Giải Toán 9 sách VNEN bài 5: Luyện tập

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 45 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $4x^2 - 25 = 0$

b) $2x^2 + 9x = 0$

c) $x^2 + x - 30 = 0$

d) $2x^2 - 3x - 5 = 0$

Trả lời:

a) $4x^2 - 25 = 0$

$\Leftrightarrow 4x^2 = 25$

$\Leftrightarrow x^2 = \frac{25}{4}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{5}{2}$

b) $2x^2 + 9x = 0$

$\Leftrightarrow x(2x + 9) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \frac{-9}{2}$

c) $x^2 + x - 30 = 0$

$\Delta = 1^2 - 4\times 1 \times (-30) = 121 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 11$

$\Leftrightarrow x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = 5;\; x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = 6$

d) $2x^2 - 3x - 5 = 0$

$\Delta = (-3)^2 - 4\times 2 \times (-5) = 49 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 7$

$\Leftrightarrow x_1 = \frac{-(-3) + 7}{4} = \frac{5}{2};\; x_2 = \frac{-(-3) - 7}{4} = -1$

Câu 2: Trang 45 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Đưa mỗi phương trình sau về dạng $ax^2 + bx + c = 0$ rồi sử dụng công thức nghiệm để giải các phương trình sau:

a) $x^2 + 5 = 3(x + 5)$

b) $(x - 2)(x + 2) = 3x$

c) $x^2 - 3(x - 1) = 7x - 8$

d) $3(x^2 - 2x) = 6(x - 2)$

Trả lời:

a) $x^2 + 5 = 3(x + 5)$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$

$\Delta = (-3)^2 - 4\times 1\times (-10) = 49 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 7$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-3) + 7}{2} = 5; \; x_2 = \frac{-(-3) - 7}{2} = -2$

b) $(x - 2)(x + 2) = 3x$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$

$\Delta = (-3)^2 - 4\times 1\times (-4) = 25\Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2} = 4; \; x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2} = -1$

c) $x^2 - 3(x - 1) = 7x - 8$

$\Leftrightarrow x^2 - 10x + 11 = 0$

$\Delta = (-10)^2 - 4\times 1\times 11 = 56 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = \sqrt{56}$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-10) +\sqrt{56}}{2} = 5 + \sqrt{14}; \; x_2 = \frac{-(10) - \sqrt{56}}{2} =5 - \sqrt{14}$

d) $3(x^2 - 2x) = 6(x - 2)$

$\Leftrightarrow (x^2 - 2x) = 2(x - 2)$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x+4 = 0$

$\Delta = (-4)^2 - 4\times 1\times 4 = 0$

$\Rightarrow x = \frac{-(-4)}{2} = 2$

Câu 3: Trang 45 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2: sgk trang 45.

Xác đinh a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình sau:

a) $4x^2 - 12x - 7 = 0$

b) $3x^2 - 28x + 9 = 0$

c) $2x^2 - 6\sqrt{2}x + 7 = 0$

d) $x^2 - 2\sqrt{7}x + 7 = 0$

Trả lời:

a) $4x^2 - 12x - 7 = 0$

a = 4; b' = -6; c = -7;

$\Delta = (-6)^2 - 4\times (-7) = 64 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 8$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-6) + 8}{4} = \frac{7}{2};\;x_2 = \frac{-(-6) - 8}{4} = \frac{-1}{2}$

b) $3x^2 - 28x + 9 = 0$

a = 3; b' = -14; c = 9;

$\Delta = (-14)^2 - 3\times 9 = \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 13$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-14) + 13}{3} = 9;\;x_2 = \frac{-(-14) - 13}{3} = \frac{1}{3}$

c) $2x^2 - 6\sqrt{2}x + 7 = 0$

a = 2; b' = -3; c = 7;

$\Delta = (-3)^2 - 2\times 7 = -5$

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $x^2 - 2\sqrt{7}x + 7 = 0$

a = 1; b' = -1; c = 7;

$\Delta = (-1)^2 - 1\times 7 = -6$

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 4: Trang 46 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải mỗi phương trình sau rồi dùng máy tính viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến số thập phân thứ 2)

a) $4x^2 + 2x = x^2 - 4x - 4$

b) $3x^2 + 2x = 4x(x - 1) - 1$

c) $(2x - \sqrt{3})^2 = (x - 1)(x + 1)$

d) $2x(x+1) = (x - 1)^2$

Trả lời:

a) $4x^2 + 2x = x^2 - 4x - 4$

$\Leftrightarrow 3x^2 + 6x + 4 = 0$

$\Delta' = 3^2 - 3\times 4 = -3$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $3x^2 + 2x = 4x(x - 1) - 1$

