Giải Toán 9 sách VNEN bài 8: Ôn tập chương I

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 83 sách VNEN 9 tập 1

1. Điền vào chỗ chấm (...) để ôn tập các công thức đã học trong chương.

1.1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.59)

a) $b^{2}$ = ............ ; $c^{2}$ = ..................;

b) $h^{2}$ = .............;

c) b.c = .....................;

d) $\frac{1}{h^{2}}$ =..........................

1.2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha $ (h.60)

sin$\alpha $ = $\frac{....................}{....................}$ ;                cos$\alpha $ = $\frac{....................}{....................}$ ;

tan$\alpha $ = $\frac{....................}{....................}$ ;                cot$\alpha $ = $\frac{....................}{....................}$ .

1.3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác (h.61)

* Cho hai góc $\alpha $ phụ nhau. Khi đó

sin$\alpha $ =.......................;              ................cot$\beta $ ;

cos$\alpha $ =......................;              cot$\alpha $ =..............

* Cho góc nhọn $\alpha $. Ta có:

0 < sin$\alpha $ < 1 ;     0<........<1 ;      $sin^{2}$$\alpha $ + $cos^{2}$$\alpha $ = ............ ;

tan$\alpha $ = $\frac{sin\alpha}{............}$ ;      cot$\alpha $ = $\frac{...........}{............}$ ;        tan$\alpha $.cot$\alpha $ = ................

1.4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A (h.62).

a) b = a.sin B = a.cos C ;

    c = .............=..............

b) b = c.tan B =...............;

    c = ............=................

Trả lời:

1. Điền vào chỗ chấm (...) để ôn tập các công thức đã học trong chương.

1.1. Các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.59)

a) $b^{2}$ = ab'; $c^{2}$ = ac' ;

b) $h^{2}$ = b'c' ;   

c) b.c = a.h;

d) $\frac{1}{h^{2}}$ = $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$

1.2. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha $ (h.60)

sin$\alpha $ = $\frac{cạnh đối}{cạnh huyền}$ ;                cos$\alpha $ = $\frac{cạnh kề}{cạnh huyền}$  ;

tan$\alpha $ = $\frac{cạnh đối}{cạnh kề}$  ;                     cot$\alpha $ = $\frac{cạnh kề}{cạnh đối}$  .

1.3. Một số tính chất của các tỉ số lượng giác (h.61)

* Cho hai góc $\alpha $ phụ nhau. Khi đó

sin$\alpha $ = cos$\beta $;                   tan$\alpha $ = cot$\beta $ ;

cos$\alpha $ = sin$\beta $;                    cot$\alpha $ = tan$\beta $.

* Cho góc nhọn $\alpha $. Ta có:

0 < sin$\alpha $ < 1 ;        0 < cos$\alpha $ <1 ;      $sin^{2}$$\alpha $ + $cos^{2}$$\alpha $ = 1 ;

tan$\alpha $ = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ ;      cot$\alpha $ = $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ ;        tan$\alpha $.cot$\alpha $ = 1

1.4. Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A (h.62).

a) b = a.sin B = a.cos C ;

    c = a.sin C = a.cos B

b) b = c.tan B = c.cot C

    c = b.tan C = b.cot B

Câu 3: Trang 85 sách VNEN 9 tập 1

Chọn đáp án đúng trong các câu sau

a) Cho $0^{\circ}$ < $\alpha $ < $90^{\circ}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin$\alpha $ + cos$\alpha $ = 1                                      B. tan$\alpha $ = tan ($90^{\circ}$ - $\alpha $)

C. sin$\alpha $ = cos($90^{\circ}$ - $\alpha $)                    D. cot$\alpha $ = cot($90^{\circ}$ -$\alpha $)

b) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 6cm, BC = 7,5cm. Độ dài CH bằng:

A. 4,8cm                             B. 2,7cm                       C. 0,6cm                       D. $\frac{5}{3}$cm.

c) Cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B}$ = $\alpha $, AB =1cm, AC = 2cm. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sin$\alpha $ = 2cos$\alpha $                                                                 B.cot$\alpha $ = $\frac{1}{2}$

C. $\frac{sin\alpha - cos\alpha}{sin\alpha + cos\alpha}$ = $\frac{1}{3}$                           D. $\frac{sin\alpha - 2cos\alpha}{sin\alpha + cos\alpha}$ = $\frac{1}{3}$.

