Giải Toán 9 sách VNEN bài 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Hoạt động khởi động

Đọc và tìm hiểu về hệ phương trình (sgk trang 7)

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 7)

b) Ví dụ (sgk trang 8)

c) Trả lời câu hỏi

Trong các hệ phương trình sau đây, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

(I) $\left\{\begin{matrix}x + y =1\\ -2x + y = 2\end{matrix}\right.$

(II) $\left\{\begin{matrix}0x + 2y = -2\\ x - 5y = 4\end{matrix}\right.$

(III) $\left\{\begin{matrix}2x + y = -1\\ 3x^2 + 2y = 5\end{matrix}\right.$

Trả lời:

c) Trong các hệ phương trình trên, hệ phương trình (I) và (II) là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.

2. Hệ phương trình tương đương

a) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 8)

b) Ví dụ (sgk trang 8)

3. Quy tắc thế

a) Thực hiện theo hướng dẫn sau (sgk trang 8)

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 9)

c) Ví dụ (sgk trang 9)

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

a) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 9)

b) Ví dụ (sgk trang 9)

c) Giải các hệ phương trình sau:

(I) $\left\{\begin{matrix}x + 2y =0\\ 3x - 2y = 5\end{matrix}\right.$ 

(II) $\left\{\begin{matrix}3x - 4y = 1\\ 6x - 8y = 3\end{matrix}\right.$

(III) $\left\{\begin{matrix}3x + y = 4\\ 9x + 3y = 12\end{matrix}\right.$

Trả lời:

c)

(I) $\left\{\begin{matrix}x + 2y =0\\ 3x - 2y = 5\end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ 3\times (-2y) - 2y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ -6y - 2y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ -8y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow  \left\{\begin{matrix}x = -2y \\ y = \frac{-5}{8}\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x = \frac{5}{4}\\ y = \frac{-5}{8}\end{matrix}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = ($\frac{5}{4};\;\frac{-5}{8}$).

(II) $\left\{\begin{matrix}3x - 4y = 1\\ 6x - 8y = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{4y}{3} + \frac{1}{3}\\ 0y + 2 = 3\end{matrix}\right.$ (sai)

Vậy hệ phương trình không có nghiệm.

(III) $\left\{\begin{matrix}3x + y = 4\\ 9x + 3y = 12\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 4 - 3x\\ 9x + 3(4 - 3x) = 12 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 4 - 3x\\ 12 = 12 \end{matrix}\right.$ (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (x; y) = ($x \in R;\;y = 4 - 3x$).

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{matrix}3x - 2 y = 5\\ 5x + y = 4\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}2x - y = 8\\ x + 3y = 10\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}4x - 3y = 2\\ 3x - 4y = -2\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}2x + 5y = 13\\ 5x - 3y = -14\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}3x - 2 y = 5\\ 5x + y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x - 2 (4 - 5x) = 5\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}13x - 8 = 5\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}13x = 13\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = 4 - 5x\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1\\ y = -1\end{matrix}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x; y) = (1; -1)$.

b) $\left\{\begin{matrix}2x - y = 8\\ x + 3y = 10\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2(10 - 3y) - y = 8\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}20 - 7y = 8\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}7y = 12\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \frac{12}{7}\\ x = 10 - 3y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = \frac{12}{7}\\ x = \frac{34}{7}\end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (\frac{34}{7}; \frac{12}{7})$

c) $\left\{\begin{matrix}4x - 3y = 2\\ 3x - 4y = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ 3(\frac{1}{2} + \frac{3y}{4}) - 4y = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ \frac{3}{2} - \frac{7y}{4}) = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ \frac{7y}{4}) = \frac{7}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2} + \frac{3y}{4}\\ y = 2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\\ y = 2\end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (2; 2)$

d) $\left\{\begin{matrix}2x + 5y = 13\\ 5x - 3y = -14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ 5(\frac{13}{2} - \frac{5y}{2}) - 3y = -14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ \frac{65}{2} - \frac{31y}{2} = -14\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ \frac{31y}{2} = \frac{93}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{2} - \frac{5y}{2}\\ y = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -1\\ y = 3\end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (-1; 3)$

