Giải Toán 9 sách VNEN bài 7: Luyện tập

C. Hoạt động luyện tập

Câu 1: Trang 52 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-et tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) $7x^2 - 2x - 5 = 0$

b) $x^2 - 3x + 6 = 0$

c) $3x^2 - 6x + 2 = 0$

d) $12x62 - 5x - 1 = 0$

Trả lời:

a) $7x^2 - 2x - 5 = 0$

Phương trình trên có $a\times c < 0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$.

Tổng 2 nghiệm là: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{7} = \frac{2}{7}$

Tích hai nghiệm là: $x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{7}$

b) $x^2 - 3x + 6 = 0$

Phương trình trên có $\Delta = (-3)^2 - 4\times 1\times 6 = -15 < 0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $3x^2 - 6x + 2 = 0$

Phương trình trên có $\Delta' = (-3)^2 - 3\times 2 = 2 > 0$ nên phương trình đã cho hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$.

Tổng 2 nghiệm là: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{3} = 2$

Tích hai nghiệm là: $x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$

d) $12x^2 - 5x - 1 = 0$

Phương trình trên có $a\times c < 0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_1$ và $x_2$.

Tổng 2 nghiệm là: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{12}$

Tích hai nghiệm là: $x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{12}$

Câu 2: Trang 53 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của phương trình đó theo m.

a) $x^2 - 4x + m = 0$

b) $x^2 - 2(m+3)x + m^2 + 3 = 0$

Trả lời:

a) $x^2 - 4x + m = 0$

$\Delta' = (-2)^2 - 1\times m = 4 - m$.

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow 4 - m \geq 0 \Leftrightarrow m < 4$.

Với $m < 4$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm, gọi hai nghiệm đó là $x_1$ và $x_2$.

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4\\ x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m}{1} = m\end{matrix}\right.$

b) $x^2 - 2(m+3)x + m^2 + 3 = 0$

$\Delta' = [-(m + 3)]^2 - 1\times (m^2 + 3) = 6(m + 1)$.

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow 6(m + 1) \geq 0 \Leftrightarrow m > -1$.

Với $m > -1$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm, gọi hai nghiệm đó là $x_1$ và $x_2$.

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2(m+3)}{1} = 2(m+3)\\ x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m^2 + 3}{1} = m^2 + 3\end{matrix}\right.$

Câu 3: Trang 53 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tính nhẩm các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) $1,3x^2 -1,5x + 0,2 = 0$

b) $\sqrt{7}x^2 - (1-\sqrt{7})x - 1 = 0$

c) $2x^2 - \sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0$

d) $(m - 2)x^2 - (2m + 5)x + m + 7 = 0$ (m là tham số, $m \neq 2$).

Trả lời:

a) $1,3x^2 -1,5x + 0,2 = 0$

Ta có: $a+b+c = 1,3 + (-1,5) + 0,2 = 0$

$\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{0,2}{1,3} = \frac{2}{13}$

b) $\sqrt{7}x^2 - (1-\sqrt{7})x - 1 = 0$

Ta có: $a - b + c = \sqrt{7} - [-(1-\sqrt{7})] + 1 = 0$

$\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1$ và $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{-\sqrt{7}}{7}$

c) $2x^2 - \sqrt{3}x - (2 + \sqrt{3}) = 0$

Ta có: $a - b + c = 2 - (-\sqrt{3}) + [- (2 + \sqrt{3})] = 0$

$\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = -1$ và $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{- (2 + \sqrt{3})}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

d) $(m - 2)x^2 - (2m + 5)x + m + 7 = 0$ (m là tham số, $m \neq 2$).

Ta có: $a+b+c = (m - 2) + [- (2m + 5)] + (m + 7) = 0$

$\Rightarrow $ Phương trình có hai nghiệm: $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m + 7}{m - 2}$

Câu 4: Trang 53 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) $u + v = -8;\;u\times v = 7$

b) $u + v = \frac{1}{2};\;u\times v = -\frac{15}{2}$

c) $u - v = 5;\;u\times v = -4$

Trả lời:

a) $u + v = -8;\;u\times v = 7$

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: $x^2 + 8x + 7 = 0$ (1)

Phương trình thu được có: $a - b + c = 1 - 8 + 7 = 0$ do đó (1) có hai nghiệm là $x_1 = -1$ và $x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{7}{1} = -7$

Vậy, hai số cần tìm là: -1 và -7

b) $u + v = \frac{1}{2};\;u\times v = -\frac{15}{2}$

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: $x^2 - \frac{1}{2}x -\frac{15}{2} = 0$ (2)

