Giải Toán 9 sách VNEN bài 6: Hệ thức Vi-et và ứng dụng

A. Hoạt động khởi động

Giải các phương trình sau:

i) $x^2 - 31x + 30 = 0$

ii) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

• Tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình trên
• Nhận xét về tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình với các hệ số cuae phương trình đó.

Trả lời:

i) $x^2 - 31x + 30 = 0$

$\Delta = (-31)^2 - 4\times 1\times 30 = 841 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 29$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-31) + 29}{2} = 30;\; x_2 = \frac{-(-31) - 29}{2} = 1$

$\Rightarrow x_1 + x_2 = 30 + 1 = -\frac{-31}{1} = -\frac{b}{a}$

$x_1\times x_2 = 30 = \frac{c}{a}$

ii) $2x^2 + 5x + 3 = 0$

$\Delta = 5^2 - 4\times 2\times 3 = 1$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-5 + 1}{4} = -1;\; x_2 = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-3}{2}$

$\Rightarrow x_1 + x_2 = -1 + \frac{-3}{2} = -\frac{5}{2} = -\frac{b}{a}$

$x_1\times x_2 = (-1)\times \frac{-3}{2} = \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau:

Nếu phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)$ có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể viết hai nghiệm đó dưới dạng:

$x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$ và $x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$

Hãy tính $x_1 + x_2$ và $x_1\times x_2$ theo a, b, c.

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 49)

c) Biết rừng các phương trình sau có nghiệm, không giải phương trình hãy tính tổng và tích của chúng theo mẫu:

i) $2x^2 + 9x - 2 = 0$

ii) $-3x^2 - 6x + 1 = 0$

Trả lời:

a)

• $x_1 + x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{-2b}{a} = \frac{-b}{a}$
• $x_1\times x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\times \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}$

c)

i) Áp dụng hệ thức Vi -et:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-9}{2}$

$x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = -1$

ii) Áp dụng hệ thức Vi-et:

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = -\frac{-6}{-3} = -2$ 

$x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{-3} = \frac{-1}{3}$

2. a) Thực hiện các hoạt động sau

• Cho phương trình $3x^2 - 7x + 4 = 0$
• Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
• Chứng tỏ $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình.
• Dùng hệ thức Vi-et để tìm $x_2$.

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 49)

c) Tính nhẩm nghiệm của phương trình $-5x^2 + 11x - 6 = 0$ (theo mẫu) (sgk trang 50)

Trả lời:

a) Các hệ số: a = 3; b = -7; c = 4; a + b + c = 3 + (-7) + 4 = 0;

Thay $x_1 = 1$ vào vế trái phương trình: $3\times 1^2 - 7\times 1 + 4 = 0 = VP$. 

Vậy, $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \Rightarrow x_2 = -\frac{b}{a} - x_1 = -\frac{-7}{3} - 1 = \frac{4}{3} = \frac{c}{a}$

3. a) Thực hiện các hoạt động sau

• Cho phương trình $x^2 + 7x + 6 = 0$
• Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.
• Chứng tỏ $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình.
• Dùng hệ thức Vi-et để tìm $x_2$.

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 50)

c) Tính nhẩm nghiệm của phương trình $2017x^2 + 2018x + 1 = 0$ (theo mẫu) (sgk trang 50)

Trả lời:

a) Các hệ số: a = 1; b = 7; c = 6; a - b + c = 1 - 7 + 6 = 0;

Thay $x_1 = -1$ vào vế trái phương trình: $\times (-1)^2 + 7\times (-1) + 6 = 0 = VP$. 

Vậy, $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi-et: $x_1\times  x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow x_2 = \frac{c}{a} : x_1 = \frac{6}{1} : (-1) = \frac{-6}{1} = -6$

4. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để giải bài toán sau:

Tìm hai số có tổng bằng S và tích bằng P

Giải: Gọi một số là $x$ thì số còn lại là $............$

Theo giả thiết ta có phương trình: $x(S - x) = .......$

Hay $x^2 - Sx + P = 0$

Nếu $\Delta = S^2 - 4P \geq  0$ thì (1) có hai nghiệm:

$x_1 = .........................; \; x_2 = ..........................$;

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 50)

c) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 29 và tích của chúng bằng 198.

Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 - 29x + 198 = 0$

$\Delta = ....................$, suy ra: $\sqrt{\Delta }= ............$

$x_1 = .........................;\;x_2 = ..............................$

Vậy hai số cần tìm là: $..............................$

Tương tự hãy tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

d) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để nhẩm nghiệm cuả phương trình $x^2 + x - 6 = 0$

Giải: Vì $(-3) + 2 = -1$ và $(-3)\times 2 = -6$ nên $x_1 = ......$; $x_2 = ..........$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Trả lời:

a) Gọi một số là $x$ thì số còn lại là $S - x$

Theo giả thiết ta có phương trình: $x(S - x) = P$

Hay $x^2 - Sx + P = 0$

Nếu $\Delta = S^2 - 4P \geq  0$ thì (1) có hai nghiệm:

$x_1 = \frac{-(-S) + \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{S + \sqrt{S^2 - 4P}}{2}; \; x_2 = \frac{-(-S) - \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{S - \sqrt{S^2 - 4P}}{2}$;

Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

c)

• Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 - 29x + 198 = 0$

$\Delta = (-29)^2 - 4\times 198 = 49$, suy ra: $\sqrt{\Delta } = 7$

$x_1 = \frac{29 + 7}{2} = 18;\;x_2 = \frac{29 - 7}{2} = 11$

Vậy hai số cần tìm là: $18$ và $11$

• Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: $x^2 - 27x + 180 = 0$

$\Delta = (-27)^2 - 4\times 180 = 9$, suy ra: $\sqrt{\Delta } = 3$

$x_1 = \frac{27 + 3}{2} = 15;\;x_2 = \frac{27 - 3}{2} = 12$

Vậy hai số cần tìm là: $15$ và $12$

d) Vì $(-3) + 2 = -1$ và $(-3)\times 2 = -6$ nên $x_1 = -3$; $x_2 = 2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 51 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-et hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau (theo mẫu)

a) $x^2 - 12x + 9 = 0$

b) $4x^2 - 5x - 6 = 0$

c) $9x^2 - 6x + 1 = 0$

d) $3x^2 - 5x - 17 = 0$

Trả lời:

a) $x^2 - 12x + 9 = 0$

Áp dụng hệ thức Vi-et: $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = -\frac{-12}{1} = 12;\;x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$

b) $4x^2 - 5x - 6 = 0$

Áp dụng hệ thức Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{4} ;\;x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2}$

c) $9x^2 - 6x + 1 = 0$

Áp dụng hệ thức Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{9} = \frac{2}{3};\;x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{9}$

d) $3x^2 - 5x - 17 = 0$

Áp dụng hệ thức Vi-et: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3};\;x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-17}{3}$

Câu 2: Trang 51 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Dùng điều kiện $a + b + c = 0$ hoặc $a - b + c = 0$ để nhẩm nghiệm các phương trình sau:

a) $31x^2 - 45x + 14 = 0$

b) $7x^2 + 23x - 1217 = 0$

c) $5x^2 - 28x - 33 = 0$

d) $1234x^2 + 17x - 1217 = 0$ 

Trả lời:

a) $31x^2 - 45x + 14 = 0$

Phương trình có: $31 + (-45) + 14 = 0$ nên có hai nghiệm là $x_1 = 1;\; x_2 = \frac{c}{a} = \frac{14}{31}$

b) $7x^2 + 23x - 30 = 0$

Phương trình có: $7 + 23 + (-30) = 0$ nên có hai nghiệm là $x_1 = 1;\; x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-30}{7}$

c) $5x^2 - 28x - 33 = 0$

Phương trình có: $5 - (-28) + (-33) = 0$ nên có hai nghiệm là $x_1 = -1;\; x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-33}{5} = \frac{33}{5}$

d) $1234x^2 + 17x - 1217 = 0$ 

Phương trình có: $1234 - 17 + (-1217) = 0$ nên có hai nghiệm là $x_1 = -1;\; x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{1217}{1234} = \frac{1217}{1234}$

