Giải Toán 9 sách VNEN bài 8: Phương trình quy về phương trình bậc hai

A. B Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Thực hiện các hoạt động sau
Xét các phương trình

i) $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$

ii) $8x^4 - x^2 - 7 = 0$

iii) $4x^4 + 7x^2 -2 = 0$

• Các phương trình trên có đặc điểm gì chung? Dựa vào đặc điểm chung này, viết dạng tổng quát cho các phương trình đó.
• Giải phương trình $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$ bằng cách có thể.
• Có thể đưa việc giải phương trình $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$ về giải một phương trình bậc hai được không? Hãy đề xuất cách giải đó.
• Hãy thảo luận đề đưa ra một phương án chung giải các phương trình dạng này.

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 55)

c) Giải các phương trình trùng phương sau (theo mẫu)

i) $8x^4 - x^2 - 7 = 0$

ii) $4x^4 + 7x^2 -2 = 0$

Trả lời:

a)

• Đặc điểm chung: Đều là các phương trình bậc 4, các ẩn chỉ có số mũ bậc 2 và bậc 4. Dạng tổng quát cho các phương trình là: $ax^4 + bx^2 + c = 0$.
• Giải phương trình $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$ bằng cách có thể.

$x^4 - 5x^2 - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^4 + x^2 - 6x^2 - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x^2(x^2 +1) - 6(x^2 +1) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 +1)(x^2 - 6) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 +1) = 0$(vô lí) hoặc $(x^2 - 6) = 0$

$\Leftrightarrow x^2  = 6$ 

$\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6}$

• Có thể đưa việc giải phương trình $x^4 - 5x^2 - 6 = 0$ về giải một phương trình bậc hai được bằng cách đặt $x^2 = t$ (ĐK: $t \geq 0$)

c)

i) $8x^4 - x^2 - 7 = 0$

Đặt $x^2 = t, t \geq 0$, ta  có: $8t^2 - t - 7 = 0$ (*)

Phương trình (*) có: $a + b+ c = 0 \Rightarrow $ Nghiệm của phương trình (*) là $t_1 = 1 > 0$ (TM) $t_2 = \frac{-7}{8} < 0$ (loại)

Với $t = t_1 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

ii) $4x^4 + 7x^2 -2 = 0$

Đặt $x^2 = t, t \geq 0$, ta  có: $4t^2 + 7t -2= 0$ (**)

$\Delta = 7^2 - 4\times 4\times (-2) = 81 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 9$

$\Rightarrow $ Nghiệm của phương trình (**) là $t_1 = \frac{-7 + 9}{8} =\frac{1}{4} > 0$ (TM) $t_2 = \frac{-7 -9}{8} = -2 < 0$ (loại)

Với $t = t_1 = \frac{1}{4} \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$

2. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để giải phương trình $2 - \frac{x - 7}{x - 5} = \frac{x - 5}{x^2 - 5x} - \frac{1}{x}$ và trả lời các câu hỏi.

Điều kiện: $x\neq ............$

Khử mẫu và biến đổi ta được: $2x(x - 5) -x(x - 7) = .............$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x-10=0$

Nghiệm của phương trình: $x^2 - 3x-10=0$ là $x_1 = ...........;\;x_2 = .............$

Hỏi $x_1$ có thỏa mãn điều kiện trên không? Tương tự đối với $x_2$

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: $...............$

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 56)

c) Giải phương trình: $\frac{x^2 - 3x+6}{x^2-9} = \frac{1}{x-3}$

Trả lời:

a) Điều kiện: $x\neq 0; x \neq 5$

Khử mẫu và biến đổi ta được: $2x(x - 5) -x(x - 7) = (x + 5) - (x - 5) \Leftrightarrow 2x^2 -10x - x^2 + 7x = 10$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x-10=0$

Nghiệm của phương trình: $x^2 - 3x-10=0$ là $x_1 = 5;\;x_2 = - 2$

Hỏi $x_1 = 5$ không thỏa mãn điều kiện, $x_2 = -2$ có thỏa mãn điều kiện

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: $x = -2$

c) 

Điều kiện: $x\neq \pm 3$

Khử mẫu và biến đổi ta được: $x^2 - 3x + 6 = x + 3 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$ (2)

Phương trình bậc hai thu được có $a + b+c = 0$ nên, nghiệm của (2) là:

$x_1 = 1$ (Thỏa mãn điều kiện)

Hoặc $x_2 = 3$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy, phương trình ban đầu có nghiệm là: $x = 1$

3. a) Viết tiếp vào chỗ chấm (...) để giải phương trình tích $(x-5)(x^2+3x+2) = 0$

$(x-5)(x^2+3x+2) = 0$

$\Leftrightarrow x-5=0$ hoặc $x^2+3x+2 = 0$

$\Leftrightarrow x = 5$ hoặc $..................$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $..........................$

b) Đọc kĩ nội dung sau (sgk trang 56)

c) Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích

i) $3x^3 - 5x^2 + 2x=0$

ii) $2x^3 -x^2+2x-1 = 0$

Trả lời:

a) 

$(x-5)(x^2+3x+2) = 0$

$\Leftrightarrow x-5=0$ hoặc $x^2+3x+2 = 0$

$\Leftrightarrow x = 5$ hoặc $(x + 1)(x+2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x=- 1$ hoặc $x=-2$

c)

i) $3x^3 - 5x^2 + 2x=0$

$\Leftrightarrow x(x^2 - 5x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x^2 - 5x + 2 = 0$ (*)

Giải (*): $\Delta = (-5)^2 - 4\times 1\times 2 = 17 > 0$

Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt: $x = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ hoặc $x = \frac{5+\sqrt{17}}{2}$

ii) $2x^3 -x^2+2x-1 = 0$

$\Leftrightarrow 2x(x^2 +1) -(x^2+1) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2 +1)(2x-1) = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 1= 0$ (vô lý) hoặc $2x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 56 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $2x^4 + x^2 - 1 = 0$

b) $x^4 - 13x^2 +30 = 0$

c) $12x^4 - 5x^2 -7 = 0$

d) $2x^4 + 5x^2 + 2 = 0$

e) $4,5x^4 + 4x^2 - \frac{1}{2}$

g) $2x^2 + 1 = \frac{1}{x^2} - 4$

Trả lời:

a) $2x^4 + x^2 - 1 = 0$

Đặt $t = x^2, t \geq 0$

$\Rightarrow 2t^2 + t - 1 = 0$ (1)

$\Delta = 1^2 - 4\times 2\times (-1) = 9 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 3$

Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt: $t_1 = \frac{1}{2}$ (Thỏa mãn điều kiện), $t_2 = -1$ (không thỏa mãn điều kiện)

$\Rightarrow x^2 = t_1 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) $x^4 - 13x^2 +30 = 0$

Đặt $t = x^2, t \geq 0$

$\Rightarrow t^2 - 13t +30 = 0$ (2)

$\Delta = (-13)^2 - 4\times 1\times 30 = 49 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 7$

Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt: $t_1 = 10$ (Thỏa mãn điều kiện), $t_2 = 3$ (Thỏa mãn điều kiện)

Với $t = t_1 = 10 \Rightarrow x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm \sqrt{10}$.

Với $t = t_2 = 3 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$.

c) $12x^4 - 5x^2 -7 = 0$

Đặt $t = x^2, t \geq 0$

$\Rightarrow 12t^2 -5t - 7 = 0$ (3)

Phương trình (3) có $a + b +c = 0$

Vậy (3) có hai nghiệm phân biệt: $t_1 =1$ (Thỏa mãn điều kiện), $t_2 = -\frac{7}{12}$ (không thỏa mãn điều kiện)

$\Rightarrow x^2 = t_1 =1 \Rightarrow x = \pm 1$.

d) $2x^4 + 5x^2 + 2 = 0$

Đặt $t = x^2, t \geq 0$

$\Rightarrow 2t^2 + 5t + 2 = 0$ (4)

$\Delta = 5^2 - 4\times 2\times 2 = 9 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 3$

Vậy (4) có hai nghiệm phân biệt: $t_1 = -\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn điều kiện), $t_2 = -2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

e) $4,5x^4 + 4x^2 - \frac{1}{2}$

Đặt $t = x^2, t \geq 0$

$\Rightarrow 4,5t^2 + 4t - \frac{1}{2} = 0$ (5)

$\Delta' = 2^2 - 4,5\times (-\frac{1}{2}) = 6,25 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 2,5$

Vậy (5) có hai nghiệm phân biệt: $t_1 = \frac{1}{9}$ (Thỏa mãn điều kiện), $t_2 = -1$ (không thỏa mãn điều kiện)

$\Rightarrow x^2 = t_1 = \frac{1}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{3}$.

g) $2x^2 + 1 = \frac{1}{x^2} - 4$

Điều kiện: $x \neq 0$

$\Leftrightarrow 2x^4+5x^2 - 1 = 0$

Đặt $t = x^2, t \geq 0$

$\Rightarrow 2t^2 + 5t - 1 = 0$ (6)

$\Delta = 5^2 - 4\times 2\times (-1) = 33 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = \sqrt{33}$

Vậy (6) có hai nghiệm phân biệt: $t_1 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$ (Thỏa mãn điều kiện), $t_2 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$ (không thỏa mãn điều kiện)

$\Rightarrow x^2 = t_1 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{4} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{-5 + \sqrt{33}}{4}}$.

Câu 2: Trang 57 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{4x}{x + 2} = \frac{x+1}{x-2}$

b) $\frac{2x-1}{x} +3 =\frac{x+3}{2x-1}$

c) $\frac{x-2}{x}+\frac{x}{x-1}-\frac{11}{6} = 0$

d) $\frac{2x}{x-2}-\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}$

e) $\frac{1}{3x^2-27} +\frac{3}{4}=1+\frac{1}{x-3}$

Trả lời:

a) $\frac{4x}{x + 2} = \frac{x+1}{x-2}$ (ĐK: $x \neq \pm 2$)

$\Leftrightarrow 4x(x-2)-(x+1)(x+2) = 0$

$\Leftrightarrow 4x^2 -8x-x^2-3x-2=0$

$\Leftrightarrow 3x^2-11x-2=0$

$\Delta = (-11)^2-4\times 3\times (-2) = 145$

$\Rightarrow x_1 = \frac{11+\sqrt{145}}{6} (tmdk); \;\;x_2 = \frac{11-\sqrt{145}}{6}$ (tmđk)

b) $\frac{2x-1}{x} +3 =\frac{x+3}{2x-1}$ (ĐK: $x \neq 0; \; x \neq \frac{1}{2}$)

$\Leftrightarrow (2x-1)^2 + 3x(2x-1)-(x+3)x = 0$

$\Leftrightarrow 9x^2-10x+1 = 0$ (2)

Phương trình (2) có $a+b+c = 0$

$\Rightarrow x_1 = 1 (tmdk);\;x_2 = \frac{1}{9} (tmdk)$

c) $\frac{x-2}{x}+\frac{x}{x-1}-\frac{11}{6} = 0$ (ĐK: $x \neq 0;\; x\neq 1$)

$\Leftrightarrow 6(x-2)(x-1) + 6x^2 -11x(x-1) = 0$

$\Leftrightarrow x^2-7x+12=0$ (3)

$\Delta = (-7)^2 - 4\times 1\times 12 = 1$

$\Rightarrow x_1 = 4 (tmdk);\;x_2 = 3 (tmdk)$

d) $\frac{2x}{x-2}-\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}$ (ĐK: $x\neq 2;\; 3$

$\Leftrightarrow 2x(x-3) - 5(x-2) - 5=0$

$\Leftrightarrow 2x^2-11x+5 = 0$

$\Delta = (-11)^2 - 4\times 2\times 5 = 81 \Rightarrow \sqrt{\Delta} =9$

$\Rightarrow x_1 = 5 (tmdk); \; x_2 = \frac{1}{2} (tmdk)$

e) $\frac{1}{3x^2-27} +\frac{3}{4}=1+\frac{1}{x-3}$ (ĐK: $x\neq \pm 3$)

$\Leftrightarrow 4 + 3(3x^2 - 27) - 4(3x^2 - 27) - 12(x+3) = 0$

$\Leftrightarrow 4 + 9x^2 -81 -12x^2+108-12x-36=0$

$\Leftrightarrow 3x^2+12x+5 = 0$

$\Delta' = 6^2 - 3\times 5 = 21$

$\Rightarrow x_1 = \frac{-6+\sqrt{21}}{3} (tmdk);\;x_2 = \frac{-6-\sqrt{21}}{3}$

Câu 3: Trang 57 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Giải các phương trình sau:

a) $(4x^2 - 25)(2x^2 - 7x -9) = 0$

b) $(x+3)(x^2-3x+5)=0$

c) $(3x^2-11x-14)[2x^2+(1-\sqrt{3})x +3-\sqrt{3}] = 0$

Trả lời:

a) $(4x^2 - 25)(2x^2 - 7x -9) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}4x^2 - 25 = 0\\ 2x^2 - 7x -9 =0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2 = \frac{25}{4}\\ 2x^2 - 7x -9 =0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_{3,4} = \pm \frac{5}{2}\\ 2x^2 - 7x -9 =0\;(1)\end{matrix}\right.$

