Giải Toán 9 sách VNEN bài 9: Luyện tập về cung chứa góc và tứ giác nội tiếp đường tròn

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 112 toán VNEN 9 tập 2

Thực hiện các hoạt động sau để ôn lại kiến thức, kĩ năng đã học

a) Một bạn hỏi, một bạn trả lời, sau đó đổi vai cho nhau

(1) Thế nào là cung chứa góc $\alpha $ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)

(2) Thế nào là tứ giác nội tiếp?

b) Đố bạn phát biểu chính xác các tính chất sau

(1) Tập hợp điểm luôn nhìn một đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc $\alpha $ không đổi ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) là $......$ dựng trên đoạn thẳng đó.

(2) Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ (hay 2v) thì $...$ và ngược lại.

(3) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $....$

Tứ giác có bốn đỉnh $....$ một điểm xác định

(4) Hình thang nội tiếp đường tròn là $....$ và ngược lại.

Trả lời:

a)

(1) Cung chứa góc $\alpha $ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) là tập hợp các điểm M thỏa mãn $\widehat{AMB} = \alpha $ (với AB là đoạn thẳng cho trước).

(2) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn.

b)

(1) Tập hợp điểm luôn nhìn một đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc $\alpha $ không đổi ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) là hai cung chứa góc $\alpha $ dựng trên đoạn thẳng đó.

(2) Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ (hay 2v) thì tứ giác nội tiếp và ngược lại.

(3) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ (hay 2v).

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm xác định

(4) Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân và ngược lại.

Câu 3: Trang 114 toán VNEN 9 tập 2

Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C di động trên cung AB. Lấy AC làm cạnh, vẽ tam giác đều ACD sao cho D và B là hai điểm khác phía so với đường thẳng AC. Gọi E là giao điểm của CD với cung AB. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng: Khi điểm C di động trên cung AB thì điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AE.

Hướng dẫn: Xem hình 101

Theo giả thiết ta có $\widehat{ACD} = 60^\circ$ nên $\widehat{ACE} = 120^\circ$ mà ACEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{ABE} = 60^\circ$.

Do A, B cố định, $\widehat{ABE} = 60^\circ$ (không đổi) nên điểm E cố định.

Theo giả thiết ACD là tam giác đều và M là trung điểm của đoạn DC nên $\widehat{AMC} = 90^\circ$, hay $\widehat{90^\circ}$.

Như vậy, do điểm M di động nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AE $...........$

Trả lời:

Theo giả thiết ta có $\widehat{ACD} = 60^\circ$ nên $\widehat{ACE} = 120^\circ$ mà ACEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{ABE} = 60^\circ$.

Do A, B cố định, $\widehat{ABE} = 60^\circ$ (không đổi) nên điểm E cố định.

Theo giả thiết ACD là tam giác đều và M là trung điểm của đoạn DC nên $\widehat{AMC} = 90^\circ$, hay $\widehat{90^\circ}$.

Như vậy, do điểm M di động nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AE một góc $90^\circ$ không đổi nên M thuộc nửa đường tròn đường kính AE khi C di động.

Câu 4: Trang 114 toán VNEN 9 tập 2

Chứng minh rằng: Trong một tứ giác nội tiếp, góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó. Ngược lại, tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn: Xem hình 102

Nếu HIJK là tứ giác nội tiếp thì $\widehat{IHK} + \widehat{IJK} = 180^\circ$.

Mặt khác, $\widehat{IJK}$ và $\widehat{KJx}$ là hai góc kề bù, nên $\widehat{IJK} + \widehat{KJx} = 180^\circ$. Từ đó suy ra $....$

Ngược lại, nếu $\widehat{IHK} = \widehat{KJx}$ thì $\widehat{IHK} + \widehat{IJK} = \widehat{IJK} + \widehat{KJx} = 180^\circ$

Từ đó suy ra HIJK $.........$

Trả lời:

Nếu HIJK là tứ giác nội tiếp thì $\widehat{IHK} + \widehat{IJK} = 180^\circ$.