Câu 3: Trang 51 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $x^2 + 5x - 24 = 0$

b) $x^2 - x - 20 = 0$

Trả lời:

a) $x^2 + 5x - 24 = 0$

Vì $(-8) + 3 = -5$ và $(-8)\times 3 = -24$ nên phương trình có hai nghiệm là: $x_1 = -8$ và $x_2 = 3$

b) $x^2 - x - 20 = 0$

Vì $(-4) + 5 = 1$ và $(-4)\times 5 = -20$ nên phương trình có hai nghiệm là: $x_1 = -4$ và $x_2 = 5$

Câu 4: Trang 51 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau

a) $u + v = -7$; $u\times v = 12$

b) $u + v = 32$; $u\times v = 231$

c) $u + v = 3$; $u\times v = -154$

Trả lời:

a) $u + v = -7$; $u\times v = 12$

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2 + 7x + 12 = 0$

$\Delta = 7^2 - 4\times 1 \times 12 = 1 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 1$

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = -3; \;x_2 =\frac{-7 - 4}{2} = -4$

Vậy, hai số cần tìm là: $-3$ và $-4$

b) $u + v = 32$; $u\times v = 231$

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2 - 32x + 231 = 0$

$\Delta' = (-16)^2 -1 \times 231 = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta }  = 5$

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-(-16) + 5}{1} = 21; \;x_2 =\frac{-(-16) - 5}{1} = 11$

Vậy, hai số cần tìm là: $21$ và $11$

c) $u + v = 3$; $u\times v = -154$

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình $x^2 - 3x - 154 = 0$

$\Delta = (-3)^2 - 4\times 1 \times (-154) = 625 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 25$

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{-(-3)+ 25}{2} = 11; \;x_2 =\frac{-(-3) - 25}{2} = -14$

Vậy, hai số cần tìm là: $11$ và $-14$

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 51 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Chứng tỏ rằng phương trình $7x^2 - 3x - 54 = 0$ có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại.

Trả lời:

Thay x = 3 vào vế trái của phương trình: $7\times (3)^2 - 3\times 3 - 54 = 0 = VP$

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \Rightarrow x_2 = \frac{c}{a} : x_1 = \frac{-54}{7} : 3 = \frac{-18}{7}$

Câu 2: Trang 52 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) $-3$ và 7

b) $2 + \sqrt{3}$ và $1 - \sqrt{3}$

Trả lời:

a) $-3$ và 7

Tổng hai số đã cho là: $-3 + 7 = 4$.

Tích hai số đã cho là: $(-3)\times 7 = -21$

Vậy, phương trình bậc hai lập được là: $x^2 -4x -21 = 0$

b) $2 + \sqrt{3}$ và $1 - \sqrt{3}$

Tổng hai số đã cho là: $(2 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 3$.

Tích hai số đã cho là: $(2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = -1 - \sqrt{3}$

Vậy, phương trình bậc hai lập được là: $x^2 - 3x - 1 - \sqrt{3} = 0$

Câu 3: Trang 52 sách toán VNEN lớp 9 tập 1

Chứng tỏ rằng nếu phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì tam thức $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $2x^2 - 5x + 3 = 0$

b) $3x^2 + 8x + 5 = 0$

Trả lời:

• Chứng minh:

Phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm $x_1$ và $x_2$ khi $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$

Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$;

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1\times x_2 = \frac{c}{a}\end{matrix}\right.$

Xét tam thức:

$ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1\times x_2] = a(x^2 - x_1\times x - x_2\times x + x_1\times x_2) = a[(x - x_1)x (x - x_1)x_2] = a(x - x_1)(x - x_2)$ (đpcm)

• Áp dụng:

a) $2x^2 - 5x + 3 = 0$

Phương trình trên có: 2 + (-5) + 3 = 0 nên có một nghiệm là $x_1 = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1)$

b) $3x^2 + 8x + 5 = 0$

Phương trình trên có: 3 - 8 + 5 = 0 nên có một nghiệm là $x_1 = -1 \Rightarrow x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{5}{3}$

$\Rightarrow 3x^2 + 8x + 5 = 3(x + 1)(x + \frac{5}{3})$