$\Leftrightarrow x^2 - 6x -1= 0$

$\Delta' = (-3)^2 - 1\times (-1) = 10$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{10}}{1} \approx  6,16;\;\; x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{10}}{1} \approx -0,16 $

c) $(2x - \sqrt{3})^2 = (x - 1)(x + 1)$

$\Leftrightarrow 3x^2 -4\sqrt{3}x + 4 = 0$

$\Delta' = (2\sqrt{3})^2 - 3\times 4 = 0$

$\Rightarrow x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx  1,15$

d) $2x(x+1) = (x - 1)^2$

$\Leftrightarrow x^2 + 4x - 1 = 0$

$\Delta' = 2^2 - 1\times (-1) = 5$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{1} \approx  0,24;\;\; x_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{1} \approx -4,24 $

Câu 5: Trang 46 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

a) $x^2 = 12x + 288$

b) $\frac{1}{12}x^2 + \frac{7}{12}x = 19$

Trả lời:

a) $x^2 = 12x + 288$

$\Leftrightarrow x^2 - 12x - 288 = 0$

$\Delta' = (-6)^2 - 1\times (-288) = 324 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 18$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-(-6) + 18}{1} = 24;\;x_2 = \frac{-(-6) - 18}{1} = -12$

b) $\frac{1}{12}x^2 + \frac{7}{12}x = 19$

$\Leftrightarrow \frac{1}{12}x^2 + \frac{7}{12}x - 19 = 0$

$\Delta = (\frac{7}{12})^2 - 4\times \frac{1}{12}\times (-19) = \frac{961}{144} \Rightarrow \sqrt{\Delta} = \frac{31}{12}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1 = \frac{-\frac{7}{12} + \frac{31}{12}}{2\times \frac{1}{12}} = 12;\;x_2 = \frac{-\frac{7}{12} - \frac{31}{12}}{2\times \frac{1}{12}}  = -19$

Câu 6: Trang 47 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

a) $17x^2 + 4x - 2017 = 0$

b) $-\frac{17}{5}x^2 - 2\sqrt{7} x + 1890 = 0$

c) $\sqrt{5} x^2 -2(1 + \sqrt{3})x + (1 - \sqrt{3}) = 0$;

d) $(1 - \sqrt{5})x^2 - 3 + \sqrt{5} + 1 = 0$

Gợi ý: Xét tích $a\times c$

Trả lời:

Nhận xét: Nếu một phương trình bậc 2 có tích $a\times c < 0$ thì phương trình đó chắc chắn có hai nghiệm phân biệt.

a) $17x^2 + 4x - 2017 = 0$

Xét: $a\times c = 17\times (-2017) < 0 \Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

b) $-\frac{17}{5}x^2 - 2\sqrt{7} x + 1890 = 0$

Xét: $a\times c = -\frac{17}{5}\times 1890 < 0 \Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

c) $\sqrt{5} x^2 -2(1 + \sqrt{3})x + (1 - \sqrt{3}) = 0$;

Xét: $a\times c = \sqrt{5}\times (1 - \sqrt{3}) < 0 \Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

d) $(1 - \sqrt{5})x^2 - 3 + \sqrt{5} + 1 = 0$

Xét: $a\times c = (1 - \sqrt{5})\times (\sqrt{5} + 1) < 0 \Rightarrow $ phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

Câu 7: Trang 47 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Với giá trị nào thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm?

a) $x^2 - 4x + m = 0$

b) $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2 = 0$

Trả lời:

a) $x^2 - 4x + m = 0$

$\Delta' = (-2)^2 - 1\times m = -m + 4$

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow -m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 4$
• Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow -m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4$
• Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow -m + 4 < 0 \Leftrightarrow m >4$

b) $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 2$

$\Delta' = [-(m + 1)]^2 - 1\times (m^2 + 2) = 2m - 1$

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$
• Phương trình có nghiệm kép$\Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$
• Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow -2m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{-1}{2}$

D. Hoạt động vận dụng

Câu 1: Trang 47 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một oto trong 10 phút, phát hiện ra rằng vận tốc v của oto thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức $v = 3t^2 - 30t + 135$ (t tính bằng phút, v tính bằng khm/h).

a) Tính vận tốc của oto khi t = 5 phút.

b) Tính giá trị của t khi vận tốc ô tô bằng 120 km/h (làm tròn kết quả để chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời:

a) Vận tốc của oto khi t = 5 phút là: $v = 3\times 5^2 - 30\times 5 + 135 = 60$ km/h

b) Thời gian t để vận tốc oto bằng 120 km/h là:

$120 = 3t^2 - 30t + 135 \Leftrightarrow 3t^2 - 30t + 15 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 10t + 5 = 0$

$\Delta' = (-5)^2 - 1\times 5 = 20$

$\Rightarrow x_1 = 5 + \sqrt{20} \approx  9,47 > 0$ (TM)

Hoặc  $x_2 = 5 - \sqrt{20} \approx 0,53 > 0$ (TM)

Câu 2: Trang 47 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Mai đã đi quãng dường tàu hỏa từ Hà Nội vào Đà Nẵng với quãng đường di chuyển là 700km để thăm bố mẹ. Cô ấy đã quay về Hà Nội bằng oto với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc của tàu hỏa là 30km/h.