Giải (1):

$\Delta = (-7)^2-4\times 2\times(-9) = 121 \Rightarrow \sqrt{\Delta } = 11$

$\Rightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = \frac{-(-7) + 11}{4} = \frac{9}{2}\\ x_1 = \frac{-(-7) - 11}{4} =-1\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: $x_1 = \frac{9}{2}$; $x_2 = -1$ và $x_{3,4} = \pm \frac{5}{2}$

b) $(x+3)(x^2-3x+5)=0$

$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x+3=0\\ x^2-3x+5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x=-3\\ x^2-3x+5\;(2)\end{matrix}\right.$

Giải (2)

$\Delta = (-3)^2 - 4\times 1\times 5 = -11 < 0$

Vậy (2) vô nghiệm.

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x = -3$

c) $(3x^2-11x - 14)[2x^2+(1-\sqrt{3})x +3-\sqrt{3}] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}3x^2-11x-14=0\;(3)\\ 2x^2+(1-\sqrt{3})x +3-\sqrt{3} =0\;(4)\end{matrix}\right.$

Giải (3):

$\Delta = (-11)^2-4\times 3\times (-14) =289 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 17$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=\frac{-(-11) +17}{6} = \frac{14}{3}\\ x_2=\frac{-(-11) -17}{6} = -1\end{matrix}\right.$

Giải (4):

Phương trình có: $a+b+c=0$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_3=1\\ x_4=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.$

Câu 4: Trang 57 toán VNEN 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) $x^3-5x^2-2x+10=0$

b) $x^5+2x^3-x^2-2=0$

c) $(2x^2-5x+1)^2 = (x^2-5x+6)^2$

d) $(2x^2-3)^2-4(x-1)^2=0$

Trả lời:

a) $x^3-5x^2-2x+10=0$

$\Leftrightarrow x(x^2-2)-5(x^2-2)=0$

$\Leftrightarrow (x^2-2)(x-5)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2=2\\ x = 5\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = \pm \sqrt{2}\\ x = 5\end{matrix}\right.$

b) $x^5+2x^3-x^2-2=0$

$\Leftrightarrow x^3(x^2+2)-(x^2+2) = 0$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(x^3-1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2+2=0\\ x^3-1=0\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2=-2(vô lí) \\ x=1\end{matrix}\right.$

c) $(2x^2-5x+1)^2 = (x^2-5x+6)^2$

$\Leftrightarrow (2x^2-5x+1)^2 - (x^2-5x+6)^2=0$

$\Leftrightarrow (x^2-5)(3x^2-10x+7)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x^2-5=0\;\; (1)\\ 3x^2-10x+7=0\;\;(2)\end{matrix}\right.$

Giải (1):

$x^2-5 = 0 \Leftrightarrow x =\pm \sqrt{5}$

Giải (2):

$\Delta' = (-5)^2-3\times 7=4 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 2$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1=1\\ x_2=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

d) $(2x^2-3)^2-4(x-1)^2=0$

$\Leftrightarrow (2x^2-3)^2-(2x-2)^2=0$

$\Leftrightarrow (2x^2-2x-1)(2x^2+2x-5)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}2x^2-2x-1=0\;\; (3)\\ 2x^2+2x-5=0\;\;(4)\end{matrix}\right.$

Giải (3)

$\Delta' = (-1)^2-2\times (-1) = 3 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}\\ x_2 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.$

Giải (4):

$\Delta' = 1^2-2\times (-5) = 11 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = \frac{-1+\sqrt{11}}{2}\\ x_2 = \frac{-1-\sqrt{11}}{2}\end{matrix}\right.$

D. Hoạt động vận dụng

Nam và Bình được đại diện cho trường tham gia cuộc thi chạy ma-ra-thong hạng 10km. Họ xuất phát cùng nhau với cùng vận tốc là x km/h. Sau khi chạy được 2km, Nam tăng vận tốc của mình thêm 1km/h và chạy quãng đường còn lại với vận tốc không đổi là (x+1) km/h. Bình vẫn duy trì vận tốc của mình trong cả đường đua. Kết quả là Nam về đích sớm hơn Bình 40 phút.