$\Delta = (-\frac{1}{2})^2 - 4\times 1\times (-\frac{15}{2}) = \frac{121}{4} \Rightarrow \sqrt{\Delta } = \frac{11}{2}$

Vậy, hai số cần tìm là: $x_1 = \frac{-(\frac{-1}{2}) + \frac{11}{2}}{2} = 3$; $x_2 = \frac{-(\frac{-1}{2}) - \frac{11}{2}}{2} = \frac{-5}{2}$

c) $u - v = 5;\;u\times v = -4$

Đặt $v' = -v \Rightarrow u + v' = 5;\; u\times v' = 4$

$u$ và $v'$ là hai nghiệm của phương trình: $x^2 - 5x + 4 = 0$

Phương trình (3) có $a+b+c = 0 \Rightarrow $ Phương trình (3) có nghiệm $x_1 = 1$ và $x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$

Vậy hai số cần tìm là $u = 1$ và $v = -4$ hoặc $u = 4$ và $v = -1$

Câu 5: Trang 53 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hia số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) $-3$ và $7$

b) $2$ và $\frac{1}{3}$

c) $1 - \sqrt{3}$ và $2 + \sqrt{3}$

d) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ và $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Trả lời:

a) $-3$ và $7$

Tổng hai số là: $(-3) + 7 = 4$

Tích hai số là: $(-3)\times 7 = -21$

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: $x^2 - 4x - 21 = 0$.

b) $2$ và $\frac{1}{3}$

Tổng hai số là: $2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Tích hai số là: $2\times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: $x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{2}{3} = 0$.

c) $1 - \sqrt{3}$ và $2 + \sqrt{3}$

Tổng hai số là: $(1 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 3$

Tích hai số là: $(1 - \sqrt{3})\times (2 + \sqrt{3}) =-1 - \sqrt{3}$

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: $x^2 - 3x - (1 + \sqrt{3}) = 0$.

d) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ và $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Tổng hai số là: $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$

Tích hai số là: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})\times (\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}) = 1$

Hai số đã cho là nghiệm của phương trình: $x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.

Câu 6: Sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$. Gọi $x_1$; $x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

b) $B = x_1^2 + x_2^2$

c) $C = x_1^3 + x_2^3$ 

Trả lời:

Phương trình có: $\Delta  = (-5)^2 - 4\times 1\times 3 = 13 > 0$.

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1$ và $x_2$.

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $(I)\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5\\ x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3\end{matrix}\right.$

a) $A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1\times x_2} = \frac{5}{3}$

b) $B = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 -2\times x_1\times x_2 = 5^2 - 2\times 3 = 19$

c) $C = x_1^3+ x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3\times x_1^2\times x_2 - 3\times x_1\times x_2^2$

$= \;(x_1 + x_2)^3 - 3\times x_1\times x_2(x_1 + x_2) = 5^3 - 3\times 3\times 5 = 80$ 

Câu 7: Trang 53 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho phương trình $2x^2 - x - 15 = 0$. Kí hiệu $x_1,\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$

b) $1 + x_1$ và $1 + x_2$

Trả lời:

Phương trình $2x^2 - x - 15 = 0$ có $a\times c < 0$ nên có hai nghiệm phân biệt.

Tổng và tích của hai nghiệm đó là: $(I)\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}\\ x_1\times x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{2}\end{matrix}\right.$

a) Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình cần lập là: 

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1\times x_2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{-15}{2}} = -\frac{1}{15}\\ \frac{1}{x_1}\times \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1\times x_2} = \frac{1}{\frac{-15}{2}} = \frac{-2}{15}\end{matrix}\right.$

Phương trình lập được là: $x^2 + \frac{1}{15}x - \frac{2}{15} = 0 \Leftrightarrow 15x^2 + x - 2 = 0$

b) Tổng và tích của hai nghiệm của phương trình cần lập là:

$\left\{\begin{matrix}(1 + x_1) + (1 + x_2) = (x_1 + x_2) + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}\\ (1 + x_1)(1+x_2) = x_1\times x_2 + (x_1+x_2) + 1 =\frac{-15}{2} + \frac{1}{2} + 1 = -6\end{matrix}\right.$

Phương trình lập được là: $x^2 - \frac{5}{2} x -6 = 0$

D. E Hoạt động vận dụng và tìm tòi, mở rộng

Câu 1: Trang 53 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho phương trình: $2x^2 -6x+m+7 = 0$

a) Giải phương trình với m = -3;

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có một trong các nghiệm bằng -4

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1;\;x_2$ thỏa mãn điều kiện: $x_1 = -2x_2$

Trả lời:

a) Thay m = -3 vào phương trình, ta được: $2x^2 -6x+4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$

Phương trình thu được có: $a + b + c= 1 - 3 + 2 = 0$ nên có hai nghiệm là: $x_1 = 1$ và $x_2 = 2$

b) $\Delta' = (-3)^2 - 2\times (m+7) = -2m -5$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow -2m-5 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{2}$.