a) Cho biết vận tốc trung bình của oto là x km/h, tổng thời gian di chuyển trên tàu và oto cả lúc đi lẫn lúc về của Mai là 20 giờ. Hãy lập một phương trình theo x và chỉ ra rằng nó được thu gọn thành $x^2 - 100x + 1050 = 0$

b) Giải phương trình $x^2 - 100x + 1050 = 0$. Chỉ ra vận tốc trung bình của oto (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời:

a) Gọi x là vận tốc trung bình của oto (x > 30, km/h)

$\Rightarrow $ Vận tốc trung bình của tàu hỏa là: x - 30 (km/h)

Thời gian Mai ngồi tàu hỏa là: $t_1 = \frac{S}{x - 30} = \frac{700}{x - 30} (h)$

Thời gian Mai ngồi oto là: $t_2 = \frac{S}{x} = \frac{700}{x} (h)$

Tổng thời gian đi và về của Mai là: $t_1 + t_2 = \frac{700}{x - 30} + \frac{700}{x} = 20$

$\Leftrightarrow 700x + 700(x - 30) = 20x(x - 30)$

$\Leftrightarrow 700x + 700x - 21000 = 20x^2 - 600x$

$\Leftrightarrow 20x^2 - 2000x + 21000 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 100x + 1050 = 0$

b)

$x^2 - 100x + 1050 = 0$

$\Delta' = (-50)^2 - 1\times 1050 = 1450 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5\sqrt{58}$

$\Leftrightarrow x_1 = -(-50) + 5\sqrt{58} \approx  88,08$ (TM)

hoặc $x_2 = -(-50) - 5\sqrt{58} \approx  11,92$ (loại)

Vậy vận tốc trung bình của oto là khoảng 88,08 km/h.

E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 47 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Với giá trị nào của x, hai hàm số sau có giá trị bằng nhau?

a) $y = -\frac{x^2}{2}$ và $y = 5x - 1$

b) $y = \frac{2x^2}{3}$ và $y = -2x + 3$

Trả lời:

a) $y = -\frac{x^2}{2}$ và $y = 5x - 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$-frac{x^2}{2} = 5x - 1$

$\Leftrightarrow x^2 +10x -2 = 0$

$\Delta' = 5^2 - 1\times (-2) = 27 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = 3\sqrt{3}$

$\Rightarrow x_1 = -5 + 3\sqrt{3};\; x_2 = -5 -3\sqrt{3}$

Vậy với $x_1 = -5 + 3\sqrt{3}$ hoặc $x_2 = -5 -3\sqrt{3}$ thì hai hàm số có giá trị bằng nhau.

b) $y = \frac{2x^2}{3}$ và $y = -2x + 3$

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\frac{2x^2}{3} = -2x + 3$

$2x^2 + 6x - 9 =0$

$\Delta' = 3^2 - 2\times (-9) = 27 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = 3\sqrt{3}$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2};\; x_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{2}$

Vậy với $x_1 = \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}$ hoặc $x_2 = \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{2}$ thì giá trị của hai hàm số bằng nhau

Câu 2: Trang 48 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung.

(1) $x^2 - mx - 3 = 0$

(2) $x^2 - x - 3m = 0$

Trả lời:

Gọi $x_1$ là nghiệm chung của 2 phương trình.

$\Rightarrow $$\left\{\begin{matrix}x_1^2 - mx_1 - 3 = 0 (3) \\ x_1^2 - x_1 - 3m = 0 (4)\end{matrix}\right.$

Lấy (3) - (4) vế với vế: $\Rightarrow (x_1^2 - mx_1 - 3) - (x_1^2 - x_1 - 3m)  = 0$

$\Leftrightarrow x_1(1 - m) = 3 - 3m \Leftrightarrow x_1 = \frac{3 - 3m}{1 - m} = 3 (m \neq 1)$

Vậy với $m \neq 1$ thì hai phương trình trên luôn có nghiệm chung x = 3.

Câu 3: Trang 48 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Đố: Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ vô nghiệm thì $ax^2 + bx + c = 0 > 0$ với mọi giá trị của x?

Trả lời:

Xét phương trình $ax^2 + bx + c = 0$ có $\Delta = b^2 - 4ac$

Phương trình vô nghiệm khi $\Delta < 0 \Leftrightarrow b^2 - 4ac < 0 \Leftrightarrow 4ac - b^2 > 0$ (1)

Ta có:

$ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a[x^2 + 2\times \frac{b}{2a}\times x + (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} - (\frac{b}{2a})^2]$

$= a(x + \frac{b}{a})^2 + a\times \frac{4ac - b^2}{4a^2} = a(x + \frac{b}{a})^2 + \frac{4ac - b^2}{2a}$

Từ (1): $4ac - b^2 > 0$ và $a > 0 \Rightarrow 2a > 0$ $\Rightarrow \frac{4ac - b^2}{2a} > 0$ (3)

Lại có: $a(x + \frac{b}{a})^2 > 0 \;\forall a > 0, b$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow $ đpcm