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian mà Nam hoàn thành quãng đường đua theo biến x.

b) Kết quả cuộc đua cho thấy Nam đã về đích sớm hơn Bình 40 phút. Lập phương trình ẩn x thể hiện giả thiết này và chỉ ra rằng nó có thể được thu gọn thành phương  trình bậc hai: $x^2+x-12=0$

c) Giải phương trình $x^2+x-12=0$ để tìm vận tốc xuất phát của Nam và Bình.

Trả lời:

a) Thời gian Nam chạy với vận tốc x (km/h) là: $t_1 = \frac{2}{x}$ (h); ($x>0$) 

Thời gian Nam chạy với vận tốc (x + 1) km/h là: $t_2 = \frac{10 - 2}{x+1} = \frac{8}{x+1}$ (h);

Tổng thời gian Nam chạy hết đường đua là: $t = t_1 + t_2 = \frac{2}{x} + \frac{8}{x+1} = \frac{2(x+1)+8x}{x(x+1)} = \frac{10x +2}{x(x+1)}$ (h);

b) Thời gian Bình chạy hết quãng đường đua là: $t' = \frac{10}{x}$ (h);

Đổi: 40 phút = $\frac{2}{3}$ (h)

Nam về đích sớm hơn Bình $\frac{2}{3}$ giờ nên: $t - t' =\frac{10x +2}{x(x+1)}-\frac{10}{x}=\frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow 3\times (10x+2)-10\times 3(x+1) - 2x(x+1) =0$

$\Leftrightarrow 30x+6-30x-30-2x^2-2x=0$

$\Leftrightarrow 2x^2+2x-24=0$

$\Leftrightarrow x^2+x-12=0$

c)

$x^2+x-12=0$

$\Delta = 1^2-4\times 1\times (-12) = 49 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 7$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x = 3 (tm)\\ x = -4 (loại)\end{matrix}\right.$

Vậy, vận tốc khi xuất phát của Nam và Bình là 3 km/h

E. Hoạt động tìm tòi, mở rộng

Giải mỗi phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

1. $(6x^2-7x)^2-2(6x^2-7x)-3=0$

2. $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12=0$

3. $(x+2)^2(x^2+4x)=5$

4. $(x+1)(x+4)(x^2+5x+6)=24$

5.$x-3\sqrt{x} = 5\sqrt{x}-7$

6.$(\frac{2x-1}{x-2})^2 -4\times (\frac{2x-1}{x+2}) +3 =0$

7. $x-2-2\sqrt{x-2}=0$

Trả lời:

1. $(6x^2-7x)^2-2(6x^2-7x)-3=0$ (1)

Đặt $t = 6x^2-7x$

$\Rightarrow $ Phương trình (1) trở thành: $t^2-2t-3 = 0$ (1')

Phương trình (1') có $a-b+c = 0$ nên phương trình (1') có hai nghiệm là: $t_1 = -1;\;t_2 = 3$

• TH1: Với $t = t_1 = -1$

$\Rightarrow 6x^2-7x = -1$

$\Leftrightarrow 6x^2-7x+1=0$

$\Delta = (-7)^2-4\times 6\times 1 = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = 1\\ x_2 = \frac{1}{6}\end{matrix}\right.$

• TH2: Với $t = t_2 = 3$

 $\Rightarrow 6x^2-7x = 3$

$\Leftrightarrow 6x^2-7x-3=0$

$\Delta = (-7)^2-4\times 6\times 1 = 121 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=11$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_3 = \frac{3}{2}\\ x_4 = \frac{-1}{3}\end{matrix}\right.$

2. $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12=0$ (2)

Đặt $t = x^2-x$

$\Rightarrow $ Phương trình (2) trở thành: $t^2-8t+12= 0$ (2')

$\Delta' = (-4)^2-1\times 12 = 4 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=2$

$\Rightarrow t_1 = \frac{-(-4)+2}{1} = 6;\;\;t_2= \frac{-(-4)-2}{1} = 2$

• TH1: $t = t_1 = 6$

$\Rightarrow x^2-x=6$

$\Leftrightarrow x^2-x -6=0$

$\Delta = (-1)^2-4\times 1\times (-6) = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = 3\\ x_2 =-2\end{matrix}\right.$

• TH2: $t=t_2 = 2$

$\Rightarrow x^2-x=2$

$\Leftrightarrow x^2-x -2=0$

$\Delta = (-1)^2-4\times 1\times (-2) = 9 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=3$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_3 = 2\\ x_4 =-1\end{matrix}\right.$

