Giải Toán 9 sách VNEN bài 9: Giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn

A. B Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. Thực hiện các hoạt động sau

Anh Hoàng trở hàng bằng xe đạp lên thị xã để bán. Lúc về, anh đã tăng vận tốc thêm 3km/h, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của anh Hoàng lúc đi, biết quãng đường từ nhà đến thị xã 30km.

Phân tích bài toán: sgk trang 58

Điền vào ô trống trong bảng say các số hoặc biểu thức để giải bài toán:

• Viết tiếp vào chỗ chấm (...) cho đúng:

Hiệu giữa thời gian đi và thời gian về là: $......................$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút hay $\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình: $...................$

• Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để hoàn thiện lời giải bài toán:

Gọi vận tốc lúc đi của anh Hoàng là x (km/h, x > 0).

Thời gian anh Hoàng đi từ ngày lên thị xã là: $....................$

Vận tốc lúc về của anh Hoàng là: $.......................$

Thời gian anh Hoàng quay trở về là: $........................$

Theo bài ra, thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút hay $\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$....................................$

Giải phương trình ta được: $.....................$

Kiểm tra với điều kiện của ẩn, ta có: $....................$

Vậy vận tốc anh Hoàng lúc đi là: $.............................$

Trả lời:

• Viết tiếp vào chỗ chấm (...) cho đúng:

Hiệu giữa thời gian đi và thời gian về là: $\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{90}{x(x+3)}$ (h)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút hay $\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{90}{x(x+3)} = \frac{1}{2}$

• Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để hoàn thiện lời giải bài toán:

Gọi vận tốc lúc đi của anh Hoàng là x (km/h, x > 0).

Thời gian anh Hoàng đi từ ngày lên thị xã là: $\frac{30}{x}$ (h)

Vận tốc lúc về của anh Hoàng là: $x + 3$ (km/h)

Thời gian anh Hoàng quay trở về là: $\frac{30}{x+3}$ (h)

Theo bài ra, thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút hay $\frac{1}{2}$ giờ nên ta có phương trình:

$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{90}{x(x+3)} =  \frac{1}{2}$

Giải phương trình ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 11\\ x = -15\end{matrix}\right.$

Kiểm tra với điều kiện của ẩn, ta có: $x = 12$ (km/h)

Vậy vận tốc anh Hoàng lúc đi là: $12\; (km/h)$

2. Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 59)

3. Giải các bài toán sau

a) Tìm hai số biết hiệu của chúng là 3 và tổng các bình phương của chúng là 369.

b) Một phòng họp có 70 người đi dự họp được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp 4 người mới đủ chỗ ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp được bao nhiêu người?

Trả lời:

a) Gọi số bé là $a$; số lớn là  $a + 3$

Theo bài ra, tổng bình phương của chúng là 369, nên ta có phương trình: $a^2 + (a+3)^2 = 369$

$\Leftrightarrow 2a^2 +6a-360 = 0 \Leftrightarrow a^2 + 3a - 180 = 0$

Giải phương trình trên ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}a = 12\\ a = -15\end{matrix}\right.$

TH1: Số bé là 12, số lớn là 15

TH2: Số bé là -15; số lớn là -12.

b) Gọi số dãy ghế ban đầu của phòng họp là x (dãy ghế), (x > 2)

Ban đầu, số người trên mỗi dãy ghế là: $\frac{70}{x}$ (người)

Số dãy ghế còn lại sau khi bớt đi 2 dãy ghế là: $x - 2$ (dãy ghế)

Số người trên mỗi dãy ghế sau đi bớt đi 2 dãy ghế là: $\frac{70}{x-2}$.

Theo bài ra, khi bớt đi hai dãy ghế, thì mỗi dãy ghế phải xếp thêm 4 người mới đủ chỗ ngồi, nên ta có phương trình sau:

$\frac{70}{x} +4 = \frac{70}{x-2}$

$\Leftrightarrow 70(x-2)+4x(x-2) = 70x$

$\Leftrightarrow 4x^2 -8x-140 = 0$

$\Leftrightarrow x^2-2x-35=0$

Giải phương trình trên ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 7\\ x = -5\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện bài toán, số dãy ghế ban đầu là 7 dãy và số người trong một dãy là 10 người.

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 61 toán VNEN 9 tập 2

Hai cạnh của một mảnh đất hình chữ nhật hơn kém nhau 10m. Tính chu vi mảnh đất ấy, biết diện tích của nó là 1200$m^2$

Trả lời:

Gọi chiều rộng mảnh đất là $x$ (m) ($x > 0$)

$\Rightarrow $ Chiều dài mảnh đất là: $x +10$ (m)

Theo bài ra, diện tích mảnh đất là: $x(x+10)=1200 \Leftrightarrow x^2 +10x-1200=0$

Giải phương trình trên, ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 30\\ x = 40\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, chiều rộng hình mảnh đất là 30 m, chiều dài mảnh đất là 40 m.

Chu vi mảnh đất là: $2\times (40 + 30) = 140$ m.

Câu 2: Trang 61 toán VNEN 9 tập 2

Một ô tô chuyển động đều trên cao tốc với vận tốc đã định để đi hết quãng đường 320km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường, xe nghỉ 10 phút để bơm xăng. Để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 4km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đường.