Trả lời:

a) Ta có: góc $\alpha $ và $90^{\circ}$ - $\alpha $ là hai góc phụ nhau nên: sin$\alpha $ = cos($90^{\circ}$ - $\alpha $) 

Suy ra đáp án đúng là C.

b) 

Ta có: AC = $\sqrt{BC^{2} + AB^{2}}$ = $\sqrt{7,5^{2} - 6^{2}}$ = 4,5cm

$AC^{2}$ = CH.BC $\Rightarrow $ CH = $\frac{AC^{2}}{BC}$ = 2,7cm

Vậy đáp án B.

c) 

Theo định lý Py-ta-go:  BC = $\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$ = $\sqrt{1^{2} + 2^{2}}$ = $\sqrt{5}$

*Ta có: cot$\alpha $ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{1}{2}$ suy ra B đúng

* Ta có: sin$\alpha $ = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 

             cos$\alpha $ = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 

$\Rightarrow $ sin$\alpha $ = 2cos$\alpha $ (1)

Suy ra đáp án A đúng

* Từ (1) suy ra sin$\alpha $ - 2cos$\alpha $ = 0 

$\Rightarrow $ $\frac{sin\alpha - 2cos\alpha}{sin\alpha + cos\alpha}$ = 0 

Suy ra đáp án D sai.

Vậy D sai.

Câu 4: Trang 85 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC có AB = 3,6cm, AC = 4,8cm, BC = 6cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Gọi BD là phân giác của góc B. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác BDC.

Trả lời:

a) 

Ta có: $\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}$ = $\sqrt{3,6^{2} + 4,8^{2}}$ = 6cm = BC 

Suy ra tam giác ABC vuông tại A

sinB = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{4,8}{6}$ $\Rightarrow $ $\widehat{B}$ = $53,13^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{C}$ = $90^{\circ}$ - $53,13^{\circ}$ = $36,87^{\circ}$

Ta có: AH.BC = AB.AC $\Rightarrow $ AH = $\frac{AB.AC}{BC}$ = $\frac{3,6.4,8}{6}$ = 2,88cm

b) 

S$\Delta $ABD = $\frac{1}{2}$.AB.AD

S$\Delta $BDC = $\frac{1}{2}$.AB.DC

$\Rightarrow $ $\frac{S\Delta ABD}{S\Delta BDC}$ = $\frac{\frac{1}{2}.AB.AD}{\frac{1}{2}.AB.DC}$ = $\frac{AD}{DC}$ 

Theo tính chất đường phân giác ta có: $\frac{AD}{DC}$  = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{3,6}{6}$ = $\frac{3}{5}$

Vậy $\frac{S\Delta ABD}{S\Delta BDC}$ = $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{3}{5}$.

Câu 5: Trang 85 sách VNEN 9 tập 1

Ngọn hải đăng Long Châu tọa lạc trên đảo Long Châu, huyện đảo Cát Hải, Hải Phòng, cao 109,5m so với mực nước biển. Khoảng cách từ đỉnh của ngọn hải đăng đến một con thuyền đang neo trên biển là 1km. Một người đứng trên thuyền và nhìn lên ngọn hải đăng. Tính góc nhìn của người đó tạo với phương nằm ngang (h.63).

Trả lời:

Ta có hình minh họa như trên

Gọi các điểm như hình vẽ, khi đó góc nhìn của người đứng trên thuyền tạo với phương nằm ngang chính là góc C

Xét tam giác ABC, ta có:

sinC = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{109,5}{1000}$ $\Rightarrow $ $\widehat{C}$ = $6,27^{\circ}$

Vậy góc nhìn của người đứng trên thuyền tạo với phương nằm ngang là $6,27^{\circ}$.

Câu 6: Trang 85 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC có góc B bằng $120^{\circ}$, BC =12cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D

a) Tính độ dài đường phân giác BD

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM $\perp $ BD.

c) Tính AM và diện tích tam giác ABM.

Trả lời:

a) Từ A kẻ AE//BD

Tam giác ABE có $\widehat{ABE}$ = $60^{\circ}$, $\widehat{EAB}$ = $60^{\circ}$ (so le trong)

suy ra tam giác ABE đều $\Rightarrow $ AB = AE = BE = 6cm

Vì BD//AE nên $\frac{BD}{AE}$ = $\frac{CB}{CE}$ = $\frac{12}{12 + 6}$ = $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow $ BD = $\frac{2}{3}$.AE = $\frac{2}{3}$.6 = 4cm.

b) Ta có: AB = 6cm, BM = CM = $\frac{1}{2}$BC = 6cm

$\Rightarrow $ AB = BM = 6cm $\Rightarrow $ $\Delta $ABM cân tại B $\Rightarrow $  $\widehat{BAM}$ = $\widehat{BMA}$ = $30^{\circ}$

Ta có: $\widehat{BAM}$ + $\widehat{ABD}$ = $30^{\circ}$ + $60^{\circ}$ = $90^{\circ}$n hay AM $\perp $ BD.

c) Gọi giao điểm giữa AM và BD là H.