3. $(x+2)^2(x^2+4x)=5$ (3)

$\Leftrightarrow (x^2+4x+4)(x^2+4x)=5$

Đặt $t = x^2+4x$

$\Rightarrow $ Phương trình (3) trở thành: $(t+4)t= 5 \Leftrightarrow t^2+4t-5 =0$ (3')

Phương trình (3') có: $a+b+c=0$ nên nghiệm của (3') là:

$\Rightarrow t_1 = 1;\;\;t_2=-52$

• TH1: $t = t_1 = 1$

$\Rightarrow x^2+4x=1$

$\Leftrightarrow x^2+4x-1=0$

$\Delta' = 2^2-1\times (-1) = 5 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = -2+\sqrt{5}\\ x_2 =-2-\sqrt{5}\end{matrix}\right.$

• TH2: $t=t_2 = -5$

$\Rightarrow x^2+4x=-5$

$\Leftrightarrow x^2+4x+5=0$

$\Delta' = 2^2-1\times 5 = -1$

$\Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.

4. $(x+1)(x+4)(x^2+5x+6)=24$ (4)

$\Leftrightarrow (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=24$

Đặt $t = x^2+5x+4$

$\Rightarrow $ Phương trình (4) trở thành: $t(t+2)= 24 \Leftrightarrow t^2+2t-24=0$ (4')

$\Delta' = 1^2-1\times (-24) = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta }=5$

$\Rightarrow t_1 = 4;\;\;t_2= -6$

• TH1: $t = t_1 = 4$

$\Rightarrow x^2+5x+4=4$

$\Leftrightarrow x^2+5x=0$

$\Leftrightarrow x(x+5)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}x_1 = 0\\ x_2 =-5\end{matrix}\right.$

• TH2: $t=t_2 = -6$

$\Rightarrow x^2+5x+4=-6$

$\Leftrightarrow x^2+5x+10=-15$

$\Rightarrow $ Phương trình vô nghiệm.

5.$x-3\sqrt{x} = 5\sqrt{x}-7$  (ĐK: $x\geq 0$)

$\Leftrightarrow x -8\sqrt{x}+7=0$(5)

Đặt $t = \sqrt{x}$ , (ĐK: $t\geq 0$)

$\Rightarrow $ Phương trình (5) trở thành: $t^2-8t+7= 0$ (5')

Phương trình (5') có $a+b+c=0$ nên nghiệm của (5') là:

$\Rightarrow t_1 = 1 \;(tm);\;\;t_2=7\; (tm)$

• TH1: $t = t_1 = 1$

$\Rightarrow \sqrt{x}=1$

$\Leftrightarrow x=1$

• TH2: $t=t_2 = 7$

$\Rightarrow \sqrt{x}=7$

$\Leftrightarrow x=49$

6.$(\frac{2x-1}{x-2})^2 -4\times (\frac{2x-1}{x+2}) +3 =0$ (6) (Đk: $x\neq2$)

Đặt $t = \frac{2x-1}{x-2}$

$\Rightarrow $ Phương trình (6) trở thành: $t^2-4t+3= 0$ (6')

Phương trình (6') có $a+b+c=0$ nên nghiệm của (6') là:

$\Rightarrow t_1 = 3;\;\;t_2= 1$

• TH1: $t = t_1 = 3$

$\Rightarrow \frac{2x-1}{x-2}=3$

$\Leftrightarrow 2x-1=3(x-2)$

$\Leftrightarrow x-5=0$

$\Leftrightarrow x=5\;(tm)$

• TH2: $t=t_2 = 1$

$\Rightarrow \frac{2x-1}{x-2}=1$

$\Leftrightarrow 2x-1=x-2$

$\Leftrightarrow x=3\; (tm)$

7. $x-2-2\sqrt{x-2}=0$ (7) (Đk: $x\geq 2$)

Đặt $t = \sqrt{x-2}$; (Đk: $t\geq 0$)

$\Rightarrow $ Phương trình (7) trở thành: $t^2-2t= 0$ (7')

$\Leftrightarrow t(t-2)=0$

$\Leftrightarrow t_1 = 0\;(tm);\;\;t_2= 2 \;(tm)$

• TH1: $t = t_1 = 0$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}=0$

$\Leftrightarrow x-2=0$

$\Leftrightarrow x=2$

• TH2: $t=t_2 = 2$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}=2$

$\Leftrightarrow x-2=4$

$\Leftrightarrow x=6$