Giải Toán 9 sách VNEN bài 13: Ôn tập chương III - Góc với đường tròn

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 134 toán VNEN 9 tập 2

Thực hiện các hoạt động sau

Một bạn hỏi, một bạn trả lời, sau đó đổi vai cho nhau

a) Trả lời các câu hỏi sau

(1) Thế nào là góc ở tâm?

(2) Thế nào là số đo cung?

(3) Thế nào là góc nội tiếp?

(4) Thế nào là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn?

(5) Thế nào là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn?

(6) Thế nào là cung chứa góc $\alpha $ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)

(7) Thế nào là tứ giác nội tiếp?

(8) Thế nào là đường tròn ngoại tiếp đa giác?

(9) Thế nào là đường tròn nội tiếp đa giác?

(10) Thế nào là hình quạt tròn?

b) Đố bạn phát biểu chính xác các tính chất sau

(1) Người ta so sánh hai cung trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau) bằng cách $...$

(2) Khi điểm C $...$ thì $sd AC + sd CB = sd AB$.

(3) Số đo của cung $...$ số đo góc ở tâm chắn cung đó.

(4) Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp $...$ số đo cung bị chắn.

(5) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung $...$ căng hai dây bằng nhau và ngược lại.

(6) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây $...$ và ngược lại.

(7) Trong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai dây song song thì $...$

(8) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì $.....$ dây căng cung ấy.

(9) Trong một đường tròn, đường kính qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường kính) thì $....$ bằng nhau.

(10) Trong một đường tròn, đường kính đi qua $....$ thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

(11) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng $....$ cung bị chắn.

(12) Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung $.............$
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì $....$
• Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì $.................$
• Góc nội tiếp (nhỏ hơn $90^\circ$) có số đo bằng $...........$ của góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là $.........$ và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì $.........$ nửa đường tròn.
• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì $.....$

(13) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng $............$ số đo hai cung bị chắn.

(14) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng $...........$ số đo hai cung bị chắn.

(15) Tập hợp các điểm luôn nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc $\alpha $ không đổi ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) là $............$ dựng trên đoạn thẳng đó.

(16) Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ (hay 2v) thì $.............$ và ngược lại.

(17) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $...........$
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh $.............$ góc trong của đỉnh đối diện.
• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều $............$ (mà ta có thể xác định được) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới $..........$

(18) Hình thanh nội tiếp đường tròn là $.............$ và ngược lại.

(19) Bất kì đa giác đều nào cũng có $............$ đường tròn ngoại tiếp, có $..............$ đường tròn nội tiếp

(20) Độ dài đường tròn (hay chu vi đường tròn) bán kính R, được tính theo công thức $.........$

(21) Với đường tròn bán kính R, độ dài l của cung $n^\circ$ được tính theo công thức $............$ 

(22) Diện tích hình tròn bán kính R, được tính theo công thức $.............$

(23) Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung $n^\circ$ được tính theo công thức $............$

Trả lời:

a)

(1) Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm đường tròn.

(2) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

(3) Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

(4) Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn và mỗi cạnh của góc thuộc một dây cung của đường tròn đó.

(5) Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn đó.

(6) Cung chứa góc $\alpha $ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) là tập hợp các điểm M thỏa mãn $\widehat{AMB} = \alpha $ (AB là đoạn thẳng cho trước)

(7) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng thuộc một đường tròn.

(8) Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

(9) Đường tròn nội tiếp đa giác là đường tròn tiếp xúc với tất cả cách cạnh của đa giác đó.

(10) Hình quạt tròn là hình giới hạn bởi cung MN và hai bán kính OM, ON.

b) 

(1) So sánh hai cung trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau) bằng cách: so sánh số đo của hai cung đó.

(2) Khi điểm C nằm trên cung AB thì $sd AC + sd CB = sd AB$.

(3) Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

(4) Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.

(5) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại.

(6) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại.

(7) Trong một đường tròn, hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

(8) Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.

(9) Trong một đường tròn, đường kính qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường kính) thì chia cung đó thành hai cung bằng nhau.

(10) Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây căng cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

(11) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

(12) Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
• Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp (nhỏ hơn $90^\circ$) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn.
• Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

(13) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

(14) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

(15) Tập hợp các điểm luôn nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc $\alpha $ không đổi ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) là hai cung chứa góc $\alpha $ dựng trên đoạn thẳng đó.

(16) Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^\circ$ (hay 2v) thì là tứ giác nội tiếp và ngược lại.

(17) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.

(18) Hình thanh nội tiếp đường tròn là hình thang cân và ngược lại.