Ta có $\Delta $ABM cân tại B nên AM = 2AH

Xét tam giác vuông ABH cosBAH = $\frac{AH}{AB}$ $\Rightarrow $ AH = AB.cosBAH = 6.cos$30^{\circ}$ = 3$\sqrt{3}$ cm $\Rightarrow $ AM = 6$\sqrt{3}$ cm

Ta có: BH = $\sqrt{AB^{2} - AH^{2}}$ = 3cm

S$\Delta $ABM = $\frac{1}{2}$.BH.AM = $\frac{1}{2}$.3.6$\sqrt{3}$ = 9$\sqrt{3}$ $cm^{2}$.

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 86 sách VNEN 9 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Cho BH = 4cm, CH = 9cm.

i) Tính độ dài đoạn thẳng DE và số đo góc HAC (làm tròn đến độ)

ii) Tính giá trị của biểu thức P = $\frac{2sinB + 3cosC}{tanB - 3cotC}$

iii) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. Tính diện tích tứ giác DENM

b) Chứng minh AD.AB = AE.AC.

c) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.

d) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì để diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE.

Trả lời:

a)

i) Ta có tứ giác ADHE là hình vuông nên DE = AH

Xét tam giác vuông ABC, ta có: $AH^{2}$ = BH.CH = 4.9 = 36 $\Rightarrow $ AH = 6cm $\Rightarrow $ DE = 6cm

tanHAC = $\frac{HC}{AH}$ = $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow $ $\widehat{HAC}$ = $56^{\circ}$

ii) Ta có: AB = $\sqrt{AH^{2} + BH^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 4^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$ cm

               AC = $\sqrt{AH^{2} + CH^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 9^{2}}$ = 3$\sqrt{13}$ cm

P = $\frac{2sinB + 3cosC}{tanB - 3cotC}$ = P = $\frac{2\frac{AH}{AB} + 3\frac{CH}{AC}}{\frac{AH}{BH} - 3\frac{CH}{AH}}$ = - $\frac{5\sqrt{13}}{13}$.

iii) Ta có: $\widehat{MDH}$ + $\widehat{HDE}$ = $90^{\circ}$ (do DM $\perp $ DE)

               $\widehat{MHD}$ + $\widehat{DHA}$ = $90^{\circ}$ (do AH $\perp $ BC)

Mặt khác tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên $\widehat{HDE}$ = $\widehat{DHA}$ $\Rightarrow $ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MHD}$ $\Rightarrow $ tam giác MDH cân tại M suy ra DM = MH

Tương tự ta được BM = DM

Suy ra DM = MH = BM hay M là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm của CH.

SDENM = $\frac{DM + EN}{2}$.DE = $\frac{2 + 4,5}{2}$.6 = 19,5 $cm^{2}$.

b) Ta có: $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AHE}$ = $\widehat{BHD}$ (cùng phụ với góc $\widehat{DHA}$ = $\widehat{BCA}$ (đồng vị)

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có:

Góc A chung, $\widehat{ADE}$  = $\widehat{BCA}$

Suy ta tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB

$\Rightarrow $ $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$ suy ra AD.AB = AC.AE (đpcm).

c) Ta có: $\widehat{ADE}$ + $\widehat{DAI}$ = $90^{\circ}$ 

               $\widehat{DAI}$ + $\widehat{IAE}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\widehat{IAE}$ = $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow $ $\Delta $IAC cân tại I $\Rightarrow $ IA = IC

Tương tự ta được IA = IB

$\Rightarrow $ IA = IB = IC hay I là trung điểm của BC.

d) SADHE = AD.AE

S$\Delta $ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC 

Để S$\Delta $ABC = 2SADHE thì $\frac{1}{2}$.AB.AC = 2.AD.AE $\Leftrightarrow $ AB.AC = 4AD.AE 

Theo câu b AD.AB = AC.AE $\Rightarrow $ AB = $\frac{AC.AE}{AD}$

$\Rightarrow $ $\frac{AC.AE}{AD}$.AC = 4AD.AE $\Rightarrow $ $AC^{2}$ = 4$AD^{2}$ $\Leftrightarrow $ AC = 2AD

Vậy AC = 2AD thì diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE..