Giải Toán 9 sách VNEN bài 6: Ôn tập chương III

C. Hoạt động luyện tập

I. Em trả lời các câu hỏi sau để hệ thống kiến thức cơ bản

Câu 1: Trang 20 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Nêu dạng quát của một phương trình bậc nhất 2 ẩn. Cho ví dụ?

Trả lời:

Dạng tổng quát của phương trình bậc nhất 2 ẩn: $ax + by = c$.

Ví dụ: 3x -y =5; 2x + 7y =0; 0x - 3y = 9

Câu 2: Trang 20 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Thế nào là nghiệm của một phương trình bậc nhất hai ẩn? Cho ví dụ?

Trả lời:

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp số $(x_0; y_0)$ sao cho vế trái của phương trình bằng vế phải của nó.

Ví dụ: (2; 1) là một nghiệm của phương trình: 2x + y = 5

Câu 3: Trang 20 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình $ax + by = c$ là gì?

Trả lời:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình Oxy là đường thẳng $ax + by = c$.

Câu 4: Trang 20 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Nêu dạng tổng quát của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cho ví dụ

Trả lời:

Dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là: $\left\{\begin{matrix}ax + by = c\\ a'x + b'y = c'\end{matrix}\right.$

Ví dụ: $\left\{\begin{matrix}5x + y = 2\\ x - 3y = 9\end{matrix}\right.$

Câu 5: Sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Trình bày cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

Trả lời:

• Phương pháp thế: 

Bước 1: Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

• Phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) để các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng (trừ) vế với vế của hai phương trình để tạo được hệ phương trình trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình 1 ẩn).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Câu 6: Trang 20 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Trả lời:

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là:

Bước 1: Lập phương trình:

• Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo hai ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không và kết luận.

II. Bài tập trắc nghiệm khách quan

Khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng trong các câu sau

Câu 1: Trang 20 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Phương trình nào sau đây không phải là phương trình bậc nhất 2 ẩn

A. $2x + 3y = -1$

B. $0x + 5y = 2$

C. $-3x + 0y = 0$

D. $2x + \sqrt{y} = 5$

Trả lời:

Đáp án: D

Câu 2: Trang 21 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

$\left\{\begin{matrix}x \in R\\ y = -\frac{1}{2}x + 1\end{matrix}\right.$ là nghiệm của phương trình:

A. $2x + y = 1$

B. $x + 2y = -21$

C. $x + 2y = 2$

D. $2x + y = 2$

Trả lời:

Đáp án: C

Câu 3: Trang 21 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}2x + 3y = -8\\ 3x - 2y = 1\end{matrix}\right.$

A. (-2; -1)

B. (-1; -2)

C. (2; -1)

D. (1; -2)

Trả lời:

$\left\{\begin{matrix}2x + 3y = -8\\ 3x - 2y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x + 6y = -16\\ 9x - 6y = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}13x = -13\\ 3x - 2y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -1\\ 3x - 2y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -1\\ y = -2\end{matrix}\right.$

Đáp án: B

Câu 4: Trang 21 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x + ay = 1\\ bx - y = -a\end{matrix}\right.$. Tìm giá trị của a, b để hệ phương trình có nghiệm là (2; 1)

A. a = 1; b = -1

B. a = -1; b = -1

C. a = 1; b = 1

D. a = -1; b = 1

Trả lời:

Để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) thì cặp giá trị này phải thỏa mãn hệ. Thay giá trị x, y vào hệ phương trình, ta được

$\left\{\begin{matrix}2 + a\times 1 = 1\\ b\times 2 - 1 = -a\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = -1\\ a + 2b = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = -1\\b = 1\end{matrix}\right.$

Đáp án: D

Câu 5: Trang 21 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x - 1 và y = -x + 2 là:

A. ($\frac{3}{2}; \;\frac{1}{2}$)

B. ($\frac{3}{2}; \;-\frac{1}{2}$)

C. ($-\frac{3}{2}; \;\frac{1}{2}$)

D. ($\frac{3}{2}; \;0$)

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm: $x - 1 = -x + 2 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

Thay x vào phương trình $y = x - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Đáp án: A

Câu 6: Trang 21 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Xác định m để hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}4x + 8y = -9\\ (m + 1)x + my = 3\end{matrix}\right.$ vô nghiệm

A. $m = \frac{-8}{3}$

B. $m \neq \frac{-8}{3}$

C. $m = -2$

D. $m \neq -2$

Trả lời:

$\left\{\begin{matrix}4x + 8y = -9\\ (m + 1)x + my = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y - \frac{9}{4}\\ (m + 1)(-2y - \frac{9}{4}) + my = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = -2y - \frac{9}{4}\\ (-m - 2)y = \frac{9m}{4} + \frac{21}{4}\end{matrix}\right.$

Để hệ vô nghiệm thì phương trình thứ 2 phải vô nghiệm hay m = -2

Đáp án: C

Câu 7: Trang 21 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Nối mỗi hệ phương trình với nghiệm của nó

Trả lời:

Các em giải các hệ phương trình trên rồi so sánh với kết quả bên dưới:

A - 3

B - 1

C - 4

D - 2

III. Bài tập tự luận

Câu 1: Trang 22 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{matrix}x - y = 4\\ 3x + 4y = 19\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x - \sqrt{3}y = \sqrt{3}\\ \sqrt{3}x + y = 7\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}x - y = 4\\ 3x + 4y = 19\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = y + 4\\ 3(y + 4) + 4y = 19\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = y + 4\\ 7y = 7\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = y + 4\\ y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 5\\ y = 1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x - \sqrt{3}y = \sqrt{3}\\ \sqrt{3}x + y = 7\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \sqrt{3}y + \sqrt{3}\\ \sqrt{3}(\sqrt{3}y + \sqrt{3}) + y = 7\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \sqrt{3}y + \sqrt{3}\\ 4y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \sqrt{3}y + \sqrt{3}\\ y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 2\sqrt{3}\\ y = 1\end{matrix}\right.$

Câu 2: Trang 22 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{\begin{matrix}2(x - y) - 3(x + y) = 5\\ 3(x - y) +5(x + y) = -2\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x - 2} + \frac{2}{y - 1} = 2\\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}x + y = 24\\ \frac{x}{9} + \frac{y}{27} = 2\frac{8}{9}\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x - 1} - 3\sqrt{y + 2} = 2\\ 2\sqrt{x - 1} + 5\sqrt{y + 2} = 15\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}2(x - y) - 3(x + y) = 5\\ 3(x - y) +5(x + y) = -2\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u = (x - y)\\ v = (x + y)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2u - 3v = 5\\ 3u +5v = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = 1\\ v = -1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2u - 3v = 5\\ 3u + 5v = -2\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = 0\\ y = -1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}\frac{2}{x - 2} + \frac{2}{y - 1} = 2\\ \frac{2}{x - 2} - \frac{3}{y - 1} = 1\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u = \frac{1}{x - 2}\\ v = \frac{1}{y - 1}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}2u + 2v = 2\\ 2u - 3y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = \frac{4}{5}\\ v = \frac{1}{4}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{13}{4}\\ y = 6\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}x + y = 24\\ \frac{x}{9} + \frac{y}{27} = 2\frac{8}{9}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + y = 24\\ 3x + y = 78\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 24 - y\\ 3(24 - y) + y = 78\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 24 - y\\ 2y = -6\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 27\\ y = -3\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}\sqrt{x - 1} - 3\sqrt{y + 2} = 2\\ 2\sqrt{x - 1} + 5\sqrt{y + 2} = 15\end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u = \sqrt{x - 1}\\ v = \sqrt{y + 2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}u - 3v = 2\\ 2u + 5v = 15\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u = 5\\ v = 1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = 26\\ y = -1\end{matrix}\right.$

Câu 3: Trang 22 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}(m + 1)x - y = 3\\ mx + y = m\end{matrix}\right.$

a) Giải hệ phương trình khi $m = \sqrt{2}$

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0

a) Thay $m=\sqrt{2}$ hệ phương trình trở thành:

$\left\{\begin{matrix}(\sqrt{2} + 1)x - y = 3 (1)\\ \sqrt{2}x + y = \sqrt{2} (2) \end{matrix}\right.$

Từ (1) và (2), suy ra: $(2\sqrt{2} + 1)x = 3+\sqrt{2}$ 

=> $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1}$

 Thay $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1}$ vào (2) => $\sqrt{2}.\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1}+y=\sqrt{2}$

=> $y=\sqrt{2}(1-\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1)=\frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+1}$

b) $\left\{\begin{matrix}(m + 1)x - y = 3(1) \\ mx + y = m (2) \end{matrix}\right.$