(19) Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

(20) Độ dài đường tròn (hay chu vi đường tròn) bán kính R, được tính theo công thức $2\pi R$

(21) Với đường tròn bán kính R, độ dài l của cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \frac{\pi R\times n}{180^\circ}$ 

(22) Diện tích hình tròn bán kính R, được tính theo công thức $\pi R^2$

(23) Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung $n^\circ$ được tính theo công thức $\frac{\pi R^2\times n}{360}$

3. Luyện tập, ghi vào vở

Câu 1: Trang 137 toán VNEN 9 tập 2

Xem hình 142 và cho biết tên của từng loại góc (được đánh dấu) có trên hình đó.

Hướng dẫn: $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm; $\widehat{CDE}$ là góc nội tiếp; ...

Trả lời:

$\widehat{FGH}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung;

$\widehat{LKM}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn;

$\widehat{NQS}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn.

Câu 2: Trang 137 toán VNEN 9 tập 2

Xem hình 143 và cho biết diện tích phần tô đậm.

Hướng dẫn: Phần tô đậm ở hình 143 được gọi là hình vành khăn.

Nếu gọi $S_1$ là diện tích hình tròn tâm O, bán kính R = OB và $S_2$ là diện tích hình tròn tâm O, bán kính r = OA thì diện tích hình vành khăn là:

$S = S_1 - S_2$

Trả lời:

Gọi $S_1$ là diện tích hình tròn tâm O, bán kính R = OB và $S_2$ là diện tích hình tròn tâm O, bán kính r = OA thì diện tích hình vành khăn là:

$S = S_1 - S_2 = \pi 1,5^2 - \pi 1^2 = 1,25\pi \; (cm^2)$

Câu 3: Trang 137 toán VNEN 9 tập 2

Có ba bánh xe răng cưa A, B, C ăn khớp với nhau (h.144), cùng chuyển động. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Biết rằng bánh xe A có 20 răng, bánh xe B có 12 răng, còn bánh xe C có 8 răng. Hơn nữa, bán kính bánh xe C là 2 cm.

a) Nếu bánh xe C quay được 120 vòng thì bánh xe B quay được bao nhiêu vòng?

b) Nếu bánh xe A quay được 60 vòng thì bánh xe B quay được bao nhiêu vòng?

c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?

Hướng dẫn: 

a) Do ba bánh xe răng cưa A, B, C ăn khớp với nhau, cùng chuyển động, nên khi một bánh xe quay được 1 răng cưa thì hai bánh còn lại quay theo và cũng quay được 1 răng cưa. Vì thế, khi bánh xe C quay được 120 vòng, tức là nó quay được $120\times 8 = 960$ răng cưa, thì bánh xe A cũng quay theo và cũng quay được 960 răng cưa. Từ đó, suy ra bánh xe A quay được 960: 20 = 48 vòng.

Trả lời:

a) Bánh xe B quay được số vòng là: $960 : 12 = 80$ vòng.

b) Bánh xe B quay được số vòng là: $(60\times 20) : 12 = 100$ vòng.

c) Bán kính của các bánh xe tỉ lệ nghịch với số vòng quay được trong cùng một khoảng thời gian.

Bán kính của bánh xe A là:

$\frac{R_A}{R_C} = \frac{n_C}{n_A} = \frac{120}{48} = \frac{5}{2} \Rightarrow R_A = \frac{5}{2}\times 2 = 5$ (cm)

Bán kính của bánh xe B là:

$\frac{R_B}{R_C} = \frac{n_C}{n_B} = \frac{120}{80} = \frac{3}{2} \Rightarrow R_A = \frac{3}{2}\times 2 = 3$ (cm)

Câu 4: Trang 138 toán VNEN tập 2

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm ), bán kính R, có các đường cao AG, BF, CL cắt nhau tại H. Hơn nữa, AG, BF cắt (O) tương ứng tại D và E. Kẻ đường kính AJ. Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) AFGB là tứ giác nội tiếp

b) BHD là tam giác cân

c) E và H đối xứng với nhau qua AC

d) K là trung điểm của đoạn thẳng HJ.

e) AH  = 2OK.

Hướng dẫn: Xem hình 145

a) Do $\widehat{AFB} = \widehat{AGB} = 90^\circ$ nên AFGB là tứ giác nội tiếp. Suy ra, $\widehat{GAF} = \widehat{FBG}$ (*) (cùng chắn cung GF).

Lại có: $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$ (cùng chắn cung CD của (O)), nên BHD là tam giác cân. Với (O), từ (*) suy ra: cung CD = cung CE, nên CD = CE. Do đó, E và H $.......$

Do $\widehat{JBA} = 90^\circ$ (chắn nửa đường tròn) nên BJ // CL.

Tương tự, JC // BF nên BHCJ là hình bình hành, suy ra K là $.........$.

