Giải Toán 9 sách VNEN bài 9: Ôn tập chương II

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

B. Điền vào chỗ chấm (...):

1. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.

2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó.

3. a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính còn đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

4. a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

b) Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

5. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

6. Trong một đường tròn:

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

7. Trong một đường tròn:

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

b) Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

8. a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

9. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại 1 điểm thì:

a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tại bởi hai tiếp tuyến.

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

10. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trang 129 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 2cm. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của $\Delta $ABC bằng

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm.                 B. 3cm                         

C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$cm.                 D. $\sqrt{3}$cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Trả lời:

Gọi tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là O

Khi đó bán bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là OA

Ta có: OA = $\frac{2}{3}$AH = $\frac{2}{3}$.$\frac{2\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm

Vậy đán án là A.

Câu 2: Trang 129 sách VNEN 9 tập 1

Xét tính đúng - sai của mỗi khẳng định sau:

Cho $\Delta $ABC nội tiếp đường tròn (O).

a) Nếu AC là đường kính của đường tròn thì AB vuông góc với AC.

b) Nếu AB = AC thì AO vuông góc với BC,

c) Nếu $\Delta $ABC không vuông thì điểm I nằm bên trong tam giác đó.

Trả lời:

a) Sai.

Sửa lại: Nếu AC là đường kính của đường tròn thì AB vuông góc với BC. (vì khi đó AC là cạnh huyền, AB, BC là hai cạnh góc vuông)

b) Đúng

Vì AB = AC thì tam giác ABC cân tại A

c) Đúng

VÌ O là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC.

Câu 3: Trang 129 sách VNEN 9 tập 1

Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R) bằng

A. $\frac{R}{2}$                       B. $\frac{R\sqrt{3}}{2}$                      C. R$\sqrt{3}$                         D. một đáp án khác

Hãy chọn phương án đúng.

Trả lời:

Gọi tam giác đều nội tiếp (O; R) là tam giác ABC, đường cao AH

Độ dài cạnh tam giác ABC là AB = $\frac{2AH}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2}{\sqrt{3}}$.$\frac{3R}{2}$ = $\frac{3R}{\sqrt{3}}$ = R$\sqrt{3}$

Suy ra đáp án C.

Câu 4: Trang 129 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn (O) đường kính 10cm, dây AB = 6cm. Khoảng cách từ O đến AB bằng

A. 16cm                         B. $\sqrt{11}$ cm                     C. 4cm                         D. 2$\sqrt{2}$cm.

Hãy chọn phương án đúng

Trả lời:

Gọi khoảng cách từ O đến AB là OH

Ta có: OH = $\sqrt{OB^{2} - HB^{2}}$ = $\sqrt{5^{2} - 3^{2}}$ = 4cm

Vậy đáp án là C.

Câu 5: Trang 129 sách VNEN 9 tập 1

Cho hình 137:

Trong đó OA = 3cm, O'A = 2cm, AM = 5cm.

Độ dài AN bằng

A. $\frac{10}{3}$               B. 3,5               C. 3                D. 4

Hãy chọn phương án đúng

Trả lời:

$\Delta $OAM có OA = OM nên $\Delta $OAM cân tại O $\Rightarrow $  $\widehat{AOM}$ = $\frac{180^{\circ} - \widehat{OAM}}{2}$

$\Delta $O'AN có O'A = O'N nên $\Delta $O'AN cân tại O $\Rightarrow $  $\widehat{AO'N}$ = $\frac{180^{\circ} - \widehat{O'AN}}{2}$

Mặt khác $\widehat{OAM}$ = $\widehat{O'AN}$ $\Rightarrow $ $\widehat{AOM}$ = $\widehat{AO'N}$

$\Delta $OAM và $\Delta $O'AN có: $\widehat{AOM}$ = $\widehat{AO'N}$, $\frac{OA}{O'A}$ = $\frac{OM}{O'N}$ 

$\Rightarrow $ $\Delta $OAM đồng dạng với $\Delta $O'AN

$\Rightarrow $ $\frac{OA}{O'A}$ = $\frac{AM}{AN}$ $\Rightarrow $  AN = $\frac{10}{3}$cm

Vậy đán án là A.

Câu 6: Trang 130 sách VNEN 9 tập 1

Cho (O; R) và (O'; r). Điền vào chỗ chấm (...) của bảng sau:

Trả lời:

Câu 7: Trang 130 sách VNEN 9 tập 1

Tỉ số bán kính của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đều bằng:

A. $\frac{1}{3}$                   B. $\frac{1}{2}$                    C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$                 D. 2

Trả lời:

Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đều trùng nhau

Giả sử tam giác đều ABC có đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp như trên hình

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = $\frac{1}{3}$AH

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = $\frac{2}{3}$AH

$\Rightarrow $ $\frac{r}{R}$ = $\frac{1}{2}$

Suy ra đáp án B.

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 130 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Từ điểm H nằm trên AB kẻ dây CD vuông góc với AB. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và HB. Vẽ đường tròn (I; IE) và (K; KF).

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).

b) Chứng minh rằng EF = HC.

c) Chứng minh rằng CE.CA = CF.CB.

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

f) Cho AH = 4cm, HB = 9cm. Tính diện tích tứ giác IEFK.

