \frac{1}{3}x^2$. ($m^3$)

Theo bài ra, thể tích của hình hộp chữ nhật là: $1m^3$, nên ta có phương trình:

$\frac{1}{3}x^2 = 1$

$ \Leftrightarrow x^2 = 3$

$ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Kết hợp với điều kiện của x:

Chiều dài ban đầu của miếng tôn là: $\sqrt{3}$ (m)

Chiều rộng ban đầu của miếng tôn là: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ (m)

Câu 6: Trang 63 toán VNEN 9 tập 2:

Người ta đổ thêm 300g nước vào một dung dịch chứa 60g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 35%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu gam nước?

Trả lời:

Gọi số gam nước của dung dịch trước khi đổ thêm là $x$ (g) (35 < x < 100).

Khối lượng dung dịch trước khi đổ thêm nước là: $m_{dd} = m_{muối} + m_{nước} = 60 + x$ (g)

Nồng độ phần trăm của dung dịch ban đầu là:

$C = \frac{m_{muối}}{m_{dd}}\times 100\;(\%) = \frac{60\times 100}{60 + x} \;(\%)= \frac{6000}{60+x}\;(\%)$

Khối lượng dung dịch sau khi đổ thêm 300g nước là: $m'_{dd} = 60 + x + 300 = 360 + x$ (g)

Nồng độ phần trăm của dung dịch sau đó là:

$C' = \frac{m_{muối}}{m'_{dd}}\times 100\;(\%) = \frac{60\times 100}{360 + x} \;(\%)= \frac{6000}{360+x}\;(\%)$

Theo bài ra, nồng độ dung dịch sau đó giảm 35% nên ta có phương trình:

$\frac{6000}{60+x} - \frac{6000}{360+x} = 35$

$\Leftrightarrow \frac{1200}{60+x} - \frac{1200}{360+x} = 7$

$\Leftrightarrow 1200(360 + x) - 1200(60 + x) = 7(x+60)(x+360)$

$\Leftrightarrow 360000 = 7x^2 + 2940x + 151200$

$\Leftrightarrow 7x^2 + 2940x - 208800 = 0$

$\Delta' = 1470^2 - 7\times (-208800) = 3622500$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = \frac{-1470+\sqrt{3622500}}{7} \approx 61,9 \%\\ x_2 = \frac{-1470-\sqrt{3622500}}{7}\approx -481,9 \%\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện bài toán, nồng độ phần trăm ban đầu của dung dịch là: 61,9%

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 63 toán VNEN 9 tập 2

Người ta trộn 4kg chất lỏng loại I với 3kg chất lỏng loại II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700$kg/m^3$. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200$kg/m^3$. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Trả lời:

Gọi khối lượng riêng của chất lỏng loại I là $x$ $kg/m^3$ (x > 200)

$\Rightarrow $ Khối lượng riêng của chất lỏng loại II là: $x - 200$

Thể tích của 4kg chất lỏng loại I là: $V_1 = \frac{4}{x}\;m^3$

Thể tích của 3kg chất lỏng loại II là: $V_2 = \frac{3}{x-200}\;m^3$

Thể tích của 4kg chất lỏng loại I và 3kg chất lỏng loại II là:

$V = V_1 + V_2 = \frac{4}{x}+\frac{3}{x-200} = \frac{7x-800}{x(x-200)}$

Khối lượng riêng của hỗn hợp thu được là:

$D = \frac{m}{V} = \frac{4+3}{\frac{7x-800}{x(x-200)}} = \frac{7x^2-1400x}{7x-800}$

Theo bài ra, khối lượng riêng của hỗn hợp thu được là 700$kg/m^3$ nên ta có phương trình:

$\frac{7x^2-1400x}{7x-800} = 700$

$\Leftrightarrow \frac{x^2-200x}{7x-800} = 100$

$\Leftrightarrow x^2-900x+80000 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = 800\\ x_2 = 100\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện bài toán, khối lượng riêng của chất lỏng loại I là $800kg/m^3$, khối lượng riêng của chất lỏng loại II là $600kg/m^3$