Giải Toán 9 sách VNEN bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

A. Hoạt động khởi động

a) Vẽ rồi cắt một hình tròn bằng giấy mỏng, sau đó vẽ hai dây cung là EF = GH (h.12). Dùng kéo cắt rời theo từng dây cung đó. Dùng các mảnh được cắt rời ra để so sánh hai cung vừa được cắt (xem chúng có trùng khít lên nhau không).

b) Chuẩn bị một hình tròn bằng giấy mỏng. Dùng kéo cắt theo hai dây cung AB và CF không bằng nhau (h.13). Dùng các mảnh được cắt rời ra để so sánh và cho biết hai cung vừa được cắt rời đó có bằng nhau không?

Trả lời:

Các em tiến hành cắt hình theo hướng dẫn

a) Hai cung vừa cắt ra trùng khít lên nhau

b) Hai cung vừa được cắt rời không bằng nhau.

B. Hoạt động hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau để hiểu liên hệ giữa dây và cung

a) Vẽ hình và làm theo hướng dẫn

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 77)

c) Luyện tập ghi vào vở

Xem hình 15: Do AB = CD = R nên hai cung nhỏ AB = CD.

Hai cung nhỏ AB và BC có bằng nhau không?

Xem hình 16: Nếu biết MN = PQ và $\widehat{POQ} = 60^\circ$ thì số đo cung nhỏ MN bằng bao nhiêu độ? Vì sao?

Trả lời:

c)

Hình 15: cung nhỏ AB = cung nhỏ CD vì AB = BC = R

Hình 16: sd MN = sd PQ = $\widehat{POQ} = 60^\circ$

2. Thực hiện các hoạt động sau để so sánh hai cung bị chắn bằng cách so sánh hai dây tương ứng và ngược lại

a) Vẽ hình và làm theo hướng dẫn

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ hai dây AB và CD sao cho AB > CD (h.17). Nối OA, OB, OC, OD.

Ta nói: Dây AB căng cung AB hay cung AB căng dây AB.

Dùng thước đo góc chứng tỏ rằng $\widehat{AOB} > \widehat{COD}$. Khi đó có thể kết luận cung AB > cung CD hay không?

Như vậy, từ AB > CD có thể suy ra cung AB > cung CD hay không?

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 78)

c) Luyện tập, ghi vào vở

Xem hình 18 và cho biết trong hai cung nhỏ PQ và RS cung nào lớn hơn? Vì sao?

Nếu biết $\widehat{POQ} > \widehat{SOR}$ thì có thể suy ra PQ > SR không? Vì sao?

Xem hình 19 và cho biết trong hai dây cung PQ và QR dây nào dài hơn? Vì sao?

Trả lời:

a) Từ $\widehat{AOB} > \widehat{COD}$ thì cung AB > cung CD

Khi $\widehat{AOB} > \widehat{COD}$ thì AB > CD $\Rightarrow $ cung AB > cung CD. Vậy từ AB > CD có thể suy ra cung AB > cung CD.

c)

Hình 18: cung PQ > cung RS vì PQ > RS

Hình 19: QR > PQ vì $\widehat{QOR} > \widehat{POQ}$.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 79 toán VNEN 9 tập 2

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 3 cm.

a) Nêu cách vẽ cung AB có số đo bằng $60^\circ$. Cho biết độ dài đoạn AB.

(Gợi ý: Vẽ tam giác đều cạnh R)

b) Nêu cách vẽ cung MN có số đo bằng $90^\circ$. Cho biết độ dài đoạn MN.

(Gợi ý vẽ tam giác vuông cân hai cạnh góc vuông bằng R, đỉnh góc vuông là tâm đường tròn).

c) Nêu cách vẽ cung RS có số đo bằng $30^\circ$.

(Gợi ý: Có nhiều cách vẽ, chẳng hạn, do $30^\circ =90^\circ - 60^\circ$ nên từ cách vẽ ở ý a) và b) ta suy ra cách vẽ ở ý c)).

