Giải Toán 9 sách VNEN bài 3: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1.b) 

Điền vào chỗ trống để hoàn thành các công thức sau (h.32):

sin$\alpha $ = $\frac{cạnh đối}{cạnh huyền}$ = $\frac{AC}{BC}$;

cos$\alpha $ = $\frac{cạnh kề}{cạnh huyền}$ = $\frac{.......}{.......}$;

tan$\alpha $ = $\frac{cạnh đối}{cạnh kề}$ = $\frac{........}{........}$;

cot$\alpha $ = $\frac{cạnh kề}{cạnh đối}$ = $\frac{.........}{........}$.

Trả lời:

sin$\alpha $ = $\frac{cạnh đối}{cạnh huyền}$ = $\frac{AC}{BC}$;

cos$\alpha $ = $\frac{cạnh kề}{cạnh huyền}$ = $\frac{AB}{BC}$;

tan$\alpha $ = $\frac{cạnh đối}{cạnh kề}$ = $\frac{AC}{AB}$;

cot$\alpha $ = $\frac{cạnh kề}{cạnh đối}$ = $\frac{AB}{AC}$.

Đọc kĩ nội dung sau

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc $\alpha $, kí hiệu sin$\alpha $.
• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc $\alpha $, kí hiệu cos$\alpha $.
• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc $\alpha $, kí hiệu tan$\alpha $ (hay tg$\alpha $).
• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc $\alpha $, kí hiệu cot$\alpha $ (hay cotg$\alpha $).

c) Làm bài tập sau

Bài tập 1: Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha $ trong hình 33 sau:

sin$\alpha $ = $\frac{MN}{NP}$ = $\frac{........}{.......}$

cos$\alpha $ = $\frac{.......}{........}$ = $\frac{........}{........}$

tan$\alpha $ = $\frac{.......}{........}$ = $\frac{........}{........}$

cot$\alpha $ = $\frac{.......}{........}$ = $\frac{........}{........}$

Trả lời:

sin$\alpha $ = $\frac{MN}{NP}$ = $\frac{6}{10}$

cos$\alpha $ = $\frac{MP}{NP}$ = $\frac{8}{10}$

tan$\alpha $ = $\frac{MN}{MP}$ = $\frac{6}{8}$

cot$\alpha $ = $\frac{MP}{MN}$ = $\frac{8}{6}$.

2.a) Tìm hiểu mỗi quan hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau thông qua hoạt động sau

- Quan sát hình 33.

- Tính các tỉ số lượng giác của góc $\beta $.

- Nhận xét mối quan hệ giữa $\alpha $ và $\beta $, sin$\alpha $ và cos$\beta $, cos$\alpha $ và sin$\beta $, cot$\alpha $ và tan$\beta $, tan $\alpha $ và cot$\beta $.

Trả lời:

- Tính:

sin$\beta $= $\frac{MP}{NP}$ = $\frac{8}{10}$

cos$\beta $ = $\frac{MN}{NP}$ = $\frac{6}{10}$

tan$\beta $= $\frac{MP}{MN}$ = $\frac{8}{6}$.

cot$\beta $ = $\frac{MN}{MP}$ = $\frac{6}{8}$.

- Nhận xét:

$\alpha $ + $\beta $ = $90^{\circ}$

sin$\alpha $ = cos$\beta $

cos$\alpha $ = sin$\beta $

tan$\alpha $ = cot$\beta $

cot$\alpha $ = tan$\beta $.

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

c) Thực hiện hoạt động sau để tìm hiểu các tỉ số lượng giác của góc $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$

Bài tập 2 (h,35). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 5cm. Điền tiếp vào chỗ chấm (....):

AC = AB = ............(cm) ;

BC = $\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$ = .............= ..............(cm).

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ABC}$ = $45^{\circ}$ ;

sin$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = ...........;                            cos$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = ...........;

tan$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = ...........;                            cot$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = ...........;

Trả lời:

AC = AB = 5 (cm) ;

BC = $\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} + 5^{2}}$ = 5$\sqrt{2}$(cm).

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ABC}$ = $45^{\circ}$ ;

sin$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ;                            cos$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

tan$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ;                            cot$45^{\circ}$ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

Bài tập 3 (h.36). Cho tam giác ABC đều cạnh 4cm, đường cao AH. Tính số đo độ dài các cạnh AB, AH, BH của tam giác ABH, từ đó tính tỉ số lượng giác của các góc $\alpha $, $\beta $.

Trả lời:

Gọi tên các góc như trong hình vẽ

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC = 4cm và $\widehat{ABC}$ = $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACB}$ = $60^{\circ}$

BH = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.4 = 2cm

Theo định lý Py-ta-go ta có: AH = $\sqrt{AB^{2} - BH^{2}}$ = $\sqrt{4^{2} - 2^{2}}$ = 2$\sqrt{3}$cm

* sin$\alpha $ = $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ ;                         cos$\alpha $ = $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

   tan$\alpha $ = $\frac{BH}{AH}$ = $\frac{2}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ;                  cot$\alpha $ = $\frac{AH}{BH}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$

* sin$\beta $= $\frac{AH}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{4}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;                      cos$\beta $ = $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$        

   tan$\beta $ = $\frac{AH}{BH}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$ ;                   cot$\beta $ = $\frac{BH}{AH}$ = $\frac{2}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 69 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại C, AC = 0,9cm, BC = 1,2cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

Trả lời:

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác ABC ta có:

AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{0,9{2} + 1,2^{2}}$ = 1,5cm

Ta có: 

sinB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{0,9}{1,5}$ = $\frac{3}{5}$

cosB =  $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1,2}{1,5}$ = $\frac{4}{5}$

tanB =  $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{0,9}{1,2}$ = $\frac{3}{4}$

cotB =  $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{1,2}{0,9}$ = $\frac{4}{3}$

Ta có: $\widehat{A}$ + $\widehat{B}$ = $90^{\circ}$ nên:

sin A = cosB =  $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{1,2}{1,5}$ = $\frac{4}{5}$

cos A = sinB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{0,9}{1,5}$ = $\frac{3}{5}$

tan A = cotB =  $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{1,2}{0,9}$ = $\frac{4}{3}$

cot A = tanB =  $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{0,9}{1,2}$ = $\frac{3}{4}$.

Câu 2: Trang 69 sách VNEN 9 tập 1

Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn $45^{\circ}$:

sin$60{\circ}$ ; cos$63^{\circ}$ ; tan$52^{\circ}$ ; cot$81^{\circ}$

Trả lời:

Áp dụng tính chất: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia

Do đó:

sin$60{\circ}$ = cos$30^{\circ}$

cos$63^{\circ}$ = sin$27^{\circ}$

tan$52^{\circ}$ = cot$38^{\circ}$

cot$81^{\circ}$ = tan$9^{\circ}$.

Câu 3: Trang 69 sách VNEN 9 tập 1

Vẽ tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B}$ = $\alpha $, biết:

a) tan$\alpha $ = 2 ;                             b) sin$\alpha $ = $\frac{3}{5}$

Trả lời:

a) Ta có:

tan$\alpha $ = 2 $\Leftrightarrow $ tanB = 2  $\Leftrightarrow $ $\frac{AC}{AB}$ = 2

Ta được hình vẽ:

b) Ta có;

sin$\alpha $ = $\frac{3}{5}$ $\Leftrightarrow $ sinB = $\frac{3}{5}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{3}{5}$  

Ta được hình vẽ:

Câu 4: Trang 69 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 10 cm, cosB = 0,8.

a) Tính các cạnh AB, AC

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Trả lời:

a) Ta có cosB = 0,8 $\Leftrightarrow $ $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{4}{5}$ $\Rightarrow $ AB = 8 cm

Áp dụng định lý Py-ta-go ta được AC = $\sqrt{BC^{2} - AC^{2}}$ =  $\sqrt{10^{2} - 8^{2}}$ = 6 cm.

b) Ta có:

sinC = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$

cosC = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$

tanC = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

cotC = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{6}{8}$ = $\frac{3}{4}$.

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Trang 69 sách VNEN 9 tập 1

Em có biết?

Nhà mái ngói dốc (mái dốc) là một trong những hình thức kiến trúc phổ biến nhất ở Việt Nam. Mái dốc kiểu truyền thống phù hợp với cả kiến trúc phương Đông và phương Tây, phù hợp với khí hậu nhiệt đới móng ẩm của Việt Nam đồng thời lại tương đối rẻ tiền, dễ thi công. Mái dốc thường có ba loại sau đây (h.37(:

Mái một dốc ;                 Mái hai dốc ;                    Mái bốn dốc.

Trong xây dựng, người ta thường sử dụng đến khái niệm 'độ dốc" của mái ngói, được tính bằng công thức:

P = tan$\alpha $ = $\frac{h}{a}$ ,

với h: chiều cao, a: cạnh đáy, P thường được tính theo đơn vị %.

a) Mái dốc là mái có độ dốc > 8%. Em hãy tính góc dốc $\alpha $ tối thiểu của mái dốc.

b) Một ngôi nhà lợp mái ngói hai dốc có độ dốc 50%. Biết chiều cao của mái dốc là 1,2m, Tính bề rộng phần mái dốc của ngôi nhà.

c) Liệu có tồn tại mái có độ dốc 100% không? Vì sao?

Trả lời:

a) Mái dốc là mái có độ dốc > 8%, tức là : 

P = tan$\alpha $ = $\frac{h}{a}$ > 8 $\Leftrightarrow $ $\alpha $ > $83^{\circ}$

b) Ta có công thức tính độ dốc của mái là:

P = tan$\alpha $ = $\frac{h}{a}$ $\Leftrightarrow $ 50 = $\frac{1,2}{a}$ $\Leftrightarrow $ a = 0,024m = 2,4 cm.

c) Giả sử tồn tại mái dốc 100%, tức là khi đó:

P = tan$\alpha $ = $\frac{h}{a}$ = 100 $\Leftrightarrow $  h = 100a.