Câu 2: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{\begin{matrix}x + 3y = 4\\ 4x - 5y = 18\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}5x - 3y = 5\\ 2x + 5y = 33\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0\\ 5x + y = 13\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}x + 2y = \frac{7}{6}\\ 4x + 6y = 4\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}x + 3y = 4\\ 4x - 5y = 18\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4 - 3y \\ 4(3 - 3y) - 5y = 18\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4 - 3y \\ 17y = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4 - 3y \\ y = \frac{-2}{17}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =  \frac{74}{17}\\ y = \frac{-2}{17}\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}5x - 3y = 5\\ 2x + 5y = 33\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3y}{5} + 1\\ 2(\frac{3y}{5} + 1) + 5y = 33\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3y}{5} + 1\\ \frac{31y}{5} = 31\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3y}{5} + 1\\ y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4\\ y = 5\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 0\\ 5x + y = 13\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{2y}{3}\\ 5\times \frac{2y}{3} + y = 13\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{2y}{3}\\ \frac{13y}{3} = 13\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\\ y = 3\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}x + 2y = \frac{7}{6}\\ 4x + 6y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{7}{6} - 2y\\ 4(\frac{7}{6} - 2y) + 6y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{7}{6} - 2y\\ 2y = \frac{2}{3}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Câu 3: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Xác định các hệ số m, n, biết hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}mx + 2ny = 5\\ (m+1)x + (n + 5)y = 2\end{matrix}\right.$ có nghiệm x = 3; y = -1.

Trả lời:

Vì x = 3; y = -1 là nghiệm của hệ phương trình nên thay vào hệ phương trình ta được một hệ phương trình mới với hai ẩn là m, n như sau:

$\left\{\begin{matrix}3m - 2n = 5\\ 3m - n = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m - 2(3m - 4) = 5\\ n = 3m - 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3m = 3\\ n = 3m - 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m = 1\\ n = -1\end{matrix}\right.$.

Vậy (m, n) = (1; -1)

Câu 4: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng vô nhiệm hoặc cùng vô số nghiệm thì có tương đương với nhau không?

Trả lời:

Hệ hai phương trình bậc nhất vô nghiệm thì tương đương nhau vì cùng có tập nghiệm là tập rỗng.

Hệ hai phương trình bậc nhất có vô số nghiệm thì ta có thể biểu diễn nghiệm này theo nghiệm kia nên tập nghiệm của chúng chưa chắc đã giống nhau. Do đó, chúng không tương đương với nhau.

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Một hình chữ nhật có chu vi là 30 m. Nếu tăng cheiefu dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì được một hình vuông. Tính độ dài mỗi cnhj ban đầu.

Trả lời:

Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là x và y (m).

Ban đầu, chu vi của hình chữ nhật là 30 (m) nên ta có phương trình: $2(x + y) = 30 \Leftrightarrow x + y = 15$ (1).

Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng thì ta được hình vuông nên: $x + 2 = y + 3 \Leftrightarrow x - y = 1$ (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x + y = 15\\ x - y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(y + 1) + y = 15\\ x = y + 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y = 14\\ x = y + 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = 7\\ x = 8\end{matrix}\right.$

Vậy, ban đầu hình chữ nhật có chiều dài là 8m, chiều rộng là 7m.

Câu 2: Trang 10 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Biết rằng một đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x - a$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho $x - 1$ và $x - 2$:

$P(x) = mx^3 - (m + 1)x^2 + nx + 2n + 4$

Trả lời:

Để $P(x)$ chia hết cho $x - 1$ thì $P(1) = 0$:

$\Rightarrow P(1) = m\times 1^3 - (m + 1)\times 1^2 + n\times 1 + 2n + 4 = 0 \Leftrightarrow  3n + 3 = 0 \Leftrightarrow  n = -1$.

Để $P(x)$ chia hết cho $x - 2$ thì $P(2) = 0$:

$\Rightarrow P(2) = m\times 2^3 - (m + 1)\times 2^2 + n\times 2 + 2n + 4 = 0 \Leftrightarrow  4m - 4n = 0 \Leftrightarrow  m - n = 0$.

Để $P(x)$ đồng thời chia hết cho $x - 1$ và $x - 2$ thì $\left\{\begin{matrix}n = -1\\ m - n = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n = -1\\ m = n = -1\end{matrix}\right.$