Giải Toán 9 sách VNEN bài 8: Luyện tập

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 124 sách VNEN 9 tập 1

Điền các từ thích hợp vào chỗ chấm (…)

a) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 4cm) nằm trên…………

b) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 4cm) nằm trên…………

Trả lời:

a) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 4cm) nằm trên đường tròn (O; 6cm)

b) Tâm của các đường tròn có bán kính 2cm tiếp xúc trong với đường tròn (O; 4cm) nằm trên đường tròn (O; 2cm).

Câu 2: Trang 124 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’; 2cm) tiếp xúc ngoài tại A. Từ O và O’ kẻ hai bán kính OC và O’D song song với nhau và cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng OO’.

a)Chứng minh rằng AD và AC vuông góc với nhau;

b)Kéo dài CD cắt OO’ tại K. Tính độ dàu KO’.

Trả lời:

a) Ta có:

$\widehat{COA}$ = $\frac{\widehat{180^{\circ}} - \widehat{CAO}}{2}$ và $\widehat{DO'A}$ = $\frac{\widehat{180^{\circ}} - \widehat{O'AD}}{2}$ 

Mặt khác $\widehat{COA}$ + $\widehat{DO'A}$ = $180^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\frac{\widehat{180^{\circ}} - \widehat{COA}}{2}$ + $\frac{\widehat{180^{\circ}} - \widehat{O'AD}}{2}$ = $180^{\circ}$

$\Leftrightarrow $ $\widehat{COA}$ + $\widehat{O'AD}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{CAD}$ = $90^{\circ}$ hay AD và AC vuông góc với nhau.

b) Theo bài ra ta có: OC // O'D, áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác KOC ta có:

$\frac{KO'}{KO}$ = $\frac{O'D}{OC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{KO'}{KO' + 2 + 3}$ = $\frac{2}{3}$ $\Rightarrow $  KO' = 10cm

Vậy KO' = 10cm.

Câu 3: Trang 125 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AO. Vẽ đường tròn tâm I đường kính AO.

a) Chứng minh đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau tại A.

b) Qua A vẽ đường thẳng cắt (O) tại C và cắt (I) tại D (C, D khác A). Chứng minh ID // OC và OD // CB.

c) Lấy K trên đoạn CB sao cho BK = 2KC. Chứng minh AK đi qua trung điểm của OC.

Trả lời:

a) Vì I là trung điểm của OA nên OI = OA - IA nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.

b) * $\Delta $IAD có IA = ID nên $\Delta $IAD cân tại I$\Rightarrow $ $\widehat{IAD}$ = $\widehat{IDA}$ 

       $\Delta $OAC có OA = OC nên $\Delta $OAC cân tại O $\Rightarrow $ $\widehat{OAC}$ = $\widehat{OCA}$ 

Mặt khác: $\widehat{IAD}$ = $\widehat{OAC}$ $\Rightarrow $ $\widehat{IDA}$ = $\widehat{OCA}$  hay ID // OC

   * Ta chứng minh được ID // OC, theo định lý Ta-lét trong $\Delta $OAC có:

$\frac{ID}{OC}$ = $\frac{IA}{OA}$ = $\frac{2IA}{2OA}$ = $\frac{OA}{BA}$ hay OD // CB.

c) Gọi M là trung điểm BK

Tam giác ABK có: M là trung điểm BK, O là trung điểm AB nên OM là đường trung bình $\Delta $ABK

$\Rightarrow $ MO // KA hay MO // KH

Tam giác OBC có MO // KH, K là trung điểm CM nên MO là đường trung bình $\Delta $OBC 

$\Rightarrow $ H là trung điểm CO 

Vậy AK đi qua trung điểm CO (đpcm).

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 3: Trang 126 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Từ A kẻ lần lượt các tiếp tuyến với (O) và (O'), các tiếp tuyến này cát đường tròn (O) và (O') lần lượt tại D và C. Gọi I là trung điểm của OO'. Lấy K sao cho I la trung điểm của AK.

a) Chứng minh OO'//KB và KB $\perp $ AB.

b) Chứng minh tứ giác OAO'K là hình bình hành.

c) Chứng minh $\Delta $KAD và $\Delta $KAC cân.

d) Lấy E đối xứng với A qua B. Chứng minh bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

Trả lời:

a) Ta có: AB có trung trực là OO'

$\Rightarrow $ IA = IB = IK $\Rightarrow $ $\Delta $ ABK vuông tại B

$\Rightarrow $ AB $\perp $ BK mà AB $\perp $ OO' $\Rightarrow $ OO' // BK.

b) Tứ giác OAO'K có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường $\Rightarrow $ tứ giác OAO'K là hình bình hành

c) Ta có: OK//O'A và O'A $\perp $ AD $\Rightarrow $ OK $\perp $ AD

$\Rightarrow $ OK là trung trực của AD $\Rightarrow $ KA = KD hay tam giác KAD cân

Tương tự ta chứng minh được O'K là trung trực của AC $\Rightarrow $ KA = KC hay tam giác KAC cân

d) Từ câu a ta được AB $\perp $ BK, mặt khác AB = BE

$\Rightarrow $ $\Delta $AKE cân $\Rightarrow $ KE = KA

Từ câu c ta được KA = KD = KC

$\Rightarrow $ KA = KD = KC = KE hay bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn (đpcm).

E. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 125 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O'). Từ M và N kẻ các dường vuông góc với OO' chúng cắt (O) và (O') thứ tự tại P và Q.

a) Tứ giác MNQP là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O').

c) So sánh MN + PQ và MP + NQ.

Trả lời:

a) Ta có: MP//NQ nên tứ giác MNQP là hình thang

Mặt khác OO' vuông góc với MP và NQ tại trung điểm của MP và NQ nên tứ giác MNQP là hình thang cân

b) $\Delta $ OMP có OM = OP nên $\Delta $OMP là tam giác cân

$\Rightarrow $ $\widehat{OPM}$ = $\widehat{OMP}$

Tứ giác MNQP là hình thang cân nên $\widehat{MPQ}$ = $\widehat{PMN}$ 

$\Rightarrow $ $\widehat{OPM}$ + $\widehat{MPQ}$ = $\widehat{OMP}$ + $\widehat{PMN}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{OPQ}$ = $90^{\circ}$ hay OP $\perp $ PQ

Tương tự ta chứng minh được O'Q $\perp $ PQ 

Suy ra PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O').

c) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A cắt MN tại H, cắt PQ tại K

Trong đường tròn (O), theo tính chất hai đường trung tuyến cắt nhau, ta có: MH = AH = HN $\Rightarrow $ MN = 2AH

Trong đường tròn (O'), theo tính chất hai đường trung tuyến cắt nhau, ta có: PK = AK = KQ $\Rightarrow $ PQ = 2AK

$\Rightarrow $ MN + PQ = 2(AH + AK) = 2HK (1)

Mặt khác HK là đương trung bình của hình thang cân MNQP nên

HK = $\frac{MP + NQ}{2}$ $\Rightarrow $ MP + NQ = 2HK (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN + PQ = MP + NQ.

Câu 2: Trang 126 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn đồng tâm (O; 2cm) và (O; 5cm). Vẽ đường tròn (O'; 3cm) sao cho OO' = 10cm. Kẻ tiếp tuyến O'A với (O; 2cm), kéo dài OA cắt (O; 5cm) tại B. Kẻ bán kính O'C song song với OB (B, C nằm cùng trên một nửa mặt phẳng bờ OO'.)

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; 5cm) và (O').

b) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O; 5cm) và (O'; 3cm).

c) Tính độ dài BC.

Trả lời:

a) Vì R + R' = 5 + 3 = 8 < OO' nên (O; 5cm) và (O') không cắt nhau

b) Ta có: AB = OB - OA = 5 - 2 = 3cm

Tứ giác ABCO có O'C//AB và O'C = AB = 3cm $\Rightarrow $ tứ giác ABCO' là hình bình hành $\Rightarrow $ BC//O'A

Vì O'A là tiếp tuyến của (O; 2cm) nên OA $\perp $ O'A $\Rightarrow $ OA $\perp $ BC hay OB $\perp $ BC $\Rightarrow $ BC là tiếp tuyến của (O; 5cm)

Vì O'C // OB mà OB $\perp $ BC nên O'C $\perp $ BC hay BC là tiếp tuyến của (O')

Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O; 5cm) và (O'; 3cm).

c) ABCO' là hình bình hành nên BC = O'A = $\sqrt{OO'^{2} - OA^{2}}$ = $\sqrt{10^{2} - 2^{2}}$ = 4$\sqrt{6}$cm

Vậy BC = 4$\sqrt{6}$cm

Câu 3: Trang 127 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau tại A (R > R'). Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC của hai đường tròn (B $\in $ (O), C $\in $ (O')).

a) Tính BC theo R và R'

b) Đường tròn (I; r) tiếp xúc với hai đường tròn trên và tiếp xúc với BC tại M. Tính r theo R và R'

Trả lời:

a) Ta có: 

BC = $\sqrt{(R + R')^{2} - (R - R')^{2}}$ = $\sqrt{R^{2} + 2RR' + R'^{2} - R^{2} + 2RR' - 2R'^{2}}$ =  $\sqrt{4RR'}$ = 2$\sqrt{RR'}$

b) Ta có:

MB = $\sqrt{(R + r)^{2} - (R - r)^{2}}$ = 2$\sqrt{Rr}$

MC = $\sqrt{(R' + r)^{2} - (R' - r)^{2}}$ = 2$\sqrt{R'r}$

MB + MC = BC 

$\Rightarrow $ 2$\sqrt{Rr}$ + 2$\sqrt{R'r}$ = 2$\sqrt{RR'}$

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{Rr}$ + $\sqrt{R'r}$ = $\sqrt{RR'}$

$\Leftrightarrow $ $\sqrt{r}$ = $\frac{\sqrt{RR'}}{\sqrt{R} + \sqrt{R'}}$ 

$\Rightarrow $ r = $\frac{RR'}{(\sqrt{R} + \sqrt{R'})^{2}}$.

Vậy r = $\frac{RR'}{(\sqrt{R} + \sqrt{R'})^{2}}$.