Giải Toán 9 sách VNEN bài 5: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

1. Cho hình 107 với AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm).

Chứng tỏ rằng:

a) AB = AC.

b) AO là phân giác của $\widehat{BAC}$.

c) OA là phân giác của $\widehat{BOC}$.

Gợi ý: Điền vào chỗ chấm (...) 

Xét (O), do AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết) nên AB $\perp $ OB tại B; AC $\perp $ OC tại C (tính chất tiếp tuyến).

Xét hai tam giác vuông OBA và OCA, có:

+........................................

+........................................

+.........................................

nên $\Delta $OBA =  $\Delta $OCA (.......................) $\Rightarrow $ AB = AC (hai cạnh tương ứng), $\widehat{BAO}$ =..................... ; $\widehat{BOA}$ =.....................

Vậy..................................................................................

Trả lời:

Xét (O), do AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết) nên AB $\perp $ OB tại B; AC $\perp $ OC tại C (tính chất tiếp tuyến).

Xét hai tam giác vuông OBA và OCA, có:

+ OB = OC

+ OA chung

+ $\widehat{OBA}$ = $\widehat{OCA}$ = $90^{\circ}$

nên $\Delta $OBA =  $\Delta $OCA () $\Rightarrow $ AB = AC (hai cạnh tương ứng), $\widehat{BAO}$ = $\widehat{CAO}$ ; $\widehat{BOA}$ = $\widehat{COA}$ 

Vậy AO là phân giác của $\widehat{BAC}$ và OA là phân giác của $\widehat{BOC}$.

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Đọc kĩ nội dung sau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

• Điểm đó cách đều hai điểm
• Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

b) Luyện tập

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm, hình 108).

i) Chứng minh OA $\perp $ BC.

ii) Vẽ đường kính CD. Chứng minh BD song song với AO.

Trả lời:

i) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn ta có: AB = AC

Ta có: OB = OC, AB = AC $\Rightarrow $ OA là đường trung trực của BC hay OA $\perp $ BC (đpcm).

ii) Vì ba điểm D, B, C cùng thuộc đường tròn nên tam giác DBC nội tiếp tam giác

Mặt khác ta có DC là đường kình nên tam giác DBC là tam giác vuông: $\widehat{DBC}$ = $90^{\circ}$ hay DB $\perp $ BC

Ta có: OA $\perp $ BC và DB $\perp $ BC $\Rightarrow $ OA // DB (đpcm).

2.a) Cho tam giác ABC. Gọi I là giao của các đường phân giác các góc trong của tam giác; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến các cạnh BC, AC, AB (hình 109). Chứng minh ba điểm D, E, F cùng nằm trên đường tròn tâm I.

Trả lời:

Xét $\Delta $AIF và $\Delta $AIE, có:

AI chung, $\widehat{IAF}$ = $\widehat{IAE}$ (do AI là phân giác góc A), $\widehat{AFI}$ = $\widehat{AEI}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\Delta $AIF = $\Delta $AIE (g.c.g) 

$\Rightarrow $ IE = IF

Tương tự ta chứng minh được IF = ID, ID = IF

Suy ra ID = IE = IF hay D, E, F cùng nằm trên đường tròn tâm I (đpcm).

b) Đọc kĩ nội dung sau

• Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của một tam giác gọi là đương tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác.

c) Cho góc xOy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy nằm trên đường nào? Giải thích vì sao?

Trả lời:

Đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy của góc xOy tức là Ox, Oy là tiếp tiếp của các đường tròn đó

Ta có tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn như sau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Vậy các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy nằm trên đường phân giác góc xOy.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1

Từ một điểm A cố định nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm E bất kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng chu vi $\Delta $AMN không phụ thuộc vào vị trí điểm E.

Trả lời:

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: ME = MB, NE = NC

Chu vi tam giác AMN là:

C = AM + AN + MN = AM + AN + ME + NE = AM + AN + MB + NC =  (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC = 2AB 

Do A cố định nên AB không đổi $\Rightarrow $ chu vi $\Delta $AMN không đổi hay chu vi $\Delta $AMN không phụ thuộc vào vị trí điểm E (đpcm).

Câu 2: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1

Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB). Lấy M trên nửa đường tròn (M $\neq $ A, M $\neq $ B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh:

a) Tam giác COD vuông tại O.

b) CD = AC + BD.

c) AC.BD = $R^{2}$.

