Giải Toán 9 sách VNEN bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

1. Em hãy dự đoán xem giữa hai đường tròn có mấy điểm chung? Liệu có quá hai điểm chung được không? (h.115)

Trả lời:

Giữa hai đường tròn có hai điểm chung. Giữa hai đường tròn không thể có quá hai điểm chung được.

2. Ta gọi hai đường tròn không trùng nhau là hai đường tròn phân biệt. Giữa hai đường tròn có qua hai điểm chung không? Vì sao?

Điền vào chỗ chấm (...) 

- Giả sử hai đường tròn (O) và (O') có ba điểm chung A, B, C không thẳng hàng (h.116).

Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định được......................... đường tròn.

Suy ra đường tròn (O)........................ (O').

Vậy giữa hai đường tròn (O) và (O') chỉ có nhiều nhất ........................điểm chung.

Trả lời:

- Giả sử hai đường tròn (O) và (O') có ba điểm chung A, B, C không thẳng hàng (h.116).

Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định được chỉ một và một đường tròn.

Suy ra đường tròn (O) trùng (O').

Vậy giữa hai đường tròn (O) và (O') chỉ có nhiều nhất hai điểm chung.

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

2. Thực hiện các hoạt động sau

a) Quan sát các hình (1), (2), (3), (4), (5) ở bảng trên và giải thích vì sao đường nối tâm là trục đối xứng của hình bao gồm cả hai đường tròn đó.

b) Trong hình (1) ở bảng trên hãy chứng tỏ OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

c) Trong hình (2) và (3) ở bảng trên hãy dự đoán về vị trí của điểm A với đường nối tâm OO'.

Trả lời:

a) Vì đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình bao gồm cả hai hình đó

b) Ta có: OA = OB, O'A = O'B nên A, B cách đều OO' hay OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

c) Dự đoán là A nằm trên đường nối tâm OO' là A là tiếp điểm của hai đường tròn.

d) Đọc kĩ nội dung sau

• Đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn đó.
• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm hay đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.
• Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

2.1. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Em hãy so sánh OO' với tổng hai bán kính của hai đường tròn ở hình 119

Em hãy so sánh OO' với hiệu hai bán kính của hai đường tròn ở hình 120

Trả lời:

* Trên hình 119:

OO' = OA + O'A = R + r 

Vậy OO' bằng tổng hai bán kính của hai đường tròn.

* Trên hình 12:

OO' = OA - O'A = R - r 

Vậy OO' bằng hiệu hai bán kính của hai đường tròn.

2.2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

b) Quan sát hình 125 và cho biết hình nào vẽ được tiếp tuyến chung, đọc tên các tiếp tuyến chung đó.

Trả lời:

Hình 1 có hai tiếp tuyến chung là b và b'

Hình 2 có 3 tiếp tuyến chung là p, m, n

Hình 3 có 1 tiếp tuyến chung là d

Hình 4 không vẽ được tiếp tuyến chung.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 121 sách VNEN 9 tập 1

Trên hình 127, hai đường tròn tiếp xúc tại A.

Chứng minh rằng $\Delta $OAC đồng dạng với $\Delta $O'AD.

Trả lời:

$\Delta $OAC có OA = OC nên $\Delta $OAC cân tại O 

$\Delta $O'AD có O'A = O'D nên $\Delta $O'AD cân tại O 

Mặt khác $\widehat{OAC}$ = $\widehat{O'AD}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow $ $\widehat{AOC}$ = $\widehat{AO'D}$

$\Delta $OAC và $\Delta $ O'AD có: $\widehat{AOC}$ = $\widehat{AO'D}$ và $\frac{O'A}{OA}$ = $\frac{O'D}{OC}$ nên $\Delta $OAC đồng dạng với $\Delta $ O'AD (đpcm).

Câu 2: Trang 121 sách VNEN 9 tập 1

Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; 5cm) và (O'; 2cm) có OO' = d.

Trả lời:

Câu 3: Trang 121 sách VNEN 9 tập 1

Cho đường tròn tâm O bán kính OA và O' là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn (O'; O'A)

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O').

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng OD//O'C.

Trả lời:

a) Vì O' là trung điểm của OA nên OO' = OA - OA' nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.

b) $\Delta $O'AC có O'A = O'C nên $\Delta $O'AC cân $\Rightarrow $ $\widehat{O'CA}$ = $\widehat{O'AC}$

    $\Delta $OAD có OA = OD nên $\Delta $OAD cân $\Rightarrow $ $\widehat{ODA}$ =$\widehat{O'AC}$

Mặt khác $\widehat{O'AC}$ = $\widehat{O'AC}$ nên $\widehat{O'CA}$ =  $\widehat{ODA}$ hay OD // O'C (đpcm).

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 122 sách VNEN 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoại tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B $\in $ (O), C $\in $ (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.

a) Chứng minh rằng $\Delta $ABC vuông tại A.

b) Chứng minh rằng I nằm trên đường tròn đường kính OO'.

c) Tính diện tích tứ giác BCO'O, biết OA = 4cm, O'A = 1cm.

Trả lời:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là phân giác góc $\widehat{OAI}$, AC là phân giác góc $\widehat{O'AI}$

Mặt khác  $\widehat{OAI}$ + $\widehat{O'AI}$ = $180^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{BAI}$ + $\widehat{CAI}$ = $90^{\circ}$ hay $\widehat{BAC}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\Delta $ABC vuông tại A (đpcm).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

IO là phân giác góc $\widehat{AIB}$, IO' là phân giác góc $\widehat{AIC}$

Mặt khác $\widehat{AIB}$ + $\widehat{AIC}$ = $180^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{AIO}$ + $\widehat{AIO'}$ = $90^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{OIO'}$ = $90^{\circ}$

Hay I nằm trên đường tròn đường kính OO' (đpcm).

c) Ta có: OB $\perp $ BC, O'C $\perp $ BC

Diện tích tứ giác BCO'O là: S = $\frac{OB + OC'}{2}$.BC

Ta có: IB = IC = IA $\Rightarrow $ BC = IB + IC = 2IA = 2.$\sqrt{AO.AO'}$ = 2.$\sqrt{4.1}$ = 4cm

$\Rightarrow $ S = $\frac{4 + 1}{2}$.4 = 10 $cm^{2}$.

Câu 2: Trang 122 sách VNEN 9 tập 1

Đố: Trên các hình 128a, 128b, 128c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Trả lời:

Trong hệ thống các bánh xe răng cưa thì hai bánh xe răng cưa tiếp xúc ngoài chuyển động ngược chiều nhau, hai bánh răng cưa tiếp xúc trong chuyển động cùng chiều nhau. Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình 128a, hình 128b chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở hình 128c không chuyển động được.