Giải Toán 9 sách VNEN bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

A. B Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để thực hiện các biến đổi sau

Cho phương trình: $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$. (1)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: $ax^2 + bx = .......$

Chia hai vế của hệ cho hệ số a ($a \neq 0$): $x^ 2 + \frac{b}{a} x = ..........$

Tách hạng tử $\frac{b}{a}x$ thành $2\times x\times \frac{b}{2a}$

Thêm vào hai vế $(\frac{b}{2a})^2$ để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$x^2 + 2\times x\times \frac{b}{2a} + ......... = -\frac{c}{a} + .........$

Ta được: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ (2)

Kí hiệu: $\Delta = b^2 - 4ac$ và gọi nó là biệt thức của phương trình (1).

b) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để xét các trường hợp của biệt thức $\Delta $

• Nếu  $\Delta $ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $x + \frac{b}{2a} = \pm .......$

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm $x_1 = ......;\; x_2 = .........$

• Nếu $\Delta $  = 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $(x + \frac{b}{2a})^2 = ....$

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: $x = ...........$

• Nếu $\Delta $ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì $...................$

c) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 41)

d) Giải các phương trình sau

i) $6x^2 + x - 5 = 0$

ii) $x^2 - 6x + 9 = 0$

iii) $6x^2 - x + 5 = 0$

Hãy nhận xét về dấu của hai hệ số a và c trong phương trình $6x^2 + x - 5 = 0$. Dấu của hai hệ số đó liên quan gì đến dấu của biệt thức?

Em hãy rút ra nhận xét về số nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp như vậy.

e) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 42)

Trả lời:

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải: $ax^2 + bx = -c$

Chia hai vế của hệ cho hệ số a ($a \neq 0$): $x^ 2 + \frac{b}{a} x = \frac{-c}{a}$

Tách hạng tử $\frac{b}{a}x$ thành $2\times x\times \frac{b}{2a}$

Thêm vào hai vế $(\frac{b}{2a})^2$ để vế trái thành bình phương của một biểu thức:

$x^2 + 2\times x\times \frac{b}{2a} + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2$

Ta được: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ (2)

b)

• Nếu  $\Delta $ > 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a};\; x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

• Nếu $\Delta $  = 0 thì từ phương trình (2) suy ra: $(x + \frac{b}{2a})^2 = 0$

Do đó, phương trình (1) có nghiệm kép: $x = -\frac{b}{2a}$

• Nếu $\Delta $ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm vì $(x + \frac{b}{2a})^2 < 0$ (vô lý)

c) 

i) $6x^2 + x - 5 = 0$

$\Delta = 1^2 - 4\times 6 \times (-5) = 121 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2\times 6} = \frac{5}{6};\;x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2\times 6} = -1$

ii) $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4\times 1 \times 9 = 0$

Vậy phương trình có nghiệm kép: $x = \frac{6}{2} = 3$

iii) $6x^2 - x + 5 = 0$

$\Delta = (-1)^2 - 4\times 6 \times 5 = -119 < 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: Dấu của hệ số a và c trong phương trình $6x^2 + x - 5 = 0$ là trái dấu.

Khi a và c trái dấu thì biệt thức $\Delta > 0$, và phương trình có hai nghiệm phân biệt.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 42 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức $\Delta $và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $x^2 - 10x + 27 = 0$

b) $-0,5x^2 - 3,5 x + 2,5 = 0$

c) $\frac{1}{2}x^2 + 7x + \frac{2}{3} = 0$

d) $5x^2 + \sqrt{7}x - 1 = 0$

Trả lời:

a) $x^2 - 10x + 27 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4\times 1\times 27 = -8 < 0$

Vậy, phương trình có 0 nghiệm.

b) $-0,5x^2 - 3,5 x + 2,5 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-3,5)^2 - 4\times (-0,5)\times 2,5 = 17,25 > 0$

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

c) $\frac{1}{2}x^2 + 7x + \frac{2}{3} = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = 7^2 - 4\times \frac{1}{2}\times \frac{2}{3} = \frac{143}{3} > 0$

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

d) $5x^2 + \sqrt{7}x - 1 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (\sqrt{7})^2 - 4\times 5\times (-1) = 27 > 0$