Trả lời:

Gọi vận tốc đã định của ô tô là $x \;(km/h)$ ($x > 0$)

Thời gian đã định là: $t = \frac{320}{x}$ (h)

Thời gian để đi hết nửa quãng đường là: $t_1 = \frac{\frac{320}{2}}{x} = \frac{160}{x}$ (h)

Vận tốc đi nửa quãng đường cuối là: $x+4$ (km/h)

Thời gian đi nửa quãng đường cuối là: $t_2=\frac{\frac{320}{2}}{x+4} = \frac{160}{x+4}$ (h)

Do ô tô nghỉ 10 phút hay $\frac{1}{6}$ giờ để đổ xăng nên thời gian thực tế để đi hết nửa quãng đường là:

$t' = t_1+t_2 +\frac{1}{6}= \frac{160}{x}+\frac{160}{x+4}+\frac{1}{6}=\frac{x^2 +1924x+3840}{6x(x+4)}$ (h)

Theo bài ra, thời gian đi của ô tô bằng với thời gian dự định, nên ta có phương trình sau:

$\frac{x^2+1924x+3840}{6x(x+4)} = \frac{320}{x} \Leftrightarrow x^2+4x-3840=0$

Giải phương trình trên, ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 60\\ x = -64\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, vận tốc của ô tô là: 60 km/h

Thời gian xe lăn bánh trên đường là: $t = \frac{320}{60} -\frac{1}{6} = \frac{31}{6}\; (h) = 5h10'$

Câu 3: Trang 61 toán VNEN 9 tập 2

Một đội xe ô tô có cùng tải trọng cần trở 36 tấn hàng từ địa điểm A tới địa điểm B. Khi sắp bắt đầu khởi hành thì có thêm 3 ô tô cùng loại nữa, nên mỗi xe ô tô chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu ô tô?

Trả lời:

Gọi x (xe) là số xe ban đầu của đội. ($x > 0,\; x \in N$).

Ban đầu, mỗi xe cần chở số tấn hàng là: $\frac{36}{x}$ (tấn)

Sau khi thêm 3 xe cùng loại, số tấn hàng mỗi xe phải chở là: $\frac{36}{x+3}$

Theo bài ra, sau khi thêm 3 xe thì mỗi xe phải trở ít hơn 1 tấn hàng, nên ta có phương trình sau:

$\frac{36}{x}-\frac{36}{x+3} = 1 \Leftrightarrow x^2+3x-108=0$

Giải phương trình trên ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 9\\ x = -12\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, số xe ban đầu của đội xe là: 9 xe.

Câu 4: Trang 61 toán VNEN 9 tập 2

Một phòng học có một số dãy ghế tổng cộng là 40 chỗ ngồi. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu trong phòng có mấy dãy ghế?

Trả lời:

Gọi số dãy ghế có trong phòng lúc đầu là x (dãy) ($x > 0,\; x \in N$)

Mỗi dãy ghế có số chỗ ngồi là: $\frac{40}{x}$ (chỗ ngồi)

Theo bài ra, để có đủ 55 chỗ ngồi thì cần phải kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ nên ta có phương trình:

$(x + 1)(\frac{40}{x}+1) = 55 \Leftrightarrow x^2 - 14x+40 = 0$

Giải phương trình ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 10\\ x = 4\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, số dãy ghế có trong phòng ban đầu là 10 dãy hoặc 4 dãy ghế

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 61 toán VNEN 9 tập 2

Bác Bình vay 200 000 000 đồng của một ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi, song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được tính gộp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác Bình phải trả tất cả là 242 000 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay của ngân hàng đó là bao nhiêu phần trăm một năm.

Trả lời:

Gọi lãi suất cho vay của ngân hàng là x/ năm. (1 > x > 0)

Số lãi của năm đầu tiên là: $200000000x$ (đồng)

Tiền gốc để tính lãi suất của năm thứ 2 là: $200000000(x+1)$

Số tiền lãi phải trả sau năm thứ 2 là: $200000000(x+1)x$

Tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà bác Bình phải trả sau 2 năm là: $200000000(x+1)x + 200000000(x+1) =200000000(x+1)(x+1) = 200000000(x+1)^2$

Theo bài ra, ta có phương trình: $200000000(x+1)^2 = 242000000 \Leftrightarrow 100x^2+200x-21=0$

Giải phương trình trên ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 0,1\\ x = -2,1\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow x = 0,1$

Vậy, lãi suất cho vay của ngân hàng là: 10%/ năm.

Câu 2: Trang 61 toán VNEN 9 tập 2

Một đa giác lồi có tất cả 170 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Trả lời:

Gọi số cạnh của đa giác lồi là x (cạnh), ($x > 0, x \in N$)

Công thức tính số đường chéo của một đa giác lồi có x cạnh là: $\frac{x(x-3)}{2}$

Theo giả thiết, ta có phương trình: $\frac{x(x-3)}{2} = 170 \Leftrightarrow x^2-3x-340=0$

Giải phương trình trên ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 20\\ x = -17\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện bài toán, vậy, đa giác đó có 20 cạnh.

Câu 3: Trang 61 toán 9 tập 2

Huy đố Nam tìm được một số mà nửa số đó trừ đi nửa đơn vị rồi lại nhân với một nửa số đó thì bằng một nửa đơn vị. Nam đã tìm đúng số đó. Em có biết Nam tìm ra số nào không?

Trả lời:

Gọi số cần tìm là x.

Theo bài ra, ta có phương trình: $(\frac{x}{2} - \frac{1}{2})\times \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x^2 - x  - 2 =0$

Giải phương trình trên, ta được: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 2\\ x = -1\end{matrix}\right.$

Kết hợp với điều kiện, vậy số cần tìm là: $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 2\\ x = -1\end{matrix}\right.$