Do O và K tương ứng là trung điểm của JA và JH nên $................$

Trả lời:

a) Do $\widehat{AFB} = \widehat{AGB} = 90^\circ$ nên AFGB là tứ giác nội tiếp.

b) AFGB là tứ giác nội tiếp nên suy ra, $\widehat{GAF} = \widehat{FBG}$ (*) (cùng chắn cung GF).

Lại có: $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$ (cùng chắn cung CD của (O)), nên BHD là tam giác cân.

c) Với (O), từ (*) suy ra: cung CD = cung CE, nên CD = CE. Do đó, E và H đối xứng với nhau qua AC

d) Do $\widehat{JBA} = 90^\circ$ (chắn nửa đường tròn) nên BJ // CL.

Tương tự, JC // BF nên BHCJ là hình bình hành, suy ra K là là trung điểm đoạn HJ.

e) Do O và K tương ứng là trung điểm của JA và JH nên OK là đường trung bình của tam giác AHJ

Suy ra, AH = 2OK.

Câu 5: Trang 138 toán VNEN 9 tập 2

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A cố định trên đường tròn đó. Gọi B là điểm di động trên (O), gọi M là trung điểm của dây AB. Chứng tỏ rằng khi điểm B di động trên (O) thì điểm M di động trên đường tròn đường kính AO.

Hướng dẫn: Xem hình 146

Theo giả thiết AM = MB nên $OM \perp AB$. Do O và A cố định, điểm M di động nhưng luôn nhìn AO dưới một góc vuông nên $..............$

Trả lời:

Theo giả thiết AM = MB nên $OM \perp AB$. Do O và A cố định, điểm M di động nhưng luôn nhìn AO dưới một góc vuông nên M di động trên đường tròn đường kính AO.

Câu 6: Trang 138 toán VNEN 9 tập 2

Qua thăm dò ý kiến của 1080 học sinh thuộc một trường THCS về sở thích, nhóm điều tra đã biểu diễn được kết quả như hình 147 (Biểu đồ hình tròn).

a) Theo em bạn nào sau đây nói đúng? Vì sao?

• Bạn Hoàng cho rằng: "Số học sinh yêu thích kinh doanh bằng số học sinh yêu thích du lịch".
• Bạn Bình cho rằng: "Số học sinh yêu thích thể thao gấp 5 lần số học sinh yêu thích nội trợ".
• Bạn Cảnh cho rằng: "Số học sinh yêu thích thể thao bằng 2 lần tổng số học sinh yêu thích nội trợ và yêu thích du lịch".

b) Hãy cho biết mỗi nhóm sở thích có bao nhiêu học sinh.

Hướng dẫn: 

a) Số học sinh thuộc mỗi nhóm sở thích tương ứng với diện tích của hình quạt tròn biểu diễn cho đối tượng ấy trên hình 147. Dựa trên thông tin về góc ở tâm suy ra:

Số học sinh yêu thích kinh doanh bằng số học sinh yêu thích du lịch (ứng với góc $45^\circ$);

Số học sinh yêu thích thể thao (tương ứng với góc $150^\circ$) gấp 5 lần số học sinh yêu thích nội trợ (tương ứng với góc $30^\circ$; 

$...................$

Trả lời:

a) Số học sinh thuộc mỗi nhóm sở thích tương ứng với diện tích của hình quạt tròn biểu diễn cho đối tượng ấy trên hình 147. Dựa trên thông tin về góc ở tâm suy ra:

• Số học sinh yêu thích kinh doanh bằng số học sinh yêu thích du lịch (ứng với góc $45^\circ$);
• Số học sinh yêu thích thể thao (tương ứng với góc $150^\circ$) gấp 5 lần số học sinh yêu thích nội trợ (tương ứng với góc $30^\circ$; 
• Số học sinh yêu thích thể thao (tương ứng với góc $150^\circ$) bằng 2 lần tổng số học sinh yêu thích nội trợ (tương ứng với góc $30^\circ$) và yêu thích du lịch (tương ứng với góc $45^\circ$).

Vậy, cả ba bạn Hoàng, Bình, Cảnh đều nói đúng.

b) 

• Số học sinh thuộc nhóm yêu thích du lịch là: $\frac{45}{360}\times 1080 = 135$ (học sinh).
• Số học sinh thuộc nhóm yêu thích nghệ thuật là: $\frac{90}{360}\times 1080 = 270$ (học sinh).
• Số học sinh thuộc nhóm yêu thích kinh doanh là: $\frac{45}{360}\times 1080 = 135$ (học sinh).
• Số học sinh thuộc nhóm yêu thích thể thao là: $\frac{150}{360}\times 1080 = 450$ (học sinh).
• Số học sinh thuộc nhóm yêu thích nội trợ là: $\frac{30}{360}\times 1080 = 90$ (học sinh).