Mặt khác, $\widehat{IJK}$ và $\widehat{KJx}$ là hai góc kề bù, nên $\widehat{IJK} + \widehat{KJx} = 180^\circ$. Từ đó suy ra $....$

Ngược lại, nếu $\widehat{IHK} = \widehat{KJx}$ thì $\widehat{IHK} + \widehat{IJK} = \widehat{IJK} + \widehat{KJx} = 180^\circ$

Từ đó suy ra HIJK là tứ giác nội tiếp.

Câu 5: Trang 114 toán VNEN 9 tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại điểm D (khác B). Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). BE cắt cạnh AC tại điểm F. Chứng minh rằng CDEF là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn: Xem hình 103

Theo giả thiết $\widehat{DEB} = \widehat{DAB}$, vì $....$

Do tam giác CAD vuông tại A và AD $\perp $ BC nên $\widehat{DAB} = \widehat{ACB}$.

Theo kết quả bài 4 ở trên thì CDEF $.......$

Trả lời:

Theo giả thiết $\widehat{DEB} = \widehat{DAB}$, vì góc nội tiếp chắn cung nhỏ DB.

Do tam giác CAD vuông tại A và AD $\perp $ BC nên $\widehat{DAB} = \widehat{ACB}$.

Theo kết quả bài 4 ở trên thì CDEF tứ giác nội tiếp

Câu 6: Trang 115 toán VNEN 9 tập 2

Chứng minh rằng: Nếu tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha \;(0 < \alpha < 180^\circ)$ thì đó là tứ giác nội tiếp. Ngược lại, trong một tứ giác nội tiếp, hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc.

Hướng dẫn: Xem hình 104

Giả sử tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C cùng nhìn cạnh AD dưới cùng một góc $\alpha \;(0 < \alpha < 180^\circ)$.

Khi đó, B và C cùng thuộc cung chứa góc $\alpha $ (tâm O) dựng trên cạnh AD.

Tức là bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O), suy ra $.....$

Ngược lại, nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ vì $.............$

Trả lời:

Giả sử tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C cùng nhìn cạnh AD dưới cùng một góc $\alpha \;(0 < \alpha < 180^\circ)$.

Khi đó, B và C cùng thuộc cung chứa góc $\alpha $ (tâm O) dựng trên cạnh AD.

Tức là bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O), suy ra ABCD là tứ giác nội tiếp.

Ngược lại, nếu ABCD là tứ giác nội tiếp thì $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ vì góc nội tiếp cùng chắn một cung AD.

Câu 7: Trang 115 toán VNEN 9 tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB. Đường tròn (O) đường kính DB cắt CD tại điểm E và cắt AE tại điểm G. Chứng minh rằng AB là tia phân giác của $\widehat{CBG}$.

Hướng dẫn: Xem hình 105

Theo giả thiết có $\widehat{DEB} = 90^\circ$ vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Suy ra CAEB là tứ giác nội tiếp, vì hai đỉnh A và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông.

Khi đó, $\widehat{ABC} = \widehat{AEC}$, vì $...$

Do DEGB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DEA} = \widehat{DBG}$

Từ đó suy ra $\widehat{DBG} = \widehat{DBC}$, hay $.......$

Trả lời:

Theo giả thiết có $\widehat{DEB} = 90^\circ$ vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Suy ra CAEB là tứ giác nội tiếp đường tròn I (I là trung điểm của BC), vì hai đỉnh A và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông.

Khi đó, $\widehat{ABC} = \widehat{AEC}$, vì góc nội tiếp đường tròn (I) chắn cung AC

Do DEGB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DEA} = \widehat{DBG}$

Từ đó suy ra $\widehat{DBG} = \widehat{DBC}$, hay BA là tia phân giác $\widehat{CBG}$.