Trả lời:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $\widehat{ACO}$ = $\widehat{MCO}$, $\widehat{BDO}$ = $\widehat{MDO}$

$\Rightarrow $ $\widehat{MCO}$ + $\widehat{MDO}$ = $\widehat{ACO}$+ $\widehat{BDO}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\widehat{COD}$ = $90^{\circ}$

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: CA = CM, DM = DB

$\Rightarrow $ CD = CM + DM = CA + DB (đpcm).

c) Vì MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M nên OM $\perp $ CD

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD ta có:

$OM^{2}$ = MC.MD $\Leftrightarrow $ $R^{2}$ = AC.BD (đpcm).

Câu 3: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1

Cho hình 110, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I).

Chứng minh:

2AD = AB + AC - BC

2BF = BA + CB - AC

2CE = CA + CB - AB

Trả lời:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được:

AD = AE, BD = BF, CE = CF

Ta có: AB + AC - BC = AD + BD + AE + CE - BF - CF = (AD + AE) + (BD - BF) + (CE - CF) = 2AD

$\Rightarrow $ AB + AC - BC = 2AD (đpcm).

Tương tự ta chứng minh được 2BF = BA + CB - AC và 2CE = CA + CB - AB.

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 111 sách VNEN 9 tập 1

Có thể em chưa biết?

Hình 111a minh họa "thước phân giác". Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC, hai thanh gỗ này được đóng lên một tấm gỗ hình tam giác vuông, trong đó AD là tia phân giác của góc BAC.

Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn hay không?

Trả lời:

Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn. Cách làm: 

* Bước 1: Đặt hình tròn cần tìm tiếp xúc với hai thanh gỗ 

* Bước 2: Vạch theo tia phân giác của thước ta được đường kính của hình tròn cần tìm

* Bước 3: Xoay hình tròn và tiếp tục làm như bước 2, ta được một đường kính thứ hai

Giao điểm của hai đường kính đó chính là tâm của hình tròn cần tìm.

Câu 2: Trang 112 sách VNEN 9 tập 1

a) Cho tam giác ABC, K là giao điểm của các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ K đến các đường thẳng BC, AC, AB (h.112). Chứng mình rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn tâm K.

Trả lời:

Xét $\Delta $BKF và $\Delta $BKD có:

$\widehat{FBK}$ = $\widehat{DBK}$ (do BK là phân giác $\widehat{FBD}$), BK chung, $\widehat{BFK}$ = $\widehat{BDK}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\Delta $BKF = $\Delta $BKD $\Rightarrow $ KD = KF

Tương tự ta chứng minh được $\Delta $CKE = $\Delta $CKD $\Rightarrow $ KD = KE

$\Rightarrow $ KD = KE = KF hay ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn tâm K (đpcm).

Câu 3: Trang 112 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn (O; 3) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho Om = 5cm. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Từ B kẻ đường thẳng vuông gốc MO tại N cắt đường tròn (O) tại C.

a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Tính độ dài MN và NO.

c) Qua điểm A trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt MB, MC lần lượt tại D và E. Tính chi vi tam giác MED.

d) Tính diện tích tứ giác MBOC.

Trả lời:

a) Xét $\Delta $ vuông BNO và $\Delta $ vuông CNO có:

ON chung, OB = OC = 3 

$\Rightarrow $ $\Delta$ BNO = $\Delta $CNO (cạnh huyền, cạnh góc vuông) 

$\Rightarrow $ BN = NC $\Rightarrow $ MO cách đều B, C

$\Rightarrow $ MO là phân giác góc MBC

$\Rightarrow $ MC là phân giác đường tròn (O) (đpcm).

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MBO, ta có: $OB^{2}$ = ON.OM $\Rightarrow $  ON = $\frac{OB^{2}}{OM}$ =$\frac{3^{2}}{5}$ = $\frac{9}{5}$cm

$\Rightarrow $ MN = OM - ON = 5 - $\frac{9}{5}$ = $\frac{16}{5}$cm

c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: DA = DB, EA = EC

Chu vi tam giác MED là:

ME + MD + DE = ME + MD + DA + EA = ME + MD + DB + EC = (MD + DB) + (ME + EC)  = MB + MC = 2MB = 2$\sqrt{OM^{2} - OB^{2}}$ = 2$\sqrt{5^{2} - 3^{2}}$ = 8cm.

Vậy chu vi tam giác MED là 8cm.

d) SMBOC = S$\Delta $MBO + S$\Delta $MCO = 2$\Delta $MBO (do $\Delta $MBO = $\Delta $MCO) = 2.$\frac{1}{2}$.MB.OB = MB.OB = 4.3 = 12$cm^{2}$

Vậy diện tích tứ giác MBOC là 12$cm^{2}$.