A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm.                       B. 3cm                          C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$cm.                 D. $\sqrt{3}$cm.

Hãy chọn phương án đúng.

Trả lời:

Ta có hình vẽ như sau:

a) (I) và (O) tiếp xúc trong với nhau, (K) và (O) tiếp xúc trong với nhau, (I) và (K) tiếp xúc ngoài với nhau.

b) Tứ giác HECF có $\widehat{ECF}$ = $\widehat{CEF}$ = $\widehat{CFE}$ = $90^{\circ}$ nên tứ giác HECF là hình chữ nhật

$\Rightarrow $ EF = CH (hai đường chéo).

c) Ta có: $\widehat{CEF}$ = $\widehat{CHF}$ (do HECF là hình vuông) = $\widehat{CBH}$ (cùng phụ với $\widehat{FHB}$)

Tam giác vuông CEF và tam giác vuông CBA có: $\widehat{CEF}$ = $\widehat{CBH}$ nên tam giác vuông CEF đồng dạng với tam giác vuông CBA

$\Rightarrow $ $\frac{CE}{CB}$ = $\frac{CF}{CA}$ $\Rightarrow $ CE.CA = CF.CB (đpcm).

d) Tam giác vuông AEH có EI = IH $\Rightarrow $ $\widehat{IEH}$ = $\widehat{IHE}$

Mà $\widehat{IHE}$ = $\widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{CAH}$) = $\widehat{EFH}$ (do HECF là hình vuông)

Mặt khác $\widehat{EFH}$ + $\widehat{HEF}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{IEH}$ + $\widehat{HEF}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{IEF}$ = $90^{\circ}$ hay EI $\perp $ EF (1)

Tương tự ta chứng minh được FK $\perp $ EF (2)

Từ (1) và (2) ta được EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K).

e) Ta có: EF = CH $\leq $ CO

Suy ra EF lớn nhất khi CH lớn nhất, khi đó CH = CO hay H $\equiv $ O

Vậy H $\equiv $ O thì EF lớn nhất.

f) EF = CH = $\sqrt{AH.HB}$ = $\sqrt{4.9}$ = 6cm

Diện tích tứ giác IEFK là:

S = $\frac{IE + KF}{2}$.EF =  $\frac{2 + 4,5}{2}$.6 = 19,5 $cm^{2}$.

Câu 2: Trang 130 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B $\in $ (O), C $\in $ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:

a) AM = EF.

b) ME.MO = MF.MO'.

c) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'.

d) BO cắt (O) tại G, CO' cắt (O') tại H. Khi đó S$\Delta $AGH = S$\Delta $ABC.

e) Gọi I là trung điểm của GH. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác IOO' tiếp xúc với đường thẳng BC.

Trả lời:

a) Ta có: MB = MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow $ $\Delta $BAC vuông tại A.

Ta có: $\widehat{BMO}$ = $\widehat{AMO}$ (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), mặt khác $\Delta $ BMA cân $\Rightarrow $ OM $\perp $ AB 

Tương tự ta chứng minh được O'M $\perp $ AC

Suy ra ta chứng minh được tứ giác AEMF có ba góc vuông $\widehat{EAF}$ = $\widehat{MEA}$ = $\widehat{MFA}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ tứ giác AEMF là hình chữ nhật $\Rightarrow $ AM = EF (đpcm).

b) $\Delta $MOA vuông tại A nên $MA^{2}$ = ME.MO

    $\Delta $MO'A vuông tại A nên $MA^{2}$ = MF.MO'

$\Rightarrow $ ME.MO = MF.MO' (đpcm).

c) Tứ giác OO'CB có OB $\perp $ BC, O'C $\perp $ BC nên tứ giác OO'CB là hình thang vuông

Ta có M là trung điểm của BC

Gọi P là trung điểm của OO'

Hình thang OO'CB có MP là đường trung bình $\Rightarrow $ MP // OB // O'C $\Rightarrow $ MP $\perp $ BC 

Hay BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO'.

Câu 3: Trang 131 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và B (R > R'). Gọi M là trung điểm của OO'. Kẻ đường thẳng vuông góc với MA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O'; R') theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Lấy K sao cho M là trung điểm của AK. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

c) Kẻ đường kính AE của đường tròn (O) và đường kính AF của (O'). Chứng minh rằng bốn điểm E, K, B, F thẳng hàng và OO' song song với EF.

d) Chứng minh K là trung điểm của EF.

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Hình vành khuyên kì lạ

Lấy hính vành khuyên có kích thước bất kì tạo bởi hai hình tròn đồng tâm, phần màu hồng (hình 138). Bạn có chứng minh được rằng diện tích của hình vành khuyên bằng diện tích của hình tròn có đường kính là dây cung của vòng tròn lớn nhưng lại là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ?

Trả lời:

Gọi các điểm như hình vẽ

Diện tích của hình vành khuyên là: S = $\pi $$R^{2}$ - $\pi $$r^{2}$ = $\pi $($R^{2}$ - $r^{2}$) = $\pi $$HB^{2}$ 

Diện tích của hình tròn có đường kính là AB là S' = $\pi $$HB^{2}$ 

$\Rightarrow $ S = S'

Vậy diện tích của hình vành khuyên bằng diện tích của hình tròn có đường kính là dây cung của vòng tròn lớn nhưng lại là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ.