Giải Toán 9 sách VNEN bài 4: Minh họa hình học nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Hoạt động khởi động

Sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp công đại số để tìm nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x- 3y = 0\\ x + 2y = 5\end{matrix}\right.$

Trả lời:

$\left\{\begin{matrix}x- 3y = 0\\ x + 2y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5y = 5\\ x + 2y = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = 1\\ x = 3\end{matrix}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: $(x; y) = (3; 1)$

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. a) Thực hiện các hoạt động sau:

• Vẽ hệ trục tọa độ Oxy.
• Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình x - 3y = 0
• Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hệ phương trình x + 2y = 5
• Hai đường thẳng trên có vị trí tương đối như thế nào? Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó.
• Đối chiếu tọa độ giao điểm và nghiệm của hệ tìm được ở Hoạt động Khởi động.

b) Thực hiện các làm tương tự 1a) đối với mỗi hệ sau:

(I) $\left\{\begin{matrix}x - y = 0\\ 2x + y = 3\end{matrix}\right.$

(II) $\left\{\begin{matrix}2x - 3y = -4\\ 2x - 3y = 5\end{matrix}\right.$

(III) $\left\{\begin{matrix}x + 2y = 3\\ -x - 2y = -3\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a)

Từ đồ thị, ta thấy hai đường thẳng vừa vẽ cắt nhau tại (3; 1). Tọa độ điểm cắt chính là nghiệm của hệ phương trình đã tìm được ở phần Hoạt động Khởi động.

b)

• Phương trình (I):

Từ đồ thị ta thấy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; 1)$.

• Phương trình (II)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình (II) vô nghiệm )

• Phương trình (III)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

2. Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 14)

3. Ví dụ

Cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau dựa vào đồ thị của chúng:

a) $\left\{\begin{matrix}2x + y = 1\\ x - y = 2\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x + 2y = 2\\ x + 2y = 5\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}2x + y = 3\\ -2x - y = -3\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) 

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình có một nghiệm $(x; y) = (1; -1)$

b)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình vô nghiệm.

c)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình có vô số nghiệm.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 14 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao?

a) $\left\{\begin{matrix}2x + y = 1\\ 3x - y = 4\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x - 5y = -3\\ -x + 5y = -7\end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix}x - 5y = -3\\ -x + 5y = -7\end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix}3x - \frac{3}{2}y = -\frac{9}{2}\\ 2x + y = 3\end{matrix}\right.$

Trả lời:

Ta vẽ đồ thị nghiệm của từng phương trình trong hệ, số giao điểm của đồ thị nghiệm chính là số nghiệm của hệ phương trình.

a)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

b)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình vô nghiệm

c)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình vô nghiệm

d)

Từ đồ thị, ta thấy hệ phương trình có vô số nghiệm

Câu 3: Trang 15 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao?

a) $\left\{\begin{matrix}4x - 8y = 4\\ -2 + 2y = -1\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3}x - 2y = \frac{2}{3}\\ -x + 6y = -2\end{matrix}\right.$

Trả lời:

a) $\left\{\begin{matrix}4x - 8y = 4\\ -x + 2y = -1\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x - 2y = 1\\ x - 2y = 1\end{matrix}\right.$

Vậy, hệ phương trình có vô số nghiệm do hai phương trình của hệ đều biểu diễn một họ nghiệm.

b) $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3}x - 2y = \frac{2}{3}\\ -x + 6y = -2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x - 6y = 2\\ x - 6y = 2\end{matrix}\right.$

Vậy, hệ phương trình có vô số nghiệm do hai phương trình của hệ đều biểu diễn một họ nghiệm.

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Dựa vào minh họa hình học (xét vị trí tương đối của hai đường thẳng xác định bởi hai phương trình trong hệ), em hãy giải thích các kết luận sau:

Hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}ax + by = c\\ a'x + b'y = c'\end{matrix}\right.$ (a, b, c, a', b', c' $\neq$).

• Có vô số nghiệm nếu: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$
• Vô nghiệm nếu: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$
• Có một nghiệm duy nhất nếu: $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

Trả lời:

Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta có:

• Khi $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ thì hai đường thẳng $ax + by = c$ và $a'x + b'y = c'$ trùng nhau, do đó hệ có vô số nghiệm.
• Khi $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ thì hai đường thẳng $ax + by = c$ và $a'x + b'y = c'$ song song với nhau, do đó hệ vô nghiệm.
• Khi $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ thì hai đường thẳng $ax + by = c$ và $a'x + b'y = c'$ cắt nhau tại một điểm, do đó hệ có duy nhất một nghiệm.