Từ (1); (2) suy ra : $(2m+1)x=m+3$ 

=> $x=\frac{m+3}{2m+1}$

=>$y=\frac{m^{2}-2m}{2m+1}$

Để hệ có nghiệm => $2m+1 \neq 0$ => $m \neq $\frac{-1}{2}$

Để hệ có duy nhất 1 nghiệm  thì $x=y$ với $m \neq $\frac{-1}{2}$

=> $\frac{m+3}{2m+1}=\frac{m^{2}-2m}{2m+1}$

<=> $m+3=m^{2}-2m$

<=>$ m^{2}-3m-3=0$

<=>$\left\{\begin{matrix}m =(3-√21)/2 \\ m =(3+√21)/2\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) Thay $m = \sqrt{2}$ vào hệ phương trình, ta được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}(\sqrt{2} + 1)x - y = 3\\ \sqrt{2}x + y = \sqrt{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2\sqrt{2} + 1)x = 3 + \sqrt{2} \\ \sqrt{2}x + y = \sqrt{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2} + 1} \\ \sqrt{2}x + y = \sqrt{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1 + 5\sqrt{2}}{7} \\ y = \frac{-10 + 6\sqrt{2}}{7}\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}(m + 1)x - y = 3\\ mx + y = m\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(2m + 1)x = m + 3\\ y = m - mx\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{m + 3}{2m + 1}\\ y = m - m\times \frac{m + 3}{2m + 1}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{m + 3}{2m + 1}\\ y = \frac{m^2 - 2m}{2m + 1}\end{matrix}\right.$

Để hệ có nghiệm duy nhất thì $2m + 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{-1}{2}$

Lại có:

$x + y = \frac{m + 3}{2m + 1} + \frac{m^2 - 2m}{2m + 1} = \frac{m^2 - m + 3}{2m + 1} = \frac{(m - \frac{1}{2})^2 + \frac{11}{4}}{2m + 1} > 0$ với mọi $m \neq \frac{-1}{2}$

Vậy $m \neq \frac{-1}{2}$

Câu 4: Trang 22 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Hai công nhân cùng làm việc trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ 2 đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu thì xong công việc.

Trả lời:

Trong một ngày, người thứ nhất làm một mình được x (phần công việc), người thứ 2 làm một mình được y (phần công việc) (0 < x, y < 1)

Hai công nhân cùng làm việc trong 4 ngày thì xong công việc nên: $4(x + y) = 1$

Người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ 2 đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc nên: $10x + y = 1$
Theo bài ra, ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}4(x + y) = 1\\ 10x + y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4(x + 1 - 10x) = 1\\ y = 1 - 10x\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{12}\\ y = \frac{1}{6}\end{matrix}\right.$

Vậy Người thứ nhất làm 1 mình trong $1 : \frac{1}{12} = 12$ (ngày) thì hoàn thành công việc.

Người thứ hai làm 1 mình trong $1 : \frac{1}{6} = 6$ (ngày) thì hoàn thành công việc.

Câu 5: Trang 22 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tổng chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 18. Nếu đổi số hai chữ số cho nhau thì được số mới hơn số ban đầu là 54. Tìm số ban đầu.

Trả lời:

Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b (a $\neq $ 0; a, b = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Số ban đầu là: $10a + b$.

Tổng chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai chữ số bằng 18 nên ta có phương trình sau:

$a + 2b = 18$

Đổi số hai chữ số cho nhau thì được số mới hơn số ban đầu là 54 nên ta có phương trình thứ 2:

$(10b + a) - (10a + b) = 54 \Leftrightarrow 9b - 9a = 6 \Leftrightarrow -a + b = 6$

Theo bài ra ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}a + 2b = 18\\ - a + b = 6\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a + 2b = 18\\ 3b = 24\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a + 2b = 18\\ b = 8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 2\\ b = 8\end{matrix}\right.$

Vậy số cần tìm là: 28

Câu 6: Trang 22 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 225$m^2$. Tính kích thước của mảnh đất đó

Trả lời:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là a, chiều rộng là b (m), (a, b > 0)

Chu vi hình chữ nhật là: $2(a + b) = 124 \Leftrightarrow a + b = 62$

Tăng chiều dài thêm 5m và chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 225$m^2$ nên:

$(a + 5)(b + 3) - ab = 225 \Leftrightarrow 3a + 5b = 210$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a + b = 62\\ 3a + 5b = 210\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 62 - b\\ 3(62 - b) + 5b = 210\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 50\\ b = 12\end{matrix}\right.$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 50m, chiều rộng là 12m.