Trả lời:

a) Vẽ tam giác OAB đều cạnh R (A, B nằm trên đường tròn):

Bước 1: Vẽ bán kính OA bất kì.

Bước 2: Dùng thước đo góc xác định góc $\widehat{AOB} = 60^\circ$ (B nằm trên đường tròn)

Bước 3: Nối AB, ta được tam giác ABO đều. (tam giác cân có một góc bằng $60^\circ$

Chứng minh sđ AB = $60^\circ$:

Theo cách vẽ $\bigtriangleup ABO$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{AOB} = 60^\circ$

$\Rightarrow $ sđ AB = $\widehat{AOB} = 60^\circ$

b) Vẽ tam giác vuông cân MON tại O:

Bước 1: Vẽ bán kính OM bất kì.

Bước 2: Vẽ $\widehat{MON} = 90^\circ$.

Tương tự, ta cũng suy ra được sđ MN = $90^\circ$

c) Vẽ tam giác ORS cân tại O,$\widehat{ROS} = 30^\circ$

Bước 1: Vẽ bán kính OR bất kì.

Bước 2: Dùng thước đo góc, vẽ góc $\widehat{ROS} = 30^\circ$

Tương tự trên, ta có thể suy ra sđ RS = $30^\circ$.

Câu 2: Trang 75 toán VNEN 9 tập 2

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

a) Nêu cách chia đường tròn (O) thành 4 cung có độ dài bằng nhau, như hình 20?

(Gợi ý: Có thể dựa vào ý b ở bài 1)

b) Nêu cách chia đường tròn (O) thành 6 cung có độ dài bằng nhau, như hình 21?

(Gợi ý: Có thể dựa vào ý a ở bài 1)

c) Nêu cách chia đường tròn (O) thành 12 cung có độ dài bằng nhau, như hình 22?

(Gợi ý: Do $30^\circ\times 12 = 360^\circ$) nên có thể dựa vào ý c ở bài 1)

Trả lời:

a) Vẽ hai đường kính JL và KI vuông góc với nhau, các điểm I, J, K, L chia hình tròn thành 4 cung tròn bằng nhau như hình 20.

b) Bước 1: Dùng compa xác định đoạn thẳng có độ dài bằng bán kính đường tròn.

Bước 2: Giữ nguyên độ mở của compa, lấy 1 điểm bất kì trên đường tròn, vẽ các cung tròn mới liên tiếp có bán kính R cắt cung tròn cũ tại 6 điểm ta được hình 21.

c) Dựa theo cách làm ý c bài 1, ta xác định các cung liên tiếp có số đo bằng $30^\circ$

Câu 3: Trang 80 toán VNEN 9 tập 2

Chứng minh rằng: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

(Gợi ý: Xét từng trường hợp, khi hai dây song song nằm cùng phía với tâm đường tròn; khi hai dây song song và nằm khác phía với tâm đường tròng)

Trả lời:

TH1: Hai dây song song và nằm cùng phía với tâm đường tròn:

Ta cần chứng minh: cung AC = cung BD

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của CD với OA và OB.

Tam giác ODC cân tại O nên $\widehat{D_1} = \widehat{C_1}$ (1)

MNAB là hình thang cân $\Rightarrow \widehat{M_2} = \widehat{N_2} \Rightarrow \widehat{M_1} = \widehat{N_1}$ (2)

Từ (1) và (2), tam giác OND và tam giác OMC đồng dạng (g.g)

$\Rightarrow \widehat{O_1} = \widehat{O_3} \Rightarrow $ cung AC = cung BD

TH2: Khi hai đường thẳng AB và CD nằm khác phía so với O

Kẻ OI $\perp $ AB; OK $\perp $ CD như hình vẽ.

Do AB // CD nên I, O, K thẳng hàng.

Các tam giác OAB và OCD cân tại O có OI và OK lần lượt là đường cao nên đồng thời là đường phân giác.

$\Rightarrow \widehat{AOI} = \widehat{IOB};\; \widehat{COK} = \widehat{KOD}$. (*)

Ta có: $\widehat{AOC} = \widehat{IOK} - \widehat{AOI} - \widehat{COK}$ (1)

$\widehat{BOD} = \widehat{IOK} - \widehat{BOI} - \widehat{DOK}$ (2)

Từ (1) (2) và (*) ta có $\widehat{AOC} = \widehat{BOD}$ hay cung AC = cung BD

Câu 4: Trang 80 toán VNEN 9 tập 2

Chứng minh rằng: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

(Gợi ý: Dựa vào tính chất tam giác cân)

Trả lời:

Giả sử, M là điểm chính giữa cung AB, ta cần chứng minh I là trung điểm của AB

$\Rightarrow $ cung AM = cung MB $\Rightarrow $ AM = MB (Mối liên hệ giữa cung và dây cung) (1)

Lại có OA = OB = R (2)

Từ (1) và (2) ta có O và M cách đều hai điểm A và B

$\Rightarrow $ OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

$\Rightarrow $ AI = IB (I là giao điểm của OM và AB) hay I là trung điểm của AB

Câu 5: Trang 80 toán VNEN 9 tập 2

Chứng minh rằng: Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung không là nửa đường tròn thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại, đường kính vuông góc với một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung do dây đó căng.

Trả lời:

Chiều thuận: Xem câu 4

Chiều nghịch: Đường kính đi vuông góc với một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung do dây đó căng.

Giả sử, đường kính OM vuông góc với dây cung AB và cắt đường tròn tại M. Ta cần chứng minh M là điểm chính giữa của cung AB.

Xét tam giác OAB cân tại O có OI là đường cao

$\Rightarrow $ OI là trung tuyến của tam giác OAB hay I là trung điểm của AB.

Xét tam giác MAB có MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến kẻ từ M nên tam giác MAB cân tại M

$\Rightarrow $ MA = MB $\Rightarrow $ cung MA = cung MB (đpcm)

Câu 6: Trang 80 toán VNEN 9 tập 2

Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Gọi (O) là đường tròn đi qua các đỉnh của tam giác ABC. Gọi T là giao điểm của ON và AB, biết P thuộc đoạn BP.

a) So sánh hai cung nhỏ BC và BA.

b) Chứng minh rằng OM > OP

Trả lời:

a) Ta có: N là trung điểm của AC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó)

$\Rightarrow $ ON đi qua điểm chính giữa cung AC.

Theo đề bài, A và B nằm ở hai phía của đường thẳng ON

$\Rightarrow $ AB > BC $\Rightarrow $ cung nhỏ AB > cung nhỏ BC (mối liên hệ giữa dây và cung).

b) 

Ta có: N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC.

Theo bài 5, $\Rightarrow OP \perp AB;\;OM \perp BC;\;ON \perp AC$

Xét các tam giác BOP và BOM vuông tại P và M:

$OP^2 = BO^2 - BP^2 = R^2 - BP^2$ (Định lý Pytago)

$OM^2 = BO^2 - BM^2 = R^2 - BM^2 $ (Định lý Pytago)

Lại có: $BP = \frac{1}{2} AB$; $BM = \frac{1}{2} BC$

Mà AB > BC $\Rightarrow BP > BM \Rightarrow BP^2 > BM^2 \Rightarrow - BP^2 < - BM^2$

$\Rightarrow OP^2 < OM^2$ hay OP < OM (đpcm)

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 80 toán VNEN 9 tập 2

Hãy chia đường viền của một chiếc đồng hồ có dạng hình tròn thành 12 phần bằng nhau để gắn các số chỉ giờ.

Trả lời:

Xem ý c) bài 2 ở trên