Giải Toán 9 sách VNEN bài 6: Luyện tập (chương II)

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 113 sách VNEN 9 tập 1

Điền vào chỗ chấm (...)

a) Nếu một đường thẳng là.............................thì nó vuông góc với..................tại tiếp điểm

b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và................với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là....................của đường tròn.

c) Đường thẳng và đường tròn có..........................điểm chung thì đường thẳng đó gọi là tiếp tuyến của đường tròn.

d) Nếu khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn độ dài bán kính của đường tròn thì đường thẳng và đường tròn...........................

Trả lời:

a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

c) Đường thẳng và đường tròn có một và chỉ một điểm chung thì đường thẳng đó gọi là tiếp tuyến của đường tròn.

d) Nếu khoảng cách từ tâm của đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn độ dài bán kính của đường tròn thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Câu 2: Trang 113 sách VNEN 9 tập 1

Chọn phương án đúng trong các bài tập 2; 3; 4 sau đây

2. Cho đường thẳng AB. Đường tròn (O) đường kính 4cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên:

A. Đường vuông góc với AB tại A;

B. Đường vuông góc với AB tại B;

C. Hai đường thẳng song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng là 2cm.

D. Hai đường thẳng song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng là 4cm.

Trả lời:

Ta có hình vẽ như trên

Tâm O nằm trên hai đường thẳng song song với đường thẳng AB và cách AB một khoảng bằng R = 2cm (trên hai mặt phẳng có bờ là AB).

Suy ra đáp án là C.

Câu 3: Trang 113 sách VNEN 9 tập 1

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; 2cm) bằng:

A. 2$\sqrt{3}$cm.                            B.4$\sqrt{3}$cm.                     C. 8cm.                     D.4cm.

Trả lời:

Giả sử tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; 2cm)

Ta có: OA = 2cm $\Rightarrow $ AH = $\frac{3}{2}$.2 = 3cm 

$\Rightarrow $ AB = 2$\sqrt{3}$cm

Vậy đáp án là A.

Câu 4: Trang 114 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn (O; 2cm) nội tiếp tam giác ABC đều. Diện tích của tam giác ABC bằng:

A. 12$cm^{2}$                              B. $\sqrt{3}$$cm^{2}$                       C. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$$cm^{2}$                             D. 12$\sqrt{3}$$cm^{2}$

Trả lời:

Đường cao AH = 3OH = 3.2 = 6cm

Cạnh của tam giác đều ABC là AB = 4$\sqrt{3}$cm

Diện tích tâm giác ABC là: $\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}$ = 2$\sqrt{3}$$cm^{2}$

Vậy đáp án là D.

Câu 5: Trang 114 sách VNEN 9 tập 1

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Lấy M trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh điểm O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD.

b) Gọi giao điểm của CO và AM là I, giao điểm của MB và OD là K. Chứng minh MO = IK.

c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD.

d) Chứng minh rằng khi M chạy trên nửa đường tròn (O) thì trung điểm của MI chạy trên đường cố định.

e) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABCD có chu vi nhỏ nhất.

Trả lời:

a) Gọi O' là trung điểm của CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CO là phân giác của $\widehat{MCA}$, DO là phân giác của $\widehat{MDB}$

Vì Ax // By nên $\widehat{MCA}$ + $\widehat{MDB}$ = $180^{\circ}$ 

$\Rightarrow $ $\widehat{MCO}$ + $\widehat{MDO}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{COD}$ = $90^{\circ}$

Hay O nằm trên đường tròn (O') đường kính CD (đpcm).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có CO là phân giác của $\widehat{MCA}$ và CM = CA

$\Rightarrow $ AM $\perp $ CO $\Rightarrow $ $\widehat{MIO}$ = $90^{\circ}$

Tương tự ta có BM $\perp $ DO $\Rightarrow $ $\widehat{MKO}$ = $90^{\circ}$

Tứ giác MIOK có $\widehat{MIO}$ = $\widehat{MKO}$ = $\widehat{IMK}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ tứ giác MIOK là hình chữ nhật $\Rightarrow $  MO = IK (hai đường chéo).

c) Hình thang ACDB có O', O lần lượt là trung điểm của CD và AB

$\Rightarrow $ O'O // Ax // By hay O'O $\perp $ AB 

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (O') đường kính CD (đpcm).

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 114 sách VNEN 9 tập 1

a) Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có chu vi là 2p, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r thì diện tích tam giác được tính theo công thức S = p.r.

b) Trong một sản phẩm của một công ty trên vỏ hộp có những tem dạng hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài là 3cm và 4cm. Người ta muốn dán vào tem những logo mới dạng hình tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó. Dự định công ty đưa ra lô hàng đầu tiên khoảng 1,2 vạn sản phẩm. Để tiết kiệm chi phí cho logo thì người ta cần phải mua ít nhất bao nhiêu mét vuông giấy bóng để dập logo?