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Trang 43 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 để giải các phương trình sau:

a) $2x^2 - 7x + 6 = 0$

b) $3x^2 - 5x + 7 = 0$

c) $0,2x^2 + 0,4x - 7 = 0$

d) $-3x^2 + 5x - 2 = 0$

e) $y^2 - 14y + 49 = 0$

g) $t^2 - 5t + 3 = 0$

Trả lời:

a) $2x^2 - 7x + 6 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 -4\times 2\times 6 = 1 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2\times 2} = 2;\; x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2\times 2} = \frac{3}{2}$

b) $3x^2 - 5x + 7 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\times 3 \times 7 = -59 < 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $0,2x^2 + 0,4x - 7 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (0,4)^2 - 4\times 0,2\times (-7) = 5,76 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 2,4$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-0,4 + 2,4}{2\times 0,2} = 5;\; x_2 = \frac{-0,4 - 2,4}{2\times 0,2} = -7$

d) $-3x^2 + 5x - 2 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\times (-3)\times (-2) = 1 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2\times (-3)} = \frac{2}{3};\; x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2\times (-3)} = 1$

e) $y^2 - 14y + 49 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4\times 1\times 49 = 0$

Vậy phương trình có nghiệm kép: $y = \frac{-(-14)}{2} = 7$ 

g) $t^2 - 5t + 3 = 0$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\times 1\times 3 = 13 > 0$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: $t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{13}}{2\times 1} = \frac{5 + \sqrt{13}}{2};\; t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{13}}{2\times 1} = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$

E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 44 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

a) $x^2 - mx + 1 = 0$

b) $3x^2 + mx + 12 = 0$

Trả lời:

a) $x^2 - mx + 1 = 0$

$\Delta = (-m)^2 - 4\times 1 \times 1 = m^2 - 4$

Để phương trình có nghiệm kép thì: $\Delta = m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2$

Nghiệm kép đó là: $x = \frac{-(\pm 2)}{2\times 1} = \mp 1$

b) $3x^2 + mx + 12 = 0$

$\Delta = m^2 - 4\times 3 \times 12 = m^2 - 144$

Để phương trình có nghiệm kép thì: $\Delta = m^2 - 144 = 0 \Rightarrow m = \pm 12$

Nghiệm kép đó là: $x = \frac{-(\pm 12)}{2\times 3} = \mp 2$

Câu 2: Trang 44 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Với giá trị nào của K thì mỗi phương trình sau vô nghiệm?

a) $2x^2 + kx + 1 = 0$

b) $5x^2 + 10x + k = 0$

Trả lời:

a) $2x^2 + kx + 1 = 0$

$\Delta = k^2 - 4\times 2 \times 1 = k^2 - 8$

Để phương trình vô nghiệm thì: $\Delta = k^2 - 8 < 0 \Rightarrow -\sqrt{8} < k < \sqrt{8}$ hay $-2\sqrt{2} < k < 2\sqrt{2}$

b) $5x^2 + 10x + k = 0$

$\Delta = 10^2 - 4\times 5 \times k = 100 - 20k$

Để phương trình vô nghiệm thì: $\Delta = 100 - 20k < 0 \Rightarrow k > 5$

Câu 3: Trang 44 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Khi đó hãy tính nghiệm của phương trình theo m.

a) $4x^2 + mx - 7 = 0$

b) $2x^2 + 3x + m - 1 = 0$

Trả lời:

a) $4x^2 + mx - 7 = 0$

$\Delta = m^2 - 4\times 4 \times (-7) = m^2 + 112$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: $\Delta = m^2 + 112 > 0$ (đúng với mọi giá trị của m)

Hai nghiệm đó là: $x = \frac{-(m) \pm \sqrt{m^2 + 112}}{2\times 4} =  \frac{-(m) \pm \sqrt{m^2 + 112}}{8}$

b) $2x^2 + 3x + m - 1 = 0$

$\Delta = 3^2 - 4\times 2 \times (m - 1) = 1 - m$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: $\Delta = 1 - m > 0 \Rightarrow m < 1$

Hai nghiệm đó là: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{1- m}}{2\times 2} =  \frac{-3 \pm \sqrt{1- m}}{4}$