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3\\ x_1\times x_2 = \frac{m+7}{2}\end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1 = -4$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}(-4) + x_2 = 3\\ (-4)\times x_2 = \frac{m+7}{2}\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_2 = 7\\ (-4)\times 7 = \frac{m+7}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow  \frac{m+7}{2} = -28 \Leftrightarrow m + 7 = -28\times 2 = -56 \Leftrightarrow m = -63$ (TM)

c) Theo hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3 \;\; (1)\\ x_1\times x_2 = \frac{m+7}{2} \;\;(2)\end{matrix}\right.$

Kết hợp điều kiện $x_1 = -2x_2$ với (1), ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = 3\\ x_1= -2x_2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1 = 6\\ x_2 = -3\end{matrix}\right.$

Thay $x_1;\;x_2$ vào (2), ta được: $6\times (-3) = -18 = \frac{m+7}{2} \Rightarrow m = -43$ (TM)

Câu 2: Trang 54 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho phương trình: $x^2 - (2a - 1)x - 4a - 3 = 0$

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1;\;x_2$ không phụ thuộc vào a.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất $A = x_1^2 + x_2^2$

Trả lời:

a) $\Delta = [-(2a- 1)]^2 -4\times 1\times (-4a - 3) = 4a^2 + 12a + 13$

$\;\;= (2a)^2 + 2\times 2a\times 3 + 9 + 4 = (2a+3)^2 + 4 \geq 0 \;\forall a$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.

b) Gọi $x_1;\;x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = 2a - 1\\x_1\times x_2 = -4a - 3\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}2(x_1 + x_2) = 4a - 2\\x_1\times x_2 = -4a - 3\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2(x_1 + x_2) + x_1\times x_2 = -5$

c) $A = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2\times x_1\times x_2$

$\; = (2a - 1)^2 - 2\times (-4a - 3) = 4a^2 + 4a + 7 = (2a + 1)^2 + 6$

Ta có: $(2a + 1)^2 \geq 0 \;\forall a \Rightarrow (2a + 1)^2 + 6 \geq 6 \;\;\forall a$

Dấu "=" xảy ra khi $(2a + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow a = \frac{-1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 6 khi $a = \frac{-1}{2}$

Câu 3: Trang 54 sách toán VNEN lớp 9 tập 2

Cho phương trình: $x^2 - 2(m - 2)x + m^2 + 2m - 3 = 0$. Tìm m để phương trình có các nghiệm $x_1;\;x_2$ thỏa mãn hệ thức: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{5}$

Trả lời:

$\Delta' = (m - 2)^2 - 1\times (m^2 + 2m-3) = -6m + 7$

Để phương trình có nghiệm thì: $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow -6m + 7 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{7}{6}$

Với $ m \leq \frac{7}{6}$ thì phương trình có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là $x_1;\;x_2$

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{\begin{matrix}x_1 + x_2 = 2(m-2)\;\;(1)\\x_1\times x_2 = m^2+2m-3\;\;(2)\end{matrix}\right.$

Theo bài ra: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{5} \Leftrightarrow \frac{x_1 + x_2}{x_1\times x_2} = \frac{x_1 + x_2}{5} \;\;(3)$

Thay (1) và (2) vào (3), ta có: $\frac{2(m-2)}{m^2+2m-3} = \frac{2(m-2)}{5} \Leftrightarrow 5\times 2(m - 2) = (m^2 + 2m - 3)\times 2(m - 2)$

$\Leftrightarrow 5(m - 2) = (m^2 + 2m - 3)(m - 2) $

$\Leftrightarrow (m - 2)(m^2 + 2m - 3 - 5) = 0 $

$\Leftrightarrow (m - 2)(m^2 + 2m - 8) = 0$

$\Rightarrow m = 2$ (không thỏa mãn điều kiện)

hoặc $m^2 + 2m - 8 = 0\;\;(4)$

Giải (4):

$\Delta' = 1^2 - 1\times (-8) = 9$

$\Rightarrow m_1 = \frac{-1 + 3}{1} = 2 $ (không thỏa mãn điều kiện)

Hoặc $m_2 = \frac{-1-3}{1} = -4$ (TM)

Vậy m = -4 là giá trị cần tìm