Trả lời:

a) 

Giả sử đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC

Ta có:

DIện tích tam giác ABC là:

S$\Delta $ABC = S$\Delta $AOB + S$\Delta $BOC + S$\Delta $COA

                         = $\frac{1}{2}$.OE.AB + $\frac{1}{2}$.OD.BC + $\frac{1}{2}$.OF.AC

                         = $\frac{1}{2}$.r.AB + $\frac{1}{2}$.r.BC + $\frac{1}{2}$.r.AC

                         = $\frac{1}{2}$.r.(AB + BC + CA) = $\frac{1}{2}$.r.2p = pr

Vậy diện tích tam giác ABC được tính theo công thức S = p.r (đpcm).

b) Cạnh huyền của tam giác vuông là: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5cm

Chu vi của tam giác vuông là 2p = 3 + 4 + 5 = 12cm

Diện tích của tam giác vuông là S = $\frac{1}{2}$.3.4 = 6$cm^{2}$

Mặt khác theo câu a, công thức tính diện tích tam giác là: S = p.r

$\Rightarrow $ 6 = 6.r $\Rightarrow $ r = 1cm

Vậy bán kính của logo là 1cm, đường kính của logo là 2cm

Ta có mỗi một hình vuông có cạnh bằng đường kính của logo cắt được một logo, vì vậy để cần 1,2 vạn sản phẩm thì số mét vuông giấy bóng cần mua là:

1,2.10000.$2^{2}$ = 48000$cm^{2}$ = 4,8$m^{2}$

Vậy cần 4,8$m^{2}$ giấy bóng.

Câu 2: Trang 114 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác MNP vuông tại M. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP. 

Chứng minh rằng MN + MP = 2(R + r).

Trả lời:

Do tam giác MNP vuông tại M nên NP = 2R

Ta có NM, NP là hai tiếp tuyến của (I) nên theo tính chất tiếp tuyến ta có ND = NF, tương tự ta có PE = PF

Ta có:

MN + MP = MD + DN + ME + EP = MD + ME + NF + PF = MD + ME + NP = r + r + 2R = 2(r + R) (đpcm)

Vậy MN + MP = 2(R + r).

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 115 sách VNEN 9 tập 1

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (O). M là điểm bất kì trên nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến với (O) qua M cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của CB và AD, F là giao điểm của ME với AB. Chứng minh:

a) ME $\perp $ AB.

b) ME = EF.

c) Gọi I là giao điểm của CO và AM, K là giao điểm của OD và MB. Chứng minh CB, AD và IK đồng quy tại một điểm.

Trả lời:

a, AC nằm trên tiếp tuyến Ax của đường tròn tại A => AC $\perp $  AB

BD nằm trên tiếp tuyến By của đường tròn tại B => BD $\perp $  AB

=> AC // BD

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác ECA và tam giác EBD có AC // BD ta có:

$\frac{ED}{EA}=\frac{BD}{AC}$ (1)

+ DM và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D cả đường tròn => DB = MD (2)

+ AC và CM là 2 tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn => AC = CM (3)

+ Từ (1), (2) và (3) => $\frac{ED}{EA}=\frac{MD}{MC}$

=> Theo định lí Ta-lét đảo ta có ME // AC

+ ME // AC và AC $\perp $  AB => ME $\perp $  AB (đpcm)

b, ME // AC => MF // AC hay EF // AC

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác BCA có EF // CA ta có: $\frac{EF}{CA}=\frac{BE}{BC}$ (*)

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác DCA có ME // CA ta có: $\frac{ME}{CA}=\frac{DE}{DA}$ (**)

Mà $\frac{DE}{DA}=\frac{BE}{BC}$ (BD // AC)  (***)

Từ (*), (**) và (***) => $\frac{EF}{CA}=\frac{ME}{CA}$ => EF = ME (đpcm)

c, Ta có: CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và CM = CA (bán kính của đường tròn)

=> CO là đường trung trực của AM => I là trung điểm của AM

Chứng minh tương tự có: OD là trung trực của BM => K là trung điểm của BM

+ Xét tam giác MAB có I là trung điểm của AM, K là trung điểm của BM => IK là đường trung bình của tam giác

=> IK // AB

+ Xét tam giác MAF có I là trung điểm của AM và E là trung điểm của AF (ME = EF)

=> IE là đường trung bình của tam giác => IE // AF hay IE // AB

+ IK // AB và IE // AB => ba điểm I, E, K thẳng hàng

=> Ba đường thẳng CB, AD và IK đồng quy tại điểm E.