Giải Toán 9 sách VNEN bài 5: Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

A. Hoạt động khởi động

1. Đọc và nhớ lại (sgk trang 16)

2. Vận dụng giải bài toán cổ sau (sgk trang 16)

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 17)

2. Ví dụ (sgk trang 17)

3. Giải bài toán sau

Một số có hai chữ số, số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 6. Nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số cũ 720 đơn vị. Tìm số ban đầu.

Trả lời:

Gọi chữ số hàng chục là a ($a\neq 0$), chữ số hàng đơn vị là b.

Vậy số ban đầu là: $10a + b$.

Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 6 nên: $a - b = 6$ (1).

Khi xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số mới tạo thành là: $100a + b$.

Số mới lớn hơn số cũ 720 đơn vị nên: $(100a + b) - (10a + b)$ (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}a - b = 6\\ (100a + b) - (10a + b) = 720\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a - b = 6\\ 90a = 720\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a - b = 6\\ a = 8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 8\\b = 2\end{matrix}\right.$

Vậy số ban đầu là 82.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 18 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu lấy số đó trừ đi hai lần tổng các chữ số của nó thì được kết quả là 51. Nếu lấy hai lần chữ số hàng chục cộng với ba lần chữ số hàng đơn vị thì được 29. Tìm số đã cho

Trả lời:

Gọi chữ số hàng chục là a, chữ số hàng đơn vị là b ($a\neq 0$, a, b =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Nếu lấy số đó trừ đi hai lần tổng các chữ số của nó thì được kết quả là 51 nên: $(10a + b) - 2(a + b) = 51 \Rightarrow 8a - b = 51$ (1)

Nếu lấy hai lần chữ số hàng chục cộng với ba lần chữ số hàng đơn vị thì được 29 nên: $2a + 3b = 29$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}8a - b = 51\\ 2a + 3b = 29\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}24a - 3b = 153\\ 2a + 3b = 29\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}26a = 182\\ 8a - b = 51\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 7\\ 8a - b = 51\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 7\\ b=5\end{matrix}\right.$

Vậy số cần tìm là: 75

Câu 2: Trang 19 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Trong một phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp 3 học sinh ngồi một ghế thì 6 học sinh không có chỗ ngồi. Nếu xếp 4 học sinh ngồi một ghế thì thừa 1 ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?

Trả lời:

Gọi số ghế của lớp là  x (x > 0). Số học sinh của lớp là y (y > 0). (x, y $\in Z$)

Nếu xếp 3 học sinh ngồi một ghế thì 6 học sinh không có chỗ ngồi nên: $3x + 6 = y \Rightarrow 3x - y = -6$ (1)

Nếu xếp 4 học sinh ngồi một ghế thì thừa 1 ghế nên: $(x − 1).4 = y \Rightarrow 4x - y = 4$ (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}3x - y = -6\\ 4x - y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 10\\ 4x - y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 10\\ y = 36\end{matrix}\right.$

Vậy lớp có 36 học sinh và 10 ghế .

Câu 3: Trang 19 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Bài toán Ấn Độ: Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi. Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi. Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu Rupi?

Trả lời:

Gọi giá tiền một quả thanh yên là x (rupi, x > 0), giá tiền mua một quả táo rừng thơm là y (rupi, y > 0).

Mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm hết 107 rupi nên: $9x + 8y = 107$. (1)

Mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm hết 91 rupi nên: $7x + 7y = 91$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau: 

$\left\{\begin{matrix}9x + 8y = 107\\ 7x + 7y = 91\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}63x + 56y = 749\\ 63x + 63y = 819\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9x + 8y = 107\\\ 7y = 70\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9x + 8y = 107\\\ y = 10\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 3\\\ y = 10\end{matrix}\right.$

Vậy, giá tiền một quả thanh yên là 3 rupi, một quả táo rừng thơm là 10 rupi

Câu 4: Trang 19 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Lúc 7 giờ người thứ nhất đi xem máy từ A với vận tốc 40km/h. Sau đó, lúc 8 h 30 phút, người thứ hai cũng đi xe máy từ A với vận tốc 60 km/h đuổi theo người thứ nhất. Hỏi hai người gặp nhau vào lúc mấy giờ?

Trả lời:

Gọi thời gian đi của người thứ nhất là x (giờ), người thứ 2 là y (giờ) (x, y > 0).

Vì người thứ 2 đi sau người thứ nhất 1,5 giờ nên ta có phương trình: $x - y = 1,5$ (1)

Quãng đường đi được của hai người lần lượt là: $40x$ và $60y$.

Đến khi gặp nhau thì quãng đường đi được của hai người phải bằng nhau nên ta có phương trình: $40x = 60y \Rightarrow 2x - 3y = 0$ (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x - y = 1,5\\ 2x - 3y = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x - 2y = 3\\ 2x - 3y = 0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x - 2y = 3\\ y = 3\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 4,5\\ y = 3\end{matrix}\right.$

Vậy thời gian đi của người thứ nhất là 4,5 giờ, người thứ 2 là 3 giờ.

Thời điểm gặp nhau là 7h + 4h30' = 11h30'

Câu 5: Trang 19 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 110m. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 350$m^2$. Tính kích thước của mảnh vườn đó.

Trả lời:

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (m), chiều rộng mảnh vườn là y (m), (x, y > 0)

Chu vi của hình chữ nhật là: $2(x + y) = 110 \Rightarrow x + y = 55$ (1)

Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng thêm 350$m^2$ nên ta có phương trình:

$(x + 10)(y + 5) - xy = 350$

$\Leftrightarrow xy + 5x + 10y + 50 - xy = 350$

$\Leftrightarrow x + 2y = 60$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x + y = 55\\ x + 2y = 60\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x + y = 55\\ y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = 50 \\ y = 5\end{matrix}\right.$

Vậy, kích thước của mảnh vườn là: $50 \times 5$

Câu 6: Trang 19 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà, mất 2 ngày mới xong việc. Nếu người thợ thứ nhất làm một mình trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong một ngày nữa thì mới xong công việc. Hỏi mỗi người làm việc một mình thì trong bao lâu mới xong công việc.

Trả lời:

Trong một ngày, nếu người thứ nhất làm một mình thì làm được x (phần công việc).

Trong một ngày, nếu người thứ hai làm một mình thì làm được y (phần công việc). (x, y > 0).

Vì nếu hai người thợ cùng sơn thì trong hai ngày là hoàn thành công việc nên ta có hệ phương trình: $2(x + y) = 1$ (1)

Vì nếu người thợ thứ nhất làm một mình trong 4 ngày, người thợ thứ 2 làm một mình thêm 1 ngày nữa thì hoàn thành công việc nên ta có phương trình:

$4x + y = 1$ (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}2(x + y) =1\\ 4x + y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x + 2y = 1\\ 4x + y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4x + 4y = 2\\ 4x + y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x + 2y = 1\\ 3y = 1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{6}\\ y = \frac{1}{3}\end{matrix}\right.$

Vậy, nếu người thứ nhất làm một mình thì trong $1 : \frac{1}{6} = 6$ (ngày) thì hoàn thành công việc.

Nếu người thứ hai làm một mình thì trong $1 : \frac{1}{3} = 3$ (ngày) thì hoàn thành công việc.

Câu 7: Trang 19 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì được $\frac{2}{15}$ bể. Hỏi nếu mở mỗi vòi chảy một mình thì sau bào lâu mới đầy bể?

Trả lời:

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được x (phần) bể nước, vòi 2 chảy được y (phần) bể nước. (x, y > 0).

Nếu hai vòi cùng chảy thì sau 1h20' = $\frac{4}{3}$ (giờ) thì đầy bể nên ta có phương trình thứ nhất:

$\frac{4}{3}\times (x + y) = 1 \Leftrightarrow 4x + 4y = 3$ (1)

Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ và vòi thứ 2 trong 12 phút = $\frac{1}{5}$ (giờ) thì được $\frac{2}{15}$ bể nên ta có phương trình thứ 2:

$\frac{x}{6} + \frac{y}{5} = \frac{2}{15} \Leftrightarrow 5x + 6y = 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}4x + 4y = 3\\ 5x + 6y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12x + 12y = 9\\ 10x + 12y = 8\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x = 1\\ 5x + 6y = 4\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x = \frac{1}{2}\\ y = \frac{1}{4}4\end{matrix}\right.$

Vậy, thời gian để vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bề là: $1 : \frac{1}{2} = 2$ (giờ).

Thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: $1 : \frac{1}{4